n変数関数の極限の性質:トピック一覧 |
・ 極限値どおしの演算[極限値の和差/定数倍/積/商]・コーシーの判定条件 |
※ n変数関数の諸概念関連ページ: n変数関数の諸属性/極限/連続性/偏微分/全微分/※n変数関数の極限の性質の具体例:1変数関数の極限の性質/ 2変数関数の極限の性質 ※n変数関数の極限の性質の一般化:ベクトル値関数の極限の性質 →参考文献・総目次 |
定理: n変数関数の極限値どおしの演算 |
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舞台 |
f,g : n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして実数を対応づける n変数関数。つまり、定義域D⊂Rnとして、 f : D→R , g : D→R ないし、y=f (x1,x2,…,xn), y=g (x1,x2,…,xn) A=(x01,x02,…,x0n): n次元空間Rnの点集合D上の定点。 つまり、A=(x01,x02,…,x0n)∈D⊂Rn P=(x1,x2,…,xn): n次元空間Rnの点集合上の動点。 つまり、P=(x1,x2,…,xn)∈D⊂Rn |
cf .1変数関数の極限値どおしの演算 2変数関数の極限値どおしの演算 ベクトル値関数の極限値のベクトル和 ベクトル値関数の極限値のスカラー倍
[ 文献]吹田新保『理工系の微分積分学』p.23; 杉浦『解析入門I』定理6.6(pp.57-63):Rn→Rmの関数一般について |
1 →証明 |
[ sum-difference limit theorem ] f ( P )→c (P→A) かつ g ( P )→d (P→A) ならば、{ f (P) ± g (P)}→c+d ( P→A ) つまり、P→Aとしたときに、f (P),g (P)が収束するならば、 ![]() |
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2 |
f ( P )→d (P→A) ならば、任意の実数cに対して、cf ( P )→cd ( P→A ) つまり、P→Aとしたときに、f(P),g(P)が収束するならば、 ![]() |
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3 |
[ product limit theorem ] f ( P )→c (P→A) かつ g ( P )→d (P→A) ならば、{ f (P)g (P)}→cd ( P→A ) つまり、P→Aとしたときに、f(P),g(P)が収束するならば、 ![]() |
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4 |
[quotient limit theorem] f ( P )→c (P→A) かつ g ( P )→d (P→A)かつc≠0 ならば、{g (P)/f (P)}→d/c ( P→A ) つまり、P→Aとしたときに、f(P),g(P)が収束し、 なおかつ、このときのf(P)の極限値が0でないならば、 ![]() ![]() |
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活用例 |
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証明→定理 1 |
P →Aとしたときにf(P)が実数値cへ収束し、かつ、 g (P)が実数値dへ収束するつまり、f ( P )→c (P→A)かつ g ( P )→d (P→A) と仮定する。…(0) [予備作業] ・関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、 f ( P )→c (P→A) ⇔ (∀{ Pn })(( Pn→A (n→∞)かつ(∀n) (Pn≠A) )⇒ f (Pn)→c (n→∞)) …(1-1) g ( P )→d ( P→A ) ⇔ (∀{ Pn })(( Pn→A (n→∞)かつ(∀n) (Pn≠A) )⇒ g (Pn)→d (n→∞))…(1-2) ・2変数関数h( P )=f ( P )± g ( P ) を定義する。 関数の収束と点列・数列の収束を関係付ける定理より、 (∀{ Pn })(( Pn→A (n→∞)かつ(∀n) (Pn≠A) )⇒ h (Pn)→e (n→∞)) ⇔ h ( P )→e ( P→A ) ここで、h ( P )を、f ( P )± g ( P )に戻すと、 (∀{Pn})(( Pn→A (n→∞)かつ(∀n) (Pn ≠A) )⇒ {f (Pn)± g (Pn)}→e (n→∞)) ⇔ {f (P)± g (P)}→e ( P→A ) …(1-3) ・収束数列の演算則より、 数列{ f (P1), f (P2), f (P3),…}、{ g (P1), g (P2), g (P3),…}について f (Pn)→c (n→∞) かつ g (Pn)→d (n→∞) ならば、 f (Pn)±g (Pn)→c+d (n→∞) ![]() [本題] ・仮定(0)のもとで、 (1-1) (1-2) (1-4)より、 (∀{ Pn})(( Pn→A (n→∞)かつ(∀n) (Pn≠A) )⇒ f (Pn)→c (n→∞)かつ g (Pn)→d (n→∞) ⇒ f (Pn)±g (Pn)→c+d (n→∞) ) …(1-5) ・(1-5)は、(1-3)を用いて、{f (P)±g (P)}→c+d ( P→A ) と言い表せる。 したがって、 仮定(0)「 f ( P )→c (P→A) かつ g ( P )→d (P→A)」のもとで、 { f (P)±g (P)}→c+d ( P→A )である 。 |
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証明→定理 2 |
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証明→定理 3 |
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証明→定理 4 |
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定理:コーシーの判定条件 [P→ Aのとき] |
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舞台 |
f : n次元空間Rnの点集合Dで定義された n変数関数。つまり、定義域D⊂Rnとして、f : D→R ないし、y=f (x1,x2,…,xn) A=(x01,x02,…,x0n): n次元空間Rnの点集合D上の定点。 つまり、P0=(x01,x02,…,x0n)∈D⊂Rn P=(x1,x2,…,xn): n次元空間Rnの点集合上の動点。 つまり、P=(x1,x2,…,xn)∈D⊂Rn |
Cf .1変数関数の場合のコーシーの判定法 2変数関数の場合のコーシーの判定法 ベクトル値関数の場合のコーシーの判定法 [ 文献]小平『解析入門U』§6.4(p.309):結論のみ。 杉浦『解析入門I』pp.61-62:証明付. 木『解析概論』9極限(pp.22-3). |
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定理 |
次の命題 S,T,Rは互いに言い換え可能である。つまり、命題S⇔命題T⇔命題R 命題 S :P→Aのとき、Dを定義域とする関数f (P)が収束する 命題T : 任意の正数εに対して、ある正数δをとると 任意のP,Q∈D にたいして、 「(0<d(P,A)<δかつ0<d(Q,A)<δ)ならば、|f (P)−f (Q)|<ε」 * d( P, A )は点Pと点Aとの距離を表す。 が成り立つ。 論理記号では、 (∀ε>0) (∃δ>0) (∀P,Q∈D) ((0<d(P,A)<δかつ0<d(Q,A)<δ)⇒|f (P)−f (Q)|<ε) 命題U : 任意の正数εに対して、あるRn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)とると、 任意のP,Q∈(U*δ(A)∩D)にたいして、|f (P)−f (Q)|<εが成り立つ。 論理記号では、 (∀ε>0) (∃U*δ(A)) (∀P,Q∈(U*δ(A)∩D)) (|f (P)−f (Q)|<ε) |
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活用例 |
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→ [トピック一覧:n変数関数の極限の性質]→総目次 |
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reference)小平邦彦『
解析入門U』(軽装版)岩波書店、2003年、pp.259-260。吹田・新保『
理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、p.159.杉浦光夫『
解析入門I』岩波書店、1980年、pp.57-63.高橋一『
経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.32-36;42-44.→
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