1変数一次関数y=ax+bの諸属性　：トピック一覧　　　
・グラフ/増減/値域/単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/　凹凸
※1変数関数の具体例：y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  → 自然数指数の冪関数/整数指数のべき関数/有理数指数のべき関数/実数指数のべき関数
　　　　　　　　　　 定数値関数/比例/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　　　　　　　　　　　指数関数/対数関数　
　　　　　　　　　　　絶対値関数/三角関数　/ガンマ関数
※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分
※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般
※総目次


1変数一次関数 linear function y=f(x)= ax+b　

定義

 ・「1変数関数y=f (x)が1次関数である」とは、
　定数a,bを用いて、y=f (x)を、
　　　y=f (x)= ax+b
　と表せることをいう。　

[文献]

　中学校で習う。
　あえて、文献をあげると、
　・『解析演習ハンドブック1変数関数編』1.1.13(p.4)
　・小島寛之『ゼロから学ぶ微分積分』1.1(pp.2-6)
　・竹之内『経済・経営系数学概説』1.1(pp.14-9)
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』3章1(p.100)
　・松坂『解析入門1』3.1-C(p.99)

グラフ

 ・y=ax+bのグラフは、「R2上の直線」であって、
　・点(0,b)で、y軸と交差し、
　・「xの増分1に対して、yの増分a」という一定不変の「傾き」をもつ。　


（例）
　y= x+ のグラフは、下図の通り。

一次関数のグラフ


 ・図の通り、
　1変数一次関数y=f (x)= ax+bのグラフは、
　　点(0,b)を通り、「xの増分1に対して、yの増分a」という一定の傾きをもつ
　「R2上の直線」となる。

・しかし、だからといって、
　逆に、すべての直線を、1次関数y=f (x)= ax+b のグラフとして、表せるわけではない。
　y軸に平行な直線は、1次関数y=f (x)= ax+b のグラフとして、表せない。
　∵すべての直線は、
　　　　定数s, tに対して、sx+ty+u=０を満たす(x, y)　
　　　　　　　{ (x,y) | sx+ty+u=０}　
　　　　として表せる。
　　t≠０の時は、
　　　sx+ty+u=０を満たす(x,y)とは、y=-(s/t) x- u/tを満たす(x,y)であるから、
　　　{ (x,y) | sx+ty+u=０}として表せる直線は、{ (x,y) | y=-(s/t) x- u/t }として表せる直線であり、
　　　したがって、一次関数y=f(x)=-(s/t) x- u/tのグラフとして表せる。
　　ところが、
　　t=０の時は、sx+ty+u=０は、sx+u=０となって、これを、x =- u/sと表現できても、y=ax+bの形に表すことはできない。
　　したがって、
　　{ (x, y) | sx+ty+u=０}で表される直線について、t=０である場合、
　　すなわち、{ (x,y) | x=- u/s }で表されるy軸に平行な直線は、　
　　1次関数y=ax+b のグラフとして、表せない。[杉浦『解析入門』Ⅱ§1例12(p.86)参照]

・だから、関数y=g(x)の接線のすべてを、
　1次関数y=f(x)=ax+b として表せるわけではなく、
　したがって、関数y=g(x)に接線をただひとつ引けても、
　その接線が、1次関数y=f(x)=ax+b として表せない接線である場合、
　微分可能の定義を満たさない、といったことが生じてくる。
　 [微分係数・導関数]
微分係数は、どこでも、a。したがって、導関数f'(x)=a　.
 　
　 積分 　


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一次関数y= f(x)=ax+b　の増減
　 ・1変数一次関数y=f (x)= ax+bは、(－∞,＋∞)で広義単調関数。
　・a＞0ならば、(－∞,＋∞)で狭義単調増加関数　　 　
　・a＜0ならば、(－∞,＋∞)で狭義単調減少関数　　
　（以上二点をまとめると、a≠0ならば、(－∞,＋∞)で狭義単調関数）　
　・a＝0ならば、(－∞,＋∞)でy=f (x)は、bのまま一定不変である（→定数値関数）
　　　（だから、狭義単調関数ではないが、広義単調とはいえる。）。
・下図をいじって、確かめることができる。　

　[文献]

　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.99)

（図）　y= x+ のグラフ

一次関数のグラフ
　

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　 1変数一次関数の値域
　 ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数一次関数y=f (x)= ax+bの値域は、
　　　a≠0ならば R＝(－∞,∞）　
　　　a＝0ならば {b} 　

[文献]

・
※値域の定義

1変数一次関数は、非有界
　 ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数一次関数y=f (x)= ax+b（a≠0）は、
　　　　　　　　　　a≠0ならば、上にも下にも有界でない。
　　　　　　　　　　a＝0ならば 有界。

[文献]

・
※有界の定義


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　y=f(x)= ax+b　と全単射
　 ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数一次関数y=f (x)= ax+bは、
　　　a≠0ならば 単射((－∞,＋∞)で狭義単調だから)。
　　　a＝0ならば 単射にならない(f (x)=bを満たすxが複数個あるから)。　
・R＝(－∞,∞）で定義された1変数一次関数y=f (x)= ax+bは、
　　　a≠0ならば Rの上への全射（値域がR＝(－∞,∞）だから）。
　　　a＝0ならば Rの上への全射ではない（値域が{b}だから）。
・R＝(－∞,∞）で定義された1変数一次関数y=f (x)= ax+bは、
　　　a≠0ならば Rの上への全単射となる。

