定義:べき関数(累乗関数) 〜指数を有理数に限定して |
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・指数を有理数とする「べき関数」「累乗関数」とは、 有理数(≒分数)の定数aに対して、(0, +∞)で定義された1変数関数 f (x)=xa のことをいう。 ※R=(−∞,∞)ではなく、(0, +∞)で定義するのはなぜ? [略] ※指数が有理数ではない「べき関数」「累乗関数」も定義されるが、 性質もかわってくる。 →指数が実数となる「べき関数」「累乗関数」 ※指数を、特別な有理数に限定した「べき関数」「累乗関数」の性質は、 以下を参照。 →指数が自然数となる「べき関数」「累乗関数」 →指数が整数となる「べき関数」「累乗関数」 [関連事項]有理数指数の指数法則 |
[文献]・和達三樹『微分積分』(pp.20-21)。くわしくない。[図解] |
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有理数指数の冪関数(累乗関数)の増減 | ||
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性質 |
・(0, +∞)で定義された有理数指数の「べき関数」「累乗関数」 y=f (x)=xa (aは有理数) は、 ・有理数aが正ならば、(0, +∞)で狭義単調増加関数 ・有理数aが負ならば、(0, +∞)で狭義単調減少関数となる。 |
[文献]・赤攝也『実数論講義』§7.1定理7.1.4;問3(pp.206-7):証明付。[関連事項]・有理数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減の具体例:→指数を自然数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減 →指数を正負の整数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減 ・有理数指数の累乗の一般化 →指数を実数へ拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減 |
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図解 |
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有理数指数の冪関数(累乗関数)の値域 | ||
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性質 |
[文献] |
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図解 |
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有理数指数の冪関数(累乗関数)の最大値・最小値 | ||
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[文献]・ |
有理数指数の冪関数(累乗関数)は非有界 | ||
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有理数指数の冪関数(累乗関数)と全単射 | ||
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有理数指数の冪関数(累乗関数)の逆関数 | ||
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性質 |
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定義 |
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有理数指数の冪関数(累乗関数)の極限 | ||
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有理数指数の冪関数(累乗関数)の連続性 | ||
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