べき関数(累乗関数)の性質〜指数を有理数に限定して :トピック一覧  

グラフ/増減/値域/有界性/最大最小単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/極大極小  

1変数関数の具体例:y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →自然数指数の冪関数/整数指数のべき関数/実数指数のべき関数
           定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数多項式関数  
           指数関数/対数関数 
           絶対値関数/三角関数 /ガンマ関数
1変数関数に関する諸概念の定義:1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分
関数定義関連ページ:2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般
総目次


定義:べき関数(累乗関数) 〜指数を有理数に限定して


指数を有理数とする「べき関数」「累乗関数」とは、
 有理数(≒分数)の定数aに対して、(0, +∞)で定義された1変数関数
     f (x)=xa 
 のことをいう。

R(−∞,∞ではなく、(0, +∞)で定義するのはなぜ?
    [略]
 
指数が有理数ではない「べき関数」「累乗関数」も定義されるが、
 性質もかわってくる。
 →指数が実数となる「べき関数」「累乗関数」

指数を、特別な有理数に限定した「べき関数」「累乗関数」の性質は、
 以下を参照。
 →指数が自然数となる「べき関数」「累乗関数」
 →指数が整数となる「べき関数」「累乗関数」

[関連事項]

  有理数指数の指数法則   

[文献]

  ・和達三樹『微分積分』(pp.20-21)。くわしくない。


[図解]




y=x のグラフ



(0, +∞)で定義された有理数指数 のべき関数

べき関数のグラフ(指数を有理数に限定)








→[トピック一覧:べき関数]
総目次

有理数指数の冪関数(累乗関数)の増減

 性質

(0, +∞)で定義された有理数指数の「べき関数」「累乗関数」
     y=f (x)=xa  (aは有理数)
 は、
 有理数aが正ならば(0, +∞)狭義単調増加関数 
 ・有理数aならば(0, +∞)狭義単調減少関数となる。

[文献]

 赤攝也『実数論講義』§7.1定理7.1.4;問3(pp.206-7):証明付。 
 

[関連事項]

・有理数指数の「べき関数」「累乗関数」の増減の具体例:
  →指数を自然数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減 
  →指数を正負の整数に限定した「べき関数」「累乗関数」の増減
・有理数指数の累乗の一般化
  →指数を実数へ拡張した「べき関数」「累乗関数」の増減 


図解



y=x のグラフ



(0, +∞)で定義された有理数指数 のべき関数

べき関数のグラフ(指数を有理数に限定)




→[トピック一覧:べき関数]
総目次

有理数指数の冪関数(累乗関数)の値域

 性質


[文献]

 

図解




→[トピック一覧:べき関数]
総目次

有理数指数の冪関数(累乗関数)の最大値・最小値
 

[文献]



有理数指数の冪関数(累乗関数)は非有界
 





→[トピック一覧:べき関数]
総目次


有理数指数の冪関数(累乗関数)と全単射





 



→[トピック一覧:べき関数]
総目次

有理数指数の冪関数(累乗関数)の逆関数

性質



定義





→[トピック一覧:べき関数]
総目次

有理数指数の冪関数(累乗関数)の極限
 



→[トピック一覧:べき関数]
総目次

有理数指数の冪関数(累乗関数)の連続性
 



→[トピック一覧:べき関数]
総目次


reference

高木貞治『解析概論改訂第3版』岩波書店、1983年、pp.105-108;
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.20-21。
青本和彦『岩波講座現代数学への入門:微分と積分1』岩波書店、1995年、p.84:高階導関数、p.93:凸性、p.110:原始関数。
黒田成俊『21世紀の数学1:微分積分学』共立出版株式会社、2002年、pp.171-173。
住友洸『大学一年生の微積分学』現代数学社、1987年、p.122.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.115-6.