n変数関数の全微分　　

　・1点における全微分可能性・微分係数の定義：原意/数式表現1/数式表現2/数式表現3/数式表現4　
　・1点における全微分可能性と偏微分可能性：全微分可能ならば方向微分可能/微分係数は勾配ベクトルに等しい/全微分可能と方向微分/接平面の方程式　
　・1点における全微分可能性と連続性：全微分可能なら連続
　・全微分可能の十分条件
　・全微分total differential　　

　※関連ページ
　・n変数関数の微分定義：偏微分/微分演算子/高次の偏微分/方向微分/高階全微分　　
　・n変数関数の微分の応用：合成関数の微分/平均値定理･テイラーの定理/極値問題
　　　　　　　　　　　　　　陰関数定理/逆関数定理/ラグランジュ未定乗数法
　・微分以外のn変数関数の概念： n変数関数/極限/連続
　・n変数関数以外の(全)微分定義：1変数関数の微分 /2変数関数の(全)微分/ n変数ベクトル値関数の(全)微分　　
→参考文献・総目次　

　

定義：n変数関数の点x0で微分可能differentiable・点x0における微分係数・導値differential coefficient　




直感的な
定義


[直感的な定義]

・「 n変数関数y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で微分可能・全微分可能」とは、
　y=f (x1,x2,…,xn )が表すグラフ{( x1,x2,…,xn, y ) | y=f (x1,x2,…,xn ) }に
　点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))で接する超平面　
　　　　{( x1,x2,…,xn, y ) | y = A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an ) }
　を定められることをいう。
・「点(a1, a2, …,an)におけるf (x1,x2,…,xn )の導値・微分係数」とは、
　　　・y=f (x1,x2,…,xn )が表すグラフに点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))で接する超平面
　　　　　　　　　のx1軸方向への傾き
　　　・y=f (x1,x2,…,xn )が表すグラフに点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))で接する超平面
　　　　　　　　　のx2軸方向への傾き
　　　：　　
　　　・y=f (x1,x2,…,xn )が表すグラフに点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))で接する超平面
　　　　　　　　　のxn軸方向への傾き
　を組にした n次元数ベクトル(A1, A2, …, An )　　
　のことである。
※微分係数(A1, A2, …, An )は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]　　
※y = A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )で表せない
　超接平面も存在しうる。
　それは、どういうときかというと…。
　　点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ) )で接するあらゆる超平面は、
　　　{( x1,x2,…,xn, y ) | A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+t (y- f ( a1, a2, …,an ))=０}
　　で表せる。
　　　　t≠０ならば、
　　　　超平面の方程式
　　　　　　　A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+t (y- f ( a1, a2, …,an ))=０
　　　　について、
　　　　両辺をtで割って
　　　　　　(A1/t) (x1－a1)+ (A2/t) (x2－a2)+…+(An/t) (xn－an)+ y- f ( a1, a2, …,an )=０
　　　　移項して、
　　　　　　y =－(A1/t) (x1－a1)－(A2/t) (x2－a2) +…－(An/t) (xn－an)+f ( a1, a2, …,an )　
　　　　とできるので、
　　　　この超平面を、
　　　　　　　y = A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )
　　　　のかたちで表せる。
　　　　ところが、
　　　　t＝０ならば、　　
　　　　超平面の方程式
　　　　　　　A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+t (y- f ( a1, a2, …,an ))=０
　　　　は、
　　　　　　　A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an) =０
　　　　となってしまい、yが消去されてしまうので、
　　　　　　　y = A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )
　　　　のかたちに変形しようがない。


[文献－数学]
・小平『解析入門II』§6.4 (p.310) ：n変数実関数-非ベクトル表記；
・松坂『解析入門3』14.1-D(p.132) ：n変数実関数-ベクトル表記；
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5定義1 (p.120)：n変数実関数-ベクトル表記；
・杉浦『解析演習』Ⅱ章§2-2.2(p. 88-9) ：n変数実関数-ベクトル表記；
・黒田『微分積分学』8.3.2定義8.9(pp.285) ：n変数実関数-非ベクトル表記；
・Lang,Undergraduate Analysis,15-§2(pp.321-2);
・ルディン『現代解析学』9.10(p.207) ：n変数ベクトル値関数.


