誘導位相　
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定義：誘導位相induced topology,逆像位相　　
[松坂『集合・位相入門』第4章§5.A.(pp.186-7); 彌永『集合と位相』II.位相第2章位相空間§2.8誘導位相(pp.212-4);
　斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』項目4.3.14 (p.118.); 矢野『距離空間と位相構造』2.2.4誘導位相(p.80);
　佐久間『集合・位相―基礎から応用まで―』p.73;]
1.誘導位相の存在を保証する定理　　
(設定)
　X'　　　　:　集合　　
　O ’ 　　:　X'の開集合系　　
　(X', O ’) :　位相空間　　
　X　　　　:　集合　　　　　　　　
　f：X→X'　　　　XからX'への写像。
(本題)
以下の手順で、Xの部分集合系O₀をつくる。
　　　手順1: O ’に属す全ての開集合O'について、fの逆像f⁻¹(O')をとっていく。
　　　手順2: f⁻¹(O')を、すべてあつめて、Xの部分集合系O₀とする。　　　　
　　　つまり、
　　　O₀={ f⁻¹(O') |O'∈O ’}　　　　　
このXの部分集合系O₀は、Xの開集合系となる。（なぜ？→証明）
ゆえに、O₀は、Xにおける位相となり、位相空間 (X, O₀)が成立する。
また、写像f：X→X'　は、(X, O₀)から(X', O ’) への連続写像となる。　
2.誘導位相の定義　
上記のように定義したXの位相O₀を、
写像f：X→X'によって、X'の位相から誘導される位相　
写像f：X→X'によって、位相空間 (X', O ’)から誘導される位相　　
という。　
※活用例：相対位相の定義、　　
(1で、O₀がXの開集合系となることの証明)
　　[斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』項目4.3.14 (p.118.);松坂『集合・位相入門』第4章§5.A.(p.187);　　]
(設定)
　X'　　　　:　集合　　
　O ’ 　　:　X'の開集合系　　
　(X', O ’) :　位相空間　　
　X　　　　:　集合　　　　　　　　
　f：X→X'　　　　XからX'への写像。
　O₀：{ f⁻¹(O') |O'∈O ’}　で定義されるXの部分集合系　　
(本題) O₀がXの開集合系であるための3条件を満たすことを示す。
Step1 : O₀は条件1「X,φ∈O₀」を満たすことを示す。
・写像の逆像の性質より、　f⁻¹ (φ)=φ、　f⁻¹ (X')= X　　　…(1)
・O ’はX'の開集合系であるから、開集合系の定義より、X'∈O ’　かつ　φ∈O ’　
　したがって、O₀={ f⁻¹ (O') |O'∈O ’}には、O'= X', O'=φとしたときの、f⁻¹ (O')も属していることになる。
　すなわち、O'= X'としたとき、f⁻¹ (X')=X　　∵(1)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∈O₀　　　
　　　　　　O'=φとしたとき、f⁻¹ (φ)=φ　　∵(1)　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∈O₀　　　
以上から、開集合系であるための第1条件「X,φ∈O₀」をO₀が満たすことが示された。
Step2 : O₀は条件2「(∀O₁,O₂∈O₀) (O₁∩O₂∈ O₀)」を満たす。
　Step2-1:　任意のO'₁,O'₂∈O ’に対してO'₁∩O'₂∈O ’である。
　　　　　　　　(∵O ’はX'の開集合系であるから、開集合系の条件2を満たす)
　　　　　したがって、
　　　　　O₀={ f⁻¹(O') |O'∈O ’}　には、
　　　　　　　O' = O'₁∩O'₂としたときのf⁻¹(O')も属していることになる。
　　　　　　すなわち、O' = O'₁∩O'₂としたとき、f⁻¹(O')=f⁻¹(O'₁∩O'₂)∈O₀　　　
　　　　　よって、任意のO'₁,O'₂∈O ’に対して、f⁻¹(O'₁∩O'₂)∈O₀　…(2)　
　Step2-2:　　O₀の定義より、　
　　　　　　任意のO₁,O₂∈O₀には、必ず、何らかのO'₁,O'₂∈ O ’が存在して、
　　　　　　　O₁=f⁻¹(O'₁)、O₂=f⁻¹(O'₂)と書ける。
　　　　　　したがって、
　　　　　　任意のO₁,O₂∈O₀に対して、