[文献]

　・笠原皓司『微分積分学』1.4例1(p.23)
　・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex1.1.12-(i)(p.11)

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一次関数 y=f(x)=ax+b　の極限
　 ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= ax+b（a≠0）は、
　　　　どんな実数x0に対しても、　f(x)→ax0+b (x→x0)　
※なぜ？
　　　・比例関係を表す関数y=g(x)=axの極限の性質より、
          y=g(x)= axは、
　　　　　どんな実数x0に対しても、　g(x)→ax0 (x→x0)。
　　　・定数関数y=h(x)=bの極限の性質より、
          定数値関数y=h(x)= bは、
　　　　　どんな実数x0に対しても、　h(x)→b (x→x0)。
　　　・「関数和」の極限は、「関数の極限」の和となるという定理と、
　　　　上記で得られた「g(x)の極限値」「h(x)の極限値」より、
　　　　　　　　　　　{g(x)＋h(x)}→ ax0＋b　(x→x0)
　　　・したがって、f (x)= ax0＋b=g(x)＋h(x)は、
　　　　どんな実数x0に対しても、　f(x)→ax0＋b (x→x0)　。

[文献]

　・吉田栗田戸田『平成元年3/31文部省検定済　高等学校微分・積分』2章-1(p.29):
　　　　　証明なしに、
　　　　　　「整式、分数式、無理式で表される関数や、
　　　　　　　sinx,cosx,tanx,2x,log2xなどの関数では、
　　　　　　　その定義域の任意の値aに対して、f(x)→f(a) (x→x0)」
　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.1.5(p.109）:
　　　　　・多項式関数一般に関して。
　　　　　・定数関数の極限、f(x)=xの極限と、関数の極限の和積による証明つき。

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一次関数y= f(x)=ax+b　の連続性
　 ・R＝(－∞,∞）で定義された1変数一次関数y=f (x)= ax+bは、
　　　　　R＝(－∞,∞）上の連続関数。
※なぜ？
　　以下、三点から。
　　　・比例関数の連続性より、y=g(x)= axは、R＝(－∞,∞）上の連続関数。
　　　・定数値関数の連続性より、y=h(x)= bは、R＝(－∞,∞）上の連続関数。
　　　・連続関数の和も連続関数となるから、
　　　　上記二点より、g (x)+h(x)=f (x)= ax+bも、R＝(－∞,∞）上の連続関数。

 　

[文献]

　・和達『微分積分』p.37:多項式関数の連続性の一環として。
　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.2.7(p.115）:多項式一般に。
　　　　　　　　・証明：多項式関数の極限の性質より。

※1変数連続関数の定義
※1変数関数の具体例の連続性：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

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　y=f(x)= ax+b　の逆関数
　 ・R＝(－∞,∞）で定義された一次関数y=f (x)= ax+bの逆関数は、a≠0ならば存在する。
　　※なぜ？a≠0ならば、y=f (x)= ax+bは、R＝(－∞,∞）で狭義単調関数であるから（∵）、
　　　　　　　　　　　　　　　「f :R→R」は全単射となって、　
　　　　　　　　　　　　　　　逆関数の存在が保証される（∵）。
・a≠0のとき、R＝(－∞,∞）で定義された一次関数y=f (x)= ax+bの逆関数は、
　　　　y=g(x)= x/a－b/a　
　　※なぜ？
　　　step1: y= ax+bを逆に解いて、x= y/a－b/a
　　　　　　（詳しく言うと、両辺からbを引いて、両辺をaで割って、左辺右辺入替る）　　
　　　　　　ここで、関係としてみると、x=f-1(y)=y/a－b/a となっている
　　　step2:慣例にしたがって、「x=y/a－b/a 」のxとyを入れ替えると、
　　　　　　　　　y= x/a－b/a。
　　　　　　これを、y=f (x)= ax+bの逆関数　y=g(x)として、提示すればよい。
・a＝0のとき、R＝(－∞,∞）で定義された一次関数y=f (x)= ax+bの逆関数は存在しない。
　　　　　　　　　→定数値関数の逆関数　　

[文献：一次関数一般に関して]


　・和達『微分積分』2-1例題2.1(p.18)
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』2.1-Ⅴ(p37)

[文献：一次関数の具体例に関して]

　・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex1.1.12-(i)(p.11):f(x)=5x-2
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』2章3.(pp.54-55;pp.56-8):f(x)=2x-1
　・啓林館『昭和62年3/31検定済　高等学校　数学I　新訂版』5章6(pp.142-3):f(x)=-2x+30,f(x)=-3x+12,
　・笠原皓司『微分積分学』1.4例1例7(p.24):f(x)=2x-3
※1変数関数の「逆関数（の存在）」定義
※1変数関数の具体例の「逆関数（の存在）」について：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数
グラフ

[逆関数のグラフ！→松坂―記号入替なし。記号入替―数学Ⅰ]



　※疑問：（でも、これは、逆関数をとった結果というよりは、
　　　　　　　記号x,yを入れ替えた結果にすぎないのではないの？）


　

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　y= ax+b　の導関数



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