[文献－数理経済学]
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, PartI-4-3 (p.170) ：n変数ベクトル値関数.
・入谷久我『数理経済学入門』定義5.10(p.131) ：n変数実関数.

　
　

　このように、
　法線ベクトルの最終成分が０となる超接平面（値の軸に平行な超接平面）は、
　y = A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )で表せない。　　
　ここでは、このような超接平面を超接平面から除外して、
　y = A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )で表せる超接平面のみを
　超接平面と呼び、
　y = A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )で表せる超接平面が
　定まることを、
　微分可能と呼ぶ。
　　[→杉浦『解析入門』例12 (p.86)]

[一般化]
・2変数関数の(全)微分可能
・多変数関数の(全)微分可能
・ベクトル値関数の(全)微分可能


厳密な
定義


「y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点(a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
ということの定義は、
厳密には、次の数式で与えられる。
　※　表現1・表現2・表現3・表現4 はどれも同じ。
　※　これらの定義は、1変数関数の微分定義2を、 n変数関数へ拡張したもの。

[表現1a－ベクトル演算・増分を用いずに]

　　
「y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点(a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
とは、
「定点 (a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、
　　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、
　　定点 (a1, a2, …,an)へ近づく動点(x1,x2,…,xn)は、　
　　　{f (x1,x2,…,xn )－（A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )）}/d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) ) →０　（ (x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an) ）
　を満たす」
ということ。
ランダウの記号を用いて表すと、
「定点A (a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　
　　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、定点A (a1, a2, …,an)へ近づく動点(x1,x2,…,xn)は、　
　　f (x1,x2,…,xn )－（A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )）＝o ( d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) ) )　（ (x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an) ）　
　を満たす」
となる。

　* d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) )は、
　　　点(x1,x2,…,xn)から点(a1, a2, …,an)へのユークリッド距離{ (x1－a1)2+ (x2－a2)2+…+ (xn－an)2}1/2
　　を表す。　　


[文献]
笠原『微分積分学』定義5.1(p.153);
高橋『微分と積分2』§3.2 (p.71)

※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

　* この微分可能の定義は、
　　点(a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、
　　「点(x1,x2,…,xn)を点(a1, a2, …,an)に近づけたときの、
　　　点(x1,x2,…,xn)における
　　　　　《点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an )))を通って、（A1, A2, …, An,1）を法線ベクトルとする超平面A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )》と
　　　　　《y=f (x1,x2,…,xn )》
　　　　　との誤差
　　　　　　　　f (x1,x2,…,xn )－（A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )）　　　
　　　が０に近づくスピードは、
　　　d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) )が０に近づくスピードよりも、
　　　速くなる」
　　　ということを意味し、
　　　ランダウの記号を用いて表すと、
　　　　　「点(a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　
　　　　　　　　　f (x1,x2,…,xn )－（A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )）＝o ( d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) ) )　（ (x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an) ）　
　　　　　　を満たす」
　　　と表せる。

[表現1 b－ベクトル演算を用いずに・増分を用いて]


「y=f (x1,x2,…,xn )は点 (a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点(a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
とは、
「定点(a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、
　　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、
　　定点 (a1, a2, …,an)へ近づく動点(a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn)は、　
　　　(Δx1, Δx2,…, Δxn) → (０, ０ , …, ０)としたときに
　　　{f ( a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn )－（A1Δx1 + A2Δx2 +…+ AnΔxn +f ( a1, a2, …,an ) ）}/ ∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥ →０
　を満たす」
ということ。
　* ∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥は、(Δx1,Δx2, …,Δxn )のユークリッドノルム{ (Δx1)2+(Δx2)2+…+(Δxn)2}1/2　を表す。
　　これは、点(a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn)から点 (a1, a2, …,an)へのユークリッド距離
　　　　　　　d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) )＝{ (x1－a1)2+ (x2－a2)2+…+ (xn－an)2}1/2
　　に等しい。　　


[文献]
入谷久我『数理経済学入門』定義5.10(p.131) ：n変数実関数.

