誘導位相 
※位相関連ページ:開集合系・開集合閉集合系・閉集合近傍系・近傍
         
開核作用素・開核閉包作用素・閉包
         
位相空間・位相の定義部分位相空間・相対位相、 
         
コンパクト   

総目次

定義:誘導位相induced topology,逆像位相  
[松坂『集合・位相入門』第4章§5.A.(pp.186-7); 彌永『集合と位相II.位相第2章位相空間§2.8誘導位相(pp.212-4);
 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』項目4.3.14 (p.118.); 矢野『距離空間と位相構造2.2.4誘導位相(p.80);
 佐久間『集合・位相―基礎から応用まで―p.73;]
1.誘導位相の存在を保証する定理  
(設定)
 X'    : 集合  
 
O   : X'開集合系  
 
(X', O ) : 位相空間  
 
X    : 集合        
 
fXX'    XからX'への写像
(本題)
以下の手順で、
X部分集合系O0をつくる。
   手順
1: O 属す全ての開集合O'について、f逆像f1(O')をとっていく。
   手順
2: f1(O')を、すべてあつめて、X部分集合系O0とする。    
   つまり、
   
O0={ f1(O') |O'O }     
この
X部分集合系O0は、X開集合系となる。(なぜ?→証明
ゆえに、
O0は、Xにおける位相となり、位相空間 (X, O0)が成立する。
また、写像
fXX' は、(X, O0)から(X', O ) への連続写像となる。 
2.誘導位相の定義 
上記のように定義した
X位相O0を、
写像
fXX'によって、X'の位相から誘導される位相 
写像
fXX'によって、位相空間 (X', O )から誘導される位相  
という。 
活用例:相対位相の定義、  
(1で、O0X開集合系となることの証明)
  [斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』項目4.3.14 (p.118.);松坂『集合・位相入門』第4章§5.A.(p.187);  ]
(
設定)
 X'    : 集合  
 
O   : X'開集合系  
 
(X', O ) : 位相空間  
 
X    : 集合        
 
fXX'    XからX'への写像
 
O0{ f1(O') |O'O } で定義されるX部分集合系  
(本題) O0X開集合系であるための3条件を満たすことを示す。
Step1 : O0は条件1X,φO0」を満たすことを示す。
写像逆像の性質より、 f1 (φ)=φ、 f1 (X')= X   …(1)
O X'開集合系であるから、開集合系の定義より、X'O  かつ φO  
 したがって、O0={ f1 (O') |O'O }には、O'= X', O'=φとしたときの、f1 (O')属していることになる。
 すなわち、
O'= X'としたとき、f1 (X')=X  ∵(1) 
                  
O0   
      
O'=φとしたとき、f1 (φ)=φ  ∵(1)     
                  
O0   
以上から、
開集合系であるための第1条件「X,φO0」をO0が満たすことが示された。
Step2 : O0は条件2(O1,O2O0) (O1O2 O0)」を満たす。
 
Step2-1: 任意のO'1,O'2O に対してO'1O'2O である。
        
(O X'開集合系であるから、開集合系の条件2を満たす)
     したがって、
     
O0={ f1(O') |O'O } には、
       
O' = O'1O'2としたときのf1(O')属していることになる。
      すなわち、
O' = O'1O'2としたとき、f1(O')=f1(O'1O'2)O0   
     よって、
任意のO'1,O'2O に対して、f1(O'1O'2)O0 …(2) 
 
Step2-2:  O0の定義より、 
      
任意のO1,O2O0には、必ず、何らかのO'1,O'2 O が存在して、
       
O1=f1(O'1)O2=f1(O'2)と書ける。
      したがって、
      
任意のO1,O2O0に対して、
      
O1O2
      =f1(O'1)f1(O'2)
      =f1(O'1O'2) ∵写像の逆像の性質
             「
fABQ',Q''Bならば、f−1(Q'Q'')=f−1(Q')f−1(Q'')」より。
  
任意のO1,O2O に対して、f−1(O1O2) =f−1(O1)f−1(O2)  
      ここの
O'1,O'2は、何らかのO'1,O'2O であったから、
      
(2)を適用できて、O1O2=f1(O'1O'2)O0 
      よって、
O1O2O0  
Step3: O0は条件3「 O0属すX部分集合」のみからなる
          
任意の「X部分集合族Oλ(λΛ)和集合も、O0属す。」
   を満たす。  
 
Step3-1: O 属すX'部分集合」のみからなる
      
任意の「X'部分集合族O'λ(λΛ)和集合も、O 属す
      つまり、任意O'λO (λΛ)に対して、
                
        
(O X'開集合系であるから、開集合系の条件3を満たす)  
     したがって、
      
O0={ f1(O') |O'O } には、
      としたときの
f1(O')属していることになる。
      すなわち、としたとき、
           
f1(O')
           
           
O0   
     よって、
任意O'λO (λΛ)に対して、
            
(3) 
 
Step3-2: O0属すX部分集合」のみからなる任意の「X部分集合族」を、Oλ(λΛ)とおく。
     
O0の定義より、 
      
任意のλΛに対して、OλO0には、必ず、何らかのO'λO が存在して、
       
Oλ= f1(O'λ)と書ける。
    すると、  
     
         ∵
写像の逆像の性質
                 「
f : AB、{ Mλ}λΛが集合B部分集合族ならば、
                   」より。
    ここの
O'λは何らかのO'λO であったから、
    
O'λO (λΛ)は、O 属すX部分集合」のみからなるの「X部分集合族」のひとつ。
    すると、
(3)を適用できて、
     
    よって、
        

[トピック一覧:位相空間・位相の定義]

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Reference

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』岩波書店、1985年、項目14位相空間。
矢野公一『
距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 2章位相空間2.1位相構造2.1.1位相(pp.56-62)
斉藤正彦『数学の基礎:集合・数・位相』東大出版会、2002年。第4章位相空間(その1)§1位相空間の定義・開集合と閉集合4.1.1-(pp.99-)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。第4章§2位相空間(pp.152-165)P.164での著者による注意を読みおとさないように。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学:
集合と位相 III 岩波書店、1977年。 II.位相第2章位相空間§2.1閉包写像と位相空間-§2.3近傍(pp.173-190)
志賀浩二『位相への30』朝倉書店、1988年、第24講位相空間(pp.166-172)
佐久間一浩『
集合・位相―基礎から応用まで―』共立出版、2004年、p.73
西村和雄『
経済数学早わかり』日本評論社、1982年、第6章位相数学§1位相空間とは1.1-1.2(pp.272-8)。卑近な例もまじえつつ、具体的に説明。



 

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