1変数関数の定義　real-valued functions of a real variable　：トピック一覧　　　

1変数関数本体の定義

・上記ビギナー向け「1変数関数」定義最大のポイ ントは、「…に対して、1個の実数を対応づける」の「1個」 にある。
　これを外してしまうと、《関数ではない対応》と区別がつかなくなってし まう。

　　 　* どういうこと？　→　関数と対応：　「関数ではない対応」と「関数である対応」との 違い　

厳密な定義

・1変数関数は、厳密には、「写像」という一般的な雛形の一つの具現化として、定義される。

・多くの教科書を比較検討すると、
　写像を雛形とした1変数関数の厳密な定義は、以下の2タイプに分かれている事に気づく。
　この2タイプの定義には、終集合の扱いに関して、微妙な差異が認められる。

【タイプBの定義を採用した場合に起こること〜終集合の設定範囲に幅〜同一規則だが別の関数】

・タイプBの定義を採用した場合、
　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 という言葉は、
　終集合を最大限広くとって、f(x)＝x² を対応規則とする写像「f:R→R」を指すものと解して も、
　終集合を狭くとって、
　　f(x)＝x² を対応規則とする写像「f ' :R→[-100,∞) 」を指すものと解しても、
　　f(x)＝x² を対応規則とする写像「f '':R→[-10,∞) 」を指すものと解しても、
　　f(x)＝x² を対応規則とする写像「f ''':R→[0,∞) 」を指すものと解しても、
　よいことになる（いずれにせよ、写像の定義を満たしているか ら）。
　　　　　　　（　もっとも、　f '''':R→(0,∞) ,f ''''':R→(10,∞) ,f ''''':R→(100,∞)　などと見た場合は、
　　　　　　　　　　　　値がφとなるところが でてきて、写像の定義を満たさなくなるので、もはや関数と呼べな い）
　同一の対応規則f(x)＝x² 、同一の定義域Rを 有すが、終集合が異なる
　　　　f:R→R
　　　　f ' :R→[-100,∞) 　
　　　　f '':R→[-10,∞)　
　　　　f ''':R→[0,∞)
　は、別の関数として扱われる。
　実際、f ''':R→[0,∞)は全射であるが、他は全射でない、といったように、これらの関数は別の性 質を帯びている。
　　[→ラング『ラング現代微積分学』0章§2 例3注(p.6)]

・一般に、Dで定義された1変数実数値関数「f:D→R」の値域f(D)にたいして、終集合Sを、f(D)⊂S⊂Rを 満たすようにとって、
　fと同一の対応規則に従うDで定義された1変数実数値関数「f ':D→S」　をつくっても、
　「f ' :D→S」 は、写像の定義、したがって、Dで定義さ れた1変数実数値関数の定義-タイプBを満たす。
　同一の対応規則、同一の定義域をもっていても、「f:D→R」と「f ':D→S」は、別の関数として扱わ れる。

　　（終集合Sが、f(D)⊂S⊂Rを 満たさない場合は、
　　　　　値がφとなるところが でてきて、写像の定義を満たさなくなるので、もはや関数と呼べな い）

・このように、タイプBの「Dで定義された1変数実数値関数」定義を採用した場合、
　　終集合の設定可能な範 囲に幅がでてくることになる。
　では、われわれは、終集合の設定範囲を、どのように選択すればよいのだろうか？
　これに対して、笠原『微分積分学』1.4 例3(p.23)は
　　「このようにΩ₂（注：写像の終集合をさす）をせばめるのは、
　　　たとえば多数の関数を同時に考察するときなどに不便である。
　　　そこで普通Ω₂（注：写像の終集合をさす）はなるべく広くとっておくことにする」
　と述べている。