※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

　* この微分可能の定義は、
　　点(a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、
　　「『点(a1, a2, …,an)からの増分』(Δx1,Δx2, …,Δxn )を(０, ０ , …, ０)に近づけたときの、
　　　点(a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn)における
　　　　　《点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an )))を通って、（A1, A2, …, An,1）を法線ベクトルとする超平面A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )》
　　　　　と
　　　　　《y=f (x1,x2,…,xn )》との誤差
　　　　　　f ( a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn )－（A1(a1+Δx1－a1)+ A2(a2+Δx2－a2)+…+An(an+Δxn－an)+f ( a1, a2, …,an ) ）
　　　　　　　＝f ( a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn )－（A1Δx1 + A2Δx2 +…+ AnΔxn + f ( x0,y0 ) ）　　
　　　　が０に近づくスピードは、
　　　　　　　∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥ が０に近づくスピードよりも、速くなる」
　　　ということを意味し、
　　　ランダウの記号を用いて表すと、
　　　　　「点(a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　
　　　　　　　　　f ( a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn )－（A1Δx1 + A2Δx2 +…+ AnΔxn + f ( x0,y0 ) ）＝o (∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥)　　（ (Δx1,Δx2, …,Δxn ) → (０, ０ , …, ０) ）　
　　　　　　を満たす」
　　　と表せる。

[表現1 c－ベクトル演算を用いて]


「y=f ( x)は実n次元数ベクトルaで(全)微分可能で、aにおける微分係数はAである」とは、
　「実n次元数ベクトルaに対して、ある一定の実n次元数ベクトルAが存在して、
　　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、定点a近づく動点a+hは、　
　　　{ f (a+h)－（A・h + f (a) ）}/∥h∥→０　（ h→０ ）
　　を満たす」　
ということ。
あるいは、
「y=f ( x)は実n次元縦ベクトルaで(全)微分可能で、aにおける微分係数は実n次元横ベクトルAである」とは、
　「実n次元縦ベクトルaに対して、ある一定の実n次元横ベクトルAが存在して、
　　実n次元縦ベクトルhを、h→０　とすると、　
　　　{ f (a+h)－（ Ah +f (a) ）}/∥h∥→０　
　　が満たされる」　
ということ。
　* A・hは、Aとhとの内積を表す。
　　Ahは、実n次元横ベクトルAと実n次元縦ベクトルhとの行列積を表す。
　　（どちらも、結果は同じとなる）　
　　+は、実n次元数ベクトル空間に定められているベクトル和を表す。
　　－は、実数体に定義されている引き算を表す。
　　０は n次元零ベクトルを表し、０は実数の０を表す。
　* ∥h∥ は、hのユークリッドノルムを表す。
　　これは、a+hからaへのユークリッド距離
　　　　　　　 d ( a+h , a ) ＝∥(a+h)－a∥
　　に等しい。　　
　* この微分可能の定義は、前述の表現1bを、以下の要領でベクトルを使って表現しなおしたもの。
　　　　・点(a1, a2, …,an)　　　　　　　→　実n次元縦ベクトルa　　　　
　　　　・実数A1, A2, …, An　　　　　　→　実n次元横ベクトルA　　
　　　　・増分(Δx1, Δx2,…, Δxn )　　　→　実n次元縦ベクトルh　　
　　　　・点(a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn)　→　実n次元縦ベクトルa+h　　
　　　　・A1Δx1 + A2Δx2 +…+ AnΔxn　　　→　内積A・h　または、行列積Ah　
　　だから、この定義が意味するところは、表現1bとなんら変わらない。　


[文献]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5 定義1(5.4)(p.120)
・松坂『解析入門3』14.1-D(p.132) ：n変数実関数；

[表現2a－ベクトル演算・増分を用いずに]


「y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点 (a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
とは、
「点 (a1, a2, …,an) に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　
　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、定点 (a1, a2, …,an)に近づく動点(x1,x2,…,xn)は、　
　　　f (x1,x2,…,xn )= f ( a1, a2, …,an )+ A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+ o ( d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) ) )　（ (x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an) ）
　を満たす」
ということ。
*　恒等的に、
　　　f (x1,x2,…,xn )={ f ( a1, a2, …,an )+ A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)}+{f (x1,x2,…,xn )－（ A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+ f ( a1, a2, …,an )）}
　　だから、
　　　[微分可能定義の表現1a]
　　　　「定点A (a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　
　　　　　　　f (x1,x2,…,xn )－（A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )）＝o ( d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) ) )　（ (x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an) ）
　　　　　を満たす」
　　　　が成立するならば、表現2 aも成立（恒等式最右辺に表現1を代入するかたち）。
　　　　逆に、表現2 aが成立するならば、表現2の右辺1項2項を左辺に移項すれば、
　　　　　　　表現１aの成立がわかる。　　


