全射surjectiveである1変数関数 ：トピック一覧

・1変数関数を 「写像を用いない一般的な定義」で定義した場合の全射について

・1変数関数を 「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した場合の全射定義
　　　→「　像」概念を用いた「全射」定義
　　　→「逆像」概念を用いた「全射」定義
　　　→「値域」概念を用いた「全射」定義　

・1変数関数を 「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した場合の全射定義　
　　　→「　像」概念を用いた「全射」定義 
　　　→「逆像」概念を用いた「全射」定義　　
　　　→「値域」概念を用いた「全射」定義　

・具体例　　[そのうち、グラフを描いて、説明]

【1変数関数全般】　　定義：1変数関数とその属性・類型
【全単射関連ページ】　写像一般の全射定義

* 総目次

1変数関数を「写像を用いない一般的な定義」で定義した場合の全射について

【全射である/ない】

・Dで定義された1変数実数値関数fを、y=f(x)=「xの式」とだけ記す限り、
　「Dで定義された1変数実数値関数fが全射である」
　とか
　「Dで定義された1変数実数値関数fが全射でない」
　とか、
　定義されない。

・そもそも、「全射である/ない」という区別は、
　　Dで定義された1変数実数値関数fが、自らの終集合に関して、どのように振舞うか、
　に関わるものであるから、

　終集合を指定して
　　　『f:D→R』
　　　『f:D→S（D⊂R、S⊂R）』
　などと、Dで定義された1変数実数値関数fを表現しない限り、

　「全射である/ない」という区別はできない。

　　　→　1変数関数を 「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した場合の全射定義
　　　→　1変数関数を 「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した場合の全射定義　

【〜の上への写像である/ない】

・「Dで定義された1変数実数値関数fがRの上への写像である」とは、「fの値域」f (D)がRに一致する、すなわち、　f (D)＝R　ということ。

・「Dで定義された1変数実数値関数fはRの上への写像でない」とは、「fの値域」f (D)がRに一致しない、すなわち　　f (D) ⊊ R　ということ。

・「Rの部分集合」S に対して、「Dで定義された1変数実数値関数f が Sの上への写像である」とは、「fの値域」f (D)が「Rの部分集合」S に一致する、すなわち、　f (D)＝S　ということ。

・「Rの部分集合」S に対して、「Dで定義された1変数実数値関数f が Sの上への写像でない」とは、「fの値域」f (D)がSに一致しない、すなわち、f (D) ⊊ S　ということ。


1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した場合の全射定義

はじめに読むべき定義　

・Dで定義された1変数実 数値関数『f:D→R』は、
　　『定義域Dに属す実数』一つ一つにたいして、一個の実数を値として割り当てていくが、
　このとき、
　　　・すべての実数を値として使い切ってしまうタイプの関数
　もあれば、
　　　・値として使わないまま残る実数を出すタイプの関数
　もある。

・「Dで定義された1変数 実数値関数『f:D→R』が全射で ある」「Dで定義された1変数 実数値関数 f が、Rの上への写像で ある」
　 とは、
　　 f が「すべての実数を値として使い切ってしまうタイプの関数」である
　ことを意味する。

・「Dで定義された1変数 実数値関数『f:D→R』が全射でな い」「Dで定義された1変数 実数値関数 f が、Rの上への写像 でない」
　 とは、
　　 f が「値として使わないまま 残る実数を出すタイプの関数」である
　ことを意味する。

*　厳密には？→「像」概念を用いた「全射」定義 / 「逆像」概念を用いた「全射」定義 / 「値域」概念を用いた「全射」定義　

*　一般化すると？→写像一般の全射定義　

[→全射冒頭]

 　
「像」概念を用いた「全射」定義
　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全射である」
「Dで定義された1変数実数値関数 f が、Rの上への写像である」とは、
　┌　どの実数を一つ選んでも、
　｜　その実数をfが値として割り当てる『定義域Dに属す実数』が存在する
　└　　  　　∀y∈R　∃x∈D⊂R　（f (x)＝y）
ということ。

【文献】

　・青本『微分と積分1』§1.4(b)(p.34):surjective
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例3(p.6)






「逆像」概念を用いた「全射」定義　　
　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全射である」
「Dで定義された1変数実数値関数 f が、Rの上への写像である」
　とは、
　┌　どの実数を一つ選んでも、
　｜　その実数のfによる逆像に、少なくとも一つ以上の実数が属す　
　｜　　∀y∈R (f−1(y)≠φ)　　　
　└
　ということ。