【タイプAの定義を採用した場合に起こること】

・Dで定義された1変数実数値関数をタイプBで定義すると、「f:D→R」も「f ':D→S（f(D)⊂S⊂R）」 もDで定義された1変数実数値関数と呼んでよいが、
　Dで定義された1変数実数値関数をタイプAで定義すると、
　　Dで定義された1変数実数値関数と呼んでよいのは、「f:D→R」だけで、
　「f ':D→S（f(D)⊂S⊂R）」 は、　Dで定義された1変数実数値関数と呼べない。
・たとえば、
　タイプAの定義を採用した場合、
　f(x)＝x² を対応規則とするf:[0,∞)→R　は、1変数 実数値関数と呼んでよいが、
　　　f(x)＝x² を対応規則とするf:[0,∞)→[-100,∞)　
　　　f(x)＝x²を 対応規則とするf:[0,∞)→[-10,∞)　
　　　f(x)＝x² を対応規則とするf:[0,∞)→[0,∞)　
　を、1変数実数値関数と呼んではならない。
・だから、タイプAの1変数実数値関数の定義を採用した場合、
　　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 と言えば、
　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→R』」のみを指す。

【〈タイプAの定義〉〈タイプBの定義〉の違いがもたらす影響―全射の判定】

・「1変数実数値関数」の〈タイプAの定義〉〈タイプBの定義〉の違いは、
　　全射の判定に影響をもたらす。
・たとえば、「Rで定義された 1変数実数値関数 f(x)＝x²」 について。
・タイプAの1変数実数値関数の定義を採用した場合、
　　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 とは、
　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→R』」のみを指すから、
　　これは、断じて全射ではない。
・ところが、タイプBの1変数実数値関数の定義を採用した場合、
　　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 には、全射となる余地が出てくる。
　タイプBの1変数実数値関数の定義では、終集合の設定が各自の裁量にゆだねられているからである。
　詳しく説明すると…
　タイプBの1変数実数値関数の定義を採用すると、終集合をどこに設定するかが不定になるから、
　　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 は、
　　　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→R』」を指すかもしれな いし、
　　　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→[-100,∞)』」を指すかもしれない し、
　　　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→[-10,∞)』」を指すかもしれない し、
　　　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→[0,∞)』」を指すかもしれな い。
　終集合を広く取って、
　　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 を、
　　　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→R』」、「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→[-100,∞)』」、「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→[-10,∞)』」
　　などと解釈した場合、「Rで定義された 1変数実数値関数 f(x)＝x²」 は、全射でないが、
　終集合を狭くとって、
　　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 を、
　　　　「f(x)＝x² を対応規則とする『f:R→[0,∞)』」と解釈した場合、
　　「Rで 定義された1変数実数値関数 f(x)＝x²」 は全射となる。

【〈タイプAの定義〉〈タイプBの定義〉の違いがもたらす影響―《逆関数の定義》と《逆写像の定義》との関係】

・「1変数実数値関数」の〈タイプAの定義〉〈タイプBの定義〉の違いは、
　《逆関数の定義》と《逆写像の定義》との関係に影響を及ぼす。

・タイプAの「1変数実数値関数」では、《逆関数の定義》と《逆写像の定義》とのあいだにズレが生じるが、
　タイプBの「1変数実数値関数」では、《逆関数の定義》と《逆写像の定義》とを一致させることができる。

・「Dで定義された1変数実数値関数 fの逆関数（の存在）」とは、
　　　　「fの値域f(D)から定義域Dへの写像『f:f(D)→D』（の存在）」
　のことだった。