[文献]
・笠原『微分積分学』定義5.1(p.153);
・杉浦『解析演習』Ⅱ章§2-2.2(p. 89);
・黒田『微分積分学』8.3.2定義8.9(pp.285)
・小平『解析入門Ⅱ』§6.2-b(p.267):2変数関数;　
・加古『自然科学の基礎としての微積分』定義6.4注意1(pp.93-4):n変数関数;


※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

[表現3a－ベクトル演算・増分を用いずに]


「y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点 (a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
とは、
「点 (a1, a2, …,an) に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　
　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、定点 (a1, a2, …,an)に近づく動点(x1,x2,…,xn)は、　
　　　f (x1,x2,…,xn )－f ( a1, a2, …,an )=+ A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+ o ( d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) ) )　（ (x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an) ）
　を満たす」
ということ。
　* ランダウの記号o ( d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) ) )は、
　　　　　　　「x1,x2,…,xnの関数」のうち、　
　　　　　　　　　(x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an)としたときに、
　　　　　　　　　　　「d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) )が０に近づくよりも速いスピードで０に近づく」
　　　　　　　ものを表す。
　


[文献]
・小平『解析入門II』§6.4 (p.310) ：n変数実関数-非ベクトル表記；
・岡田『経済学・経営学のための数学』1.6(p.44)：2変数関数



※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

　

[表現3b－ベクトル演算を用いずに、増分を用いて]

　


「y=f (x1,x2,…,xn )は点 (a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点(a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
とは、
「点(a1, a2, …,an) に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　
　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、定点 (a1, a2, …,an)へ近づく動点(a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn)は　
　　Δy＝f ( a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn )－f ( a1, a2, …,an )＝A1Δx1 + A2Δx2 +…+ AnΔxn +o (∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥)　（ (Δx1,Δx2, …,Δxn )→(０,０,…,０) ）
　を満たす」
　　ということ。
　　* これは、　
　　　「点(a1, a2, …,an) に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、　　
　　　　　『 x1をa1から「無限小の増分Δx1」だけ増やし、
　　　　　　　x2をa2から「無限小の増分Δx2」だけ増やし、
　　　　　　　　：
　　　　　　　　xnをanから「無限小の増分Δxn」だけ増やしたときの、
　　　　　　　f (x1,x2,…,xn )の値の増分
　　　　　　　　　　Δy＝f ( a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn )－f ( a1, a2, …,an )
　　　　　　を、
　　　　　　（「無限小の増分Δx1」の実数A1倍）＋（「無限小の増分Δx2」の実数A2倍）＋…+（「無限小の増分Δxn」の実数An倍）
　　　　　　　　+（「無限小の増分からなる数ベクトル(Δx1,Δx2, …,Δxn )のノルム」より高次の無限小）
　　　　　　として表せる』
　　　　ということ」
　　　を意味する。
　* ランダウの記号o (∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥)は、
　　　　　　　「Δx1,Δx2, …,Δxnの関数」のうち、　
　　　　　　　　　(Δx1,Δx2, …,Δxn )→(０,０,…,０)としたときに、
　　　　　　　　　　　「∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥が０に近づくよりも速いスピードで０に近づく」
　　　　　　　ものを表す。


[文献]
・『岩波数学辞典』333G全微分(p.985):n変数関数.
・志賀『解析入門30講』25講(pp.193-5) :２変数関数;



※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

[表現3c－ベクトル演算を用いて]


