→総目次 |
【設定】R: 実数体+ : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題1】どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、 x<y ならば、 x+z<y+zが成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y,z∈R ) ( x<y ⇒ x+z<y+z ) 【なぜ?】実数体の定義-条件Cより、 ・( ∀x,y,z∈X ) ( x<y ⇒ x+z < y+z ) を満たす代数系X・順序集合(X,≦)を、 実数体Rとよび ・実数体Rの元を実数と呼ぶ のだから、 ( ∀x,y,z∈R ) ( x<y ⇒ x+z<y+z ) は必ず成り立つ。 成り立たなければ、実数とは呼ばない。 【本題2】どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、 x≦y ならば、 x+z≦y+zが成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y,z∈R ) ( x≦y ⇒ x+z ≦ y+z ) 【なぜ?】 |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体+ : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題1】どんなふうに、実数x,y,a,bを選んでも、 x<y かつ a<b ならば、 x+a<y+bが成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y,a,b ∈R ) ( x<y かつ a<b ⇒ x+a<y+b ) [自力] 【なぜ?】 |
|
【本題2】どんなふうに、実数x,y,a,bを選んでも、 x≦y かつ a<b ならば、 x+a < y+b が成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y,a,b∈R ) ( x≦y かつ a<b ⇒ x+a<y+b ) |
|
【本題3】どんなふうに、実数x,y,a,bを選んでも、 x≦y かつ a≦b ならば、 x+a≦ y+b が成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y,a,b∈R ) ( x≦y かつ a≦b ⇒ x+a ≦ y+b ) |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体+ : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された加法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題1】どんなふうに、実数x,yを選んでも、 x<y ならば、 0<y−xが成り立ち、 0<y−x ならば、 x<y が成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y∈R ) ( x<y ⇔ 0<y−x ) 【なぜ?】黒田『微分積分学』2.2.2命題2.1(p.25)に証明が掲載 【本題2】どんなふうに、実数x,yを選んでも、 x≦y ならば、 0≦y−x が成り立ち、 0≦y−x ならば、 x≦y が成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y∈R ) ( x≦y ⇔ 0≦y−x) 【なぜ?】黒田『微分積分学』2.2.2命題2.1(p.25)に証明が掲載 |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題】どんなふうに、実数x,y,zを選んでも、 x<y かつ 0<z ならば、 xz<yz が成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y,z∈R ) ( x<y かつ 0<z ⇒ xz<yz ) 【なぜ?】 |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題1】どんなふうに、実数x,yを選んでも、 x<y ならば、 −y<−x が成り立つ。 つまり、 ( ∀x,y ∈R ) ( x<y ⇒ −y<−x ) 【なぜ?】 |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題1】どんなふうに、実数aを選んでも、 0<a ならば、 −a<0 が成り立つ。 つまり、 ( ∀a∈R ) ( 0<a ⇒ −a<0 ) 【なぜ?】二つの実数の反数の順序:( ∀x,y∈R ) ( x<y ⇒ −y<−x )で、 x=0, y=a∈Rとおくと、 0<a ⇒ −a<−0=0 【本題2】どんなふうに、実数aを選んでも、 a<0 ならば、 0<−a が成り立つ。 つまり、 ( ∀a∈R ) ( a<0 ⇒ 0<−a ) 【なぜ?】二つの実数の反数の順序:( ∀x,y∈R ) ( x<y ⇒ −y<−x )で、 y=0, x=a∈Rとおくと、 a<0 ⇒ −0<−a |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題1】どんなふうに、実数x,y,cを選んでも、 x<y かつ c<0 ならば、 yc<xc が成り立つ。 つまり、( ∀x,y,c∈R ) ( x<y かつ c<0 ⇒ yc<xc ) |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題】どんなふうに、実数を二つ選んでも、同符号の積は正、異符号の積は負。 つまり、 ( ∀x,y∈R ) ( 0<x かつ 0<y ⇒ 0<xy ) ( ∀x,y∈R ) ( 0<x かつ y<0 ⇒ xy<0 ) ( ∀x,y∈R ) ( x<0 かつ 0<y ⇒ xy<0 ) ( ∀x,y∈R ) ( x<0 かつ y<0 ⇒ 0<xy ) 【なぜ?】順序と加法の性質、順序と乗法の性質を用いる。 詳しくは、赤『実数論講義』§2.5定理2.5.3証明(p.50) |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体 xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題】実数体に定義された加法の単位元0(実数体の定義条件A-1-3)は、 実数体に定義された乗法の単位元1(実数体の定義条件A-2-3)より小さい。 つまり、 0 < 1 【なぜ?】まず、 0 < 1・1 ∵同符号の実数の積は正 次に、 1・1=1 ∵1との積 以上2点から、0 < 1・1=1 [赤『実数論講義』§2.5定理2.5.7(p.51)] |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体 xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題】どんな正の実数の逆数も正、どんな負の実数の逆数も負。 つまり、 ( ∀x∈R−{0}) ( 0<x ⇒ 0<x-1 ) ( ∀x∈R−{0}) ( x<0 ⇒ x-1<0 ) 【なぜ?】神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(7)の解答(p.362); 赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.1(p.53) |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体 xy : 実数体の定義‐条件A-0より、Rに定義された乗法。 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題】二つの正の実数の順序は、それらの逆数をとると、反転する。 (∀x,y∈R) (0<xかつ0<yかつx<y ⇒ y-1<x-1 ) 【なぜ?】→神谷浦井『経済学のための数学入門』練習問題2.1.3(8)解答(p.362) →赤『実数論講義』§2.6 定理2.6.2(p.54)を参照。 |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【設定】R: 実数体 ≦: 実数体の定義‐条件B-1より、Rに定義された順序。 <: 実数体の定義‐条件B-1より、 「x<y⇔(x≦yかつx≠y)」としてRに定義された狭義順序 【本題】(∀x,y∈R) (x<y ⇒ x< (x+y)/(1+1) <y ) 【なぜ?】 |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |
【本題】実数体 は、自己稠密である。 すなわち、 実数体Rの任意の元x,yにたいして、x<z<yを満たすRの元zが存在する。 すなわち、(∀x,y∈R) (∃z∈R) (∀x,y∈R) ( x<z<y ) 【なぜ?】定理より、(∀x,y∈R) ( x<y ⇒ x< (x+y)/(1+1) <y ) であるから、 zとして、少なくとも、(x+y)/(1+1) が存在する。 |
|
→[トピック一覧:実数における不等式と加法乗法の関係] →総目次 |