・すると、
　タイプAの1変数実数値関数の定義を採用した場合、
　　「Dで定義された1変数実数値関数 f」とは、写像「f:D→R」 を指すから、
　　「Dで定義された1変数実数値関数 fの逆写像（の存在）」とは、写像「f:R→D」（の存在）にほかなら ず、
　したがって、「『fの値域f(D)』＝『R全 体』」を満たすfを除いて、
　　「Dで定義された1変数実数値関数 fの逆関数（の存在）」という概念と「Dで 定義された1変数実数値関数 fの逆写像（の存在）」という概念とは一致しない。
　　（タイプAの1変数実数値関数の定義を採用した場合、登場する様々な写像を「関数」の定義に収め ようとすると、幾重もの困難に見舞われる。
　　　第一に、「f:D→R」の逆写像「f:R→D」は、終集合がRで はないから、タイプAの1変数実数値関数の定義に収まらない。
　　　第二に、「 fの逆関数『f:f(D)→D』」も、D＝Rと なるケースを除いて、終集合がRではないから、タイプAの1 変数実数値関数の定義に収まらない。
　　　第三に、逆写像が「 fの逆関数『f:f(D)→D』」となる「 f:D→f(D)」も、
　　　　　　　　　f(D)＝Rと なるケースを除いて、終集合がRではないから、タイプAの1 変数実数値関数の定義に収まらない。）
　　　
・ところが、タイプBの1変数実数値関数の定義を採用した場合、
　　「Dで定義された1変数実数値関数 f」は、終集合の設定が各自の裁量にゆだねられ ているから、
　　　　　　　fの終集合を「fの値域f(D)」に設定して、「Dで 定義された1変数実数値関数 f」を写像「f:D→f(D)」と解すことがで き、
　　　（あるいは、「f:D→R」でなくて「f:D→f(D)」であっても、「Dで 定義された1変数実数値関数 f」と呼ぶことが許されており、）
　　このように解すことによって、
　　　「Dで定義された1変数実数値関数 fの逆写像（の存在）」という概念を、
　　　「Dで定義された1変数実数値関数 fの逆関数（の存在）」という概念に一 致させることができる。

・ここから、《逆関数の存在条 件》の違いもでてきて、
　　・タイプAの1変数実数値関数の定義を採用した場合、《逆関数の存在条件》は「D上で定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』 が単射であること」　
　　・タイプBの1変数実数値関数の定義を採用した場合、《逆関数の存在条件》は「D上で定義された1変数(実数値)関数『f:D→f(D)』が全単射であること」
　となる。

・以上の話を、「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²」 を例にとって、具体的に展開してみよう。
・もちろん、「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²」 の逆関数は、x ＝ f ^-1 (y)＝√y　である。
・タイプAの1変数実数値関数の定義を採用した場合、
　　「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²の逆関数」x ＝ f ^-1 (y)＝√y　
　　は、
　　「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²の逆写像」ではない。
　　タイプAの1変数実数値関数の定義においては、
　　　　「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²」 とは、「f(x)＝x² を対応規則とする『f:[0,∞)→R』」であるから、
　　　　「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²」 の逆対応は、「f^-1:R→[0,∞)」となるが、これは写像の定義を満たさないので（たとえば、f^-1(-1)=φ）、
　　　　「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²の逆写像」は存在しない。
　このように、タイプAの1変数実数値関数の定義では、1変数実数値関数fが全単射でなくて、逆写像の存在条件を満たしていなくても、
　1変数実数値関数fが単射でありさえずれば、fの逆関数が存在することになる。

・タイプBの1変数実数値関数の定義を採用した場合、
　「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²」 を写像「f:[0,∞)→[0,∞)」と解すことが許されて いるから、
　　「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²の逆関数」x ＝ f ^-1 (y)＝√y　
　　は、
　　写像「f:[0,∞)→[0,∞)」と解した際の「[0,∞)で定義された1 変数実数値関数 f(x)＝x²」 の逆写像である。
　このように、タイプBの1変数実数値関数の定義では、
　　fの終集合の調整だけで、fに、逆写像の存在条件を満たしてやることができること、
　　つまり、fの終集合の調整だけで、fを全単射と解すことができること
　が、fの逆関数の 存在条件となってくる。