「y=f ( x)は実n次元数ベクトルaで(全)微分可能で、aにおける微分係数はAである」とは、
　「実n次元数ベクトルaに対して、ある一定の実n次元数ベクトルAが存在して、
　　どの方向からであれ、いかなる経路を通ってであれ、定点a近づく動点a+hは、　
　　　Δy＝f (a+h)－f (a)＝A・h + o (∥h∥)　（ h→０ ）　　
　　を満たす」　
ということ。
あるいは、
「y=f ( x)は実n次元縦ベクトルaで(全)微分可能で、x0における微分係数は実n次元横ベクトルAである」とは、
　「実n次元縦ベクトルaに対して、ある一定の実n次元横ベクトルAが存在して、
　　　f (a+h)－f (a)＝Ah+ o (∥h∥)　（ h→０ ）　　
　　が満たされる」　
ということ。
　* A・hは、Aとhとの内積を表す。
　　Ahは、実n次元横ベクトルAと実n次元縦ベクトルhとの行列積を表す。
　　（どちらも、結果は同じとなる）　
　　+は、実n次元数ベクトル空間に定められているベクトル和を表す。
　　+は、実数体に定義されている加法を表す。
　　－は、実数体に定義されている引き算を表す。
　　０は n次元零ベクトルを表し、０は実数の０を表す。
　* ∥h∥ は、hのユークリッドノルムを表す。
　　これは、a+hからaへのユークリッド距離
　　　　　　　 d ( a+h , a ) ＝∥(a+h)－a∥
　　に等しい。　　

　* この微分可能の定義は、前述の表現3bを、以下の要領でベクトルを使って表現しなおしたもの。
　　　　・点(a1, a2, …,an)　　　　　　　→　実n次元縦ベクトルa　　　　
　　　　・実数A1, A2, …, An　　　　　　→　実n次元横ベクトルA　　
　　　　・増分(Δx1, Δx2,…, Δxn )　　　→　実n次元縦ベクトルh　　
　　　　・点(a1+Δx1, a2+Δx2, …,an+Δxn)　→　実n次元縦ベクトルa+h　　
　　　　・A1Δx1 + A2Δx2 +…+ AnΔxn　　　→　内積A・h　または、行列積Ah　
　　だから、この定義が意味するところは、表現3bとなんら変わらない。　


[文献]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5 定義1(5.4)(p.120)
・松坂『解析入門3』14.1-D(p.132) ：n変数実関数；

※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

[表現4a－ベクトル演算・増分を用いずに]


「y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点 (a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
とは、
　定点 (a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、
　　　f (x1,x2,…,xn )＝f ( a1, a2, …,an )＋A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+ε(x1,x2,…,xn )d ( (x1,x2,…,xn), (a1, a2, …,an) )
　と書くとき、(x1,x2,…,xn) → (a1, a2, …,an)のとき、ε(x1,x2,…,xn )→０　を満たす
ということ。

　*　表現2aでランダウの記号を用いない表現の一例。

　

[文献]
小平『解析入門Ⅱ』§6.2-b(p.267)：2変数;


※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

[表現4b－ベクトル演算を用いずに・増分を用いて]


「y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、
　　点 (a1, a2, …,an)における微分係数は( A1, A2, …, An )である」
とは、
　定点(a1, a2, …,an)に対して、ある一定の実数A1, A2, …, Anが存在して、
　　　Δy＝f (x1,x2,…,xn )－f ( a1, a2, …,an )＝A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an )+ε(x1,x2,…,xn )∥(Δx1,Δx2, …,Δxn )∥
　と書くとき、(Δx1,Δx2, …,Δxn ) → (０, ０ , …, ０)のとき、ε(x1,x2,…,xn )→０を満たす
ということ。


[文献]
高木『解析概論』p. 55 :2変数関数;
吹田新保『理工系の微分積分学』6章§3Ⅱ(p.164) :2変数関数;

※微分係数(A,B)は勾配ベクトルに等しくなる[→定理]

[表現4c－ベクトル演算を用いずに・増分を用いて]


「y=f ( x)は実n次元数ベクトルaで(全)微分可能で、aにおける微分係数はAである」とは、
　実n次元数ベクトルaに対して、ある一定の実n次元数ベクトルAが存在して、
　　　Δy＝f (a+h)－f (a)＝A・h + ε(h )∥h∥　　
　と書くとき、∥h∥→０のとき、ε(h )→０を満たす
ということ。


[文献]
・松坂『解析入門3』14.1-D(p.132) ：n変数実関数-ベクトル表記；

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定理：n変数関数の点(x0, y0)での微分可能性と方向微分可能性　