　　　　　　O₁∩O₂
　　　　　　=f⁻¹(O'₁)∩f⁻¹(O'₂)
　　　　　　=f⁻¹(O'₁∩O'₂)　∵写像の逆像の性質
　　　　　　　　　　　　　「 f：A→B、Q',Q''⊂Bならば、f^−１(Q'∩Q'')=f^−１(Q')∩f^−１(Q'')」より。
　　任意のO₁,O₂∈O ’に対して、f^−１(O₁∩O₂) =f^−１(O₁)∩f^−１(O₂)　　
　　　　　　ここのO'₁,O'₂は、何らかのO'₁,O'₂∈O ’であったから、
　　　　　　(2)を適用できて、O₁∩O₂=f⁻¹(O'₁∩O'₂)∈O₀　
　　　　　　よって、O₁∩O₂∈O₀　　
Step3: O₀は条件3「　O₀に属す「Xの部分集合」のみからなる
　　　　　　　　　　任意の「Xの部分集合族」O_λ(λ∈Λ)の和集合も、O₀に属す。」
　　　を満たす。　　
　Step3-1:　O ’に属す「X'の部分集合」のみからなる
　　　　　　任意の「X'の部分集合族」O'_λ(λ∈Λ)の和集合も、O ’に属す。
　　　　　　つまり、任意のO'_λ∈O ’(λ∈Λ)に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　(∵O ’は X'の開集合系であるから、開集合系の条件3を満たす)　　
　　　　　したがって、
　　　　　　O₀={ f⁻¹(O') |O'∈O ’}　には、
　　　　　　としたときのf⁻¹(O')も属していることになる。
　　　　　　すなわち、としたとき、
　　　　　　　　　　　f⁻¹(O')
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　∈O₀　　　
　　　　　よって、任意のO'_λ∈O ’(λ∈Λ)に対して、
　　　　　　　　　　　　…(3)　
　Step3-2:　O₀に属す「Xの部分集合」のみからなる任意の「Xの部分集合族」を、O_λ(λ∈Λ)とおく。
　　　　　O₀の定義より、　
　　　　　　任意のλ∈Λに対して、O_λ∈O₀には、必ず、何らかのO'_λ∈O ’が存在して、
　　　　　　　O_λ= f⁻¹(O'_λ)と書ける。
　　　　すると、　　
　　　　　
　　　　　　　　　∵写像の逆像の性質
　　　　　　　　　　　　　　　　　「f : A→B、{ M_λ}_λ∈Λが集合Bの部分集合族ならば、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」より。
　　　　ここのO'_λは何らかのO'_λ∈O ’であったから、
　　　　O'_λ∈O ’(λ∈Λ)は、O ’に属す「Xの部分集合」のみからなるの「Xの部分集合族」のひとつ。
　　　　すると、(3)を適用できて、
　　　　　
　　　　よって、
　　　　　　　　

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日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』岩波書店、1985年、項目14位相空間。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年。 2章位相空間2.1位相構造2.1.1位相(pp.56-62)
斉藤正彦『数学の基礎：集合・数・位相』東大出版会、2002年。第4章位相空間(その1)§1位相空間の定義・開集合と閉集合4.1.1-(pp.99-)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。第4章§2位相空間(pp.152-165)。P.164での著者による注意を読みおとさないように。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：集合と位相　I・II』 岩波書店、1977年。 II.位相第2章位相空間§2.1閉包写像と位相空間-§2.3近傍(pp.173-190)
志賀浩二『位相への30講』朝倉書店、1988年、第24講位相空間(pp.166-172)。
佐久間一浩『集合・位相―基礎から応用まで―』共立出版、2004年、p.73。
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、第6章位相数学§1位相空間とは1.1-1.2。(pp.272-8)。卑近な例もまじえつつ、具体的に説明。

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