1変数関数を組み立てているパーツの定義　〜　定義域/値/逆像

1変数関数の定義についての解説〜関数でもある対応、関数ではない対応

・fが「『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、f(x)で表された実数を対応させる規則である」というだけでは、 　fを、関数と呼んでよいかどうかはわからない。 　しかし、このようなfは、関数でなくとも、少なくとも対応であるとはいえる。 ・対応fは、 　　　[ケース0] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、0個の実数f(x)を対応させる（つまり、対応させる相手がない）（すなわち、f(x)＝φ）　　　　 　ことも、 　　　[ケース1] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、1個の実数f(x)を対応させる（すなわち、f(x)＝一元集合） 　ことも、 　　　[ケース2] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、2個以上の実数f(x)を対応させる 　ことも許容する概念である。 ・これに対して、関数fは、 　　　どの『Rの部分集合Dに属す実数』xに対してでも、 　　　　　[ケース1] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、1個の実数f(x)を対応させる（すなわち、f(x)＝「実数の一元集合」） 　のでなければならない。 ・だから、 　「対応fが関数である」ためには、 　　　　・どの『Rの部分集合Dに属す実数』xに対しても、 　　　　　　　　　[ケース0] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、0個の実数f(x)を対応させる（つまり、対応させる相手がない） 　　　　　　ような割り当てが一切ないこと 　　　　　　　　　　　　(∀x∈D⊂R)　( f(x)≠φ ) 　　　　・どの『Rの部分集合Dに属す実数』xに対しても、 　　　　　　　　　[ケース2] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、2個以上の実数f(x)を対応させる 　　　　　ような割り当てが一切ないこと、　　 　　が共に満たされていなければならない。 ・逆に、 　　　・少なくとも一つ以上の『Rの部分集合Dに属す実数』xに対し、 　　　　　　　[ケース0] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、0個の実数f(x)を対応させる（つまり、対応させる相手がない） 　　　　ような割り当てがなされている 　　　　　　　　　　　　(∃x∈D⊂R)　( f(x)＝φ) 　　　・少なくとも一つ以上の『Rの部分集合Dに属す実数』xに対し、 　　　　　　　　　[ケース2] 『Rの部分集合Dに属す実数』xにたいして、2個以上の実数f(x)を対応させる 　　　　　　　　　　　　(∃x∈D⊂R)　( f(x)＝「2個以上の実数からなる集合」) 　　　　ような割り当てがなされている 　のいずれかに該当するfは、 　「関数ではない対応f」である。
・対応fが数式で書かれているからといって、  「対応fが関数である」とは限らない。 　数式で書かれた対応fのなかには、  「関数ではない対応f」となるものが多々ある。 　　[例] 　　　「f(x)＝1/x　と表された対応『f:R→R』」は、 　　　関数ではない。 　　　なぜなら、 　　　x＝0∈Rにおいて、 f(0)＝1/0＝φとなる（∵実数体の定義）から。 　　　しかし、 　　　R全体ではなく、 　　　Rから0を除いたR−{0}＝(−∞,０)∪(０, ＋∞)で定義しなおして、 　　　「f(x)＝1/x　と表された対応『f:（R−{0}）→R』」とすると、 　　　対応fは 関数となる。 　　　[小林昭七『微分積分読本:1変数』2章1(p.39)]
[例]       f(x)＝ x と表された対応「f:R→R」は、関数ではない。 　　　　 　　　なぜなら、x＜0を満たすx∈Rにおいて、 f(x)＝φとなるから。 　　　しかし、 　　　R全体ではなく、 　　　Rから「負の実数」を除いた 　　　　　　D＝[0,∞）＝{x∈R|x≧0}　 　　　で定義しなおして、 　　　「f(x)＝1/x　と表された対応『f:D→R』」とすると、 　　　対応fは 関数となる。 　　　あるいは、 　　　　実数に対して実数を対応させるのではなく、 　　　　実数に対して、複素数を対応させるように変更する方向で、 　　　対応fを 関数にしていくことも可能 　　　　　　　　[小林昭七『微分積分読本:1変数』2章1(p.39)]
・少なくとも一つ以上の『Rの部分集合Dに属す実数』xに対し、2個以上の実数f(x)を対応させているために、 　「関数ではない対応f」となる例として、以下をあげる。 　[例]　　実数xに対して、「x2+y2=1を満たすyの値」を割り当てる対応f 　　　　　-1≦x≦1においては、 　　　　　　f(x)＝±  1−x2  　　　　　 -∞＜x＜−1 または 1＜x＜∞ においては、 　　　　　　　　　f(x)＝φ　　 ・対応fが関数であるからといって、 　fの逆対応も関数になるとは限らない。 　関数fの逆対応のなかには、「関数ではない対応」となるものが多々ある。 　→くわしくは、逆関数をみよ。