定理


1. 　 y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能ならば、
　　 y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)で、任意の方向に方向微分可能。　

※　 y=f (x1,x2,…,xn )が、点(a1, a2, …,an)で、x1,x2,…,xnのそれぞれについて方向微分可能だとしても、
　　　y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能とは限らない。　　


[文献]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5定理5.2 (p.121)：n変数実関数。証明付。
・高橋『微分と積分2』§3.2 定理3.14(p.74): ２変数関数；
・松坂『解析入門3』14.1-I(p.144) ：n変数実関数；
・

証明

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定理：n変数関数の点(x0, y0)での微分可能性と偏微分可能性、微分係数と偏微分係数　


定理


1. 　y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能ならば、
　　y=f (x1,x2,…,xn )は、点(a1, a2, …,an)で、x1,x2,…,xnのそれぞれについて偏微分可能。　

2. 　y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能ならば、
　　　点(a1, a2, …,an)における微分係数は、
　　　点(a1, a2, …,an)における勾配ベクトル
　　　　grad f ( a1, a2, …,an )＝（∂f (a1, a2, …,an)/∂x1 ,∂f (a1, a2, …,an)/∂x2 ,…,∂f (a1, a2, …,an)/∂xn ）
　　　に等しい。

※　y=f (x1,x2,…,xn )が、点(a1, a2, …,an)で、xについてもyについても偏微分可能だとしても、
　　　y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能とは限らない。　　


[文献]
・Lang,Undergraduate Analysis, 15-§2Theorem2.1(pp.322-3):証明つき;
・志賀『解析入門30講』25講(pp.194-5) :２変数関数:証明つき;
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5定理5.2 (p.121)： n変数実関数。方向微分から導出。
・高橋『微分と積分2』§3.2 定理3.11(p.72): ２変数関数；
・高木『解析概論』p.56;小平『解析入門Ⅱ』p.267;
・吹田新保『理工系の微分積分学』p.164.
・松坂『解析入門3』14.1-D命題1(p.132)：n変数実関数；

証明


[文献]

志賀『解析入門30講』25講(pp.194-5)。

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定理：n変数関数に点(x0, y0)で接する超接平面の方程式　


定理


[非ベクトル表記]
　y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能で、点(a1, a2, …,an) における微分係数は( A1, A2, …, An )であるならば、
　y=f (x1,x2,…,xn )が表すグラフ
　　　　{( x1,x2,…,xn, y ) | y=f (x1,x2,…,xn ) }　
　に、
　点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))で接する超平面の方程式は、
　　　　　y= A1(x1－a1)+ A2(x2－a2)+…+An(xn－an)+f ( a1, a2, …,an )
　定理より、
　点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))で接する超平面の方程式は、
　　y=(∂f (a1, a2, …,an)/∂x1 ) (x1－ a1 )+(∂f (a1, a2, …,an)/∂x2 ) (x2－a2 ) +…+(∂f (a1, a2, …,an)/∂xn ) (xn－an ) +f ( a1, a2, …,an )
　として表される。　　　
　　

　[非ベクトル表記]
　y=f ( x)は実n次元数ベクトルaで(全)微分可能で、aにおける微分係数はAであるならば、　　　　
　f ( x)に、点(a, f (a ))で接する超平面の方程式は、　　　
　　　　　y= A・(x－a) +f (a)
　定理より、
　点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))で接する超平面の方程式は、
　　　　　y= grad f ( a1, a2, …,an )・(x－a) +f (a)
　として表される。　　　
　　


[文献]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5定義2 (p.120：n変数実関数。
・小形『多変数の微分積分』pp.55-61.
・志賀『解析入門30講』25講(pp.194-5) :２変数関数:証明つき
・高橋『微分と積分2』§3.2 定理3.11(p.72): ２変数関数；
・松坂『解析入門3』14.1-E命題1(p.136)：n変数実関数；

証明

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定義：n変数関数の全微分total differential　



y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で(全)微分可能であるとき、
点(a1, a2, …,an, f ( a1, a2, …,an ))でy=f (x1,x2,…,xn )に接する超平面
　　y=g(x1,x2,…,xn) = (∂f (a1, a2, …,an)/∂x1 ) (x1－ a1 )+(∂f (a1, a2, …,an)/∂x2 ) (x2－a2 ) +…+(∂f (a1, a2, …,an)/∂xn ) (xn－an ) +f ( a1, a2, …,an )
のうえで、
x1についての増分Δx1、x2についての増分Δx2、…、xnについての増分Δxnにたいして、
y=g(x1,x2,…,xn)がどれだけ増減するかを示す値
　Δg= g(x1+Δx1, x 2+Δx2 ,…, x n +Δxn)－g(x1, x2,…, xn)　　
　　　=(∂f (a1, a2, …,an)/∂x1 ) (x1+Δx1－a1 )+(∂f (a1, a2, …,an)/∂x2 ) (x2+Δx2－a2 ) +…+(∂f (a1, a2, …,an)/∂xn ) (xn+Δxn－an ) +f ( a1, a2, …,an )
　　　　　　－{ (∂f (a1, a2, …,an)/∂x1 ) (x1－a1 )+(∂f (a1, a2, …,an)/∂x2 ) (x2－a2 ) +…+(∂f (a1, a2, …,an)/∂xn ) (xn－an ) +f ( a1, a2, …,an )}
　　＝(∂f (a1, a2, …,an)/∂x1 )Δx1+(∂f (a1, a2, …,an)/∂x2 )Δx2+…+(∂f (a1, a2, …,an)/∂xn )Δxn　
を「点(x0,y0)におけるf (x,y )の全微分」とよび、
　d f ,
　(∂f (a1, a2, …,an)/∂x1 ) dx1+(∂f (a1, a2, …,an)/∂x2 ) dx2+…+(∂f (a1, a2, …,an)/∂xn ) dxn
等で表す。　
※このように、
　「点(a1, a2, …,an)におけるf (x1,x2,…,xn )の全微分」d fは、
　超接平面y=g(x1,x2,…,xn)の増分Δg= g(x1+Δx1, x 2+Δx2 ,…, x n +Δxn)－g(x1, x2,…, xn)
　なのであって、
　y=f (x1,x2,…,xn )そのものの増分Δf= f(x1+Δx1, x 2+Δx2 ,…, x n +Δxn)－f(x1, x2,…, xn)
　とは別の概念であることに注意されたい。　　　
　　


[文献]
・笠原『微分積分学』定義5.2(p.154):2変数関数
・岡田『経済学・経営学のための数学』1.6(p.45)
・高橋『微分と積分2』§3.2 (p.71): ２変数関数；
・Chiang,Fundamental Methods of Mathematical Economics 8.2 (p.195)
[類概念]
. 1変数関数の微分differential,

※

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定理：全微分可能と連続　


定理


y=f (x1,x2,…,xn )が点(a1, a2, …,an)で全微分可能であるならば、
y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で連続である。　


[文献]
・黒田『微分積分学』8.3.2定理8.8(p.285) ：n変数実関数-ベクトル表記；
・小平『解析入門Ⅱ』p.267;
・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.164.

証明

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定理：全微分可能の十分条件：連続な導関数　


定理


y=f (x1,x2,…,xn )がC1級関数ならば、
y=f (x1,x2,…,xn )は点(a1, a2, …,an)で全微分可能である。


[文献]
・笠原『微分積分学』定理5.6(p.158):２変数関数
・高木『解析概論』p.56;
・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.164.
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5定理5.3 (p.123)：n変数実関数。証明付。
・高橋『微分と積分2』§3.2 定理3.15(p.75): ２変数関数；

証明

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定義：n変数関数の導関数


定義

 　


[文献]
・杉浦『解析入門』Ⅱ§5 (p.118).
・ルディン『現代解析学』9.10(p.207)

※

1変数関数の導関数の公式　をそのまま適用して良い

 　
　 　

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（reference）

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年。

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.235-227.

高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、p. 55.

小平邦彦『解析入門II』 (軽装版)岩波書店、2003年 p.267-268。

和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.119-120.

吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.164-165.

杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp.118-126. 　ただし、いきなり多次元。

高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.60-61。

高橋陽一郎『岩波講座現代数学への入門：微分と積分2』 岩波書店、1995年、pp.70-72。

小林道正『Mathematicaによる微積分』朝倉書店、1995年、pp.98-99
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、pp.44-63.
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984, pp.194-195.

　

　

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