【文献】

　見当たらないので、写像一般の全射定義を自分で具体化。




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数 f が、Rの上への写像でない」
　 とは、
　　　　┌　実数のなかには、
　　　　｜　その実数のfによる逆像が空集合となるものがある　　
　　　 　｜　　(∃y∈R) (f−1(y)＝φ)　　　
　　　　└
　　ということ。　

【文献】

　見当たらないので、写像一般の全射定義を自分で具体化。




「値域」概念を用いた「全射」定義　
　





「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全射である」
　 とは、
　　「fの値域」f (D)がRに一致すること　f (D)＝R　。


【文献】

　・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.2)
　・加藤十吉『微分積分学原論』4.3-例9(pp.36-7)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例3(p.6)




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→R』が全射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数 f が、Rの上への写像でない」
　とは、
　　「fの値域」f (D)がRに一致しない　、すなわち　　f (D) ⊊ R　　
　ということ。

【文献】

　・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.2)
　・加藤十吉『微分積分学原論』4.3-例9(pp.36-7)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例3(p.6)




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1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した場合の全射定義

はじめに読むべき定義　

・Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D⊂R、S⊂R）』は、
　　『定義域Dに属す実数』一つ一つにたいして、一個の実数を値として割り当てていくが、
　このとき、
　　　・すべての「Sに属す実数」を値として使い切ってしまうタイプの関数
　もあれば、
　　　・値として使わないまま残る「Sに属す実数」を出すタイプの関数
　もある。

・「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D⊂R、S⊂R）』が全射である」「Dで定義された1変数実数値関数 f が、Sの上への写像である」
　 とは、
　　 f が「すべての『Sに属す実数』を値として使い切ってしまうタイプの関数」である
　ことを意味する。

・「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D⊂R、S⊂R）』が全射でない」「Dで定義された1変数実数値関数 f が、Sの上への写像でない」
　 とは、
　　 f が「値として使わないまま残る『Sに属す実数』を出すタイプの関数」である
　ことを意味する。

*　厳密には？
　　→「像」概念を用いた「全射」定義 
　　→「逆像」概念を用いた「全射」定義　　
　　→「値域」概念を用いた「全射」定義　

*　一般化すると？→写像一般の全射定義　

[→全射冒頭]

　
「像」概念を用いた「全射」定義
　




「Rの部分集合」S に対して、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S』が全射である」
　「Dで定義された1変数実数値関数 f がSの上への写像である」
　とは、
　　┌　「Rの部分集合」S から、どの実数を一つ選んでも、
　　｜　　　その実数をfが値として割り当てる『定義域Dに属す実数』が存在する
　　└　　  　　　(∀y∈S⊂R)（∃x∈D⊂R）（f (x)＝y）
　ということ。






「逆像」概念を用いた「全射」定義　　
　




「Rの部分集合」S に対して、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S』が全射である」
　「Dで定義された1変数実数値関数 f がSの上への写像である」
とは、
　┌　「Rの部分集合」S から、どの実数を一つ選んでも、
　｜　　　その実数のfによる逆像に、少なくとも一つ以上の実数が属す
　└　　  　　　(∀y∈S⊂R) (f−1(y)≠φ)　
ということ。




　




「Rの部分集合」S に対して、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S』が全射でない」
　「Dで定義された1変数実数値関数 f がSの上への写像でない」
とは、
　┌　「Rの部分集合」Sの実数のなかには、
　｜　　　その実数のfによる逆像が空集合となるものがある
　└　　  　　　(∃y∈S⊂R) (f−1(y)＝φ)　
ということ。




「値域」概念を用いた「全射」定義　
　





「Rの部分集合」S に対して、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S』が全射である」
　「Dで定義された1変数実数値関数 f がSの上への写像である」
とは、
「fの値域」f (D)が「Rの部分集合」S に一致すること　f (D)＝S。




　




「Rの部分集合」S に対して、
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S』が全射でない」
　「Dで定義された1変数実数値関数 f が、Sの上への写像でない」
とは、
　　「fの値域」f (D)がSに一致しない　すなわち　　f (D) ⊊ S　　
ということ。




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全射である1変数関数の具体例


[全射である1変数実数値関数の例]


　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　　f(x)＝x と表される1次関数 『f:R→R』は全射（Rの上への写像）[自力]

　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝2x-3 [笠原-例1]

　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝x+1 [ラング]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝-5x-2
　　　　　　　　　　　　 [『解析演習ハンドブック1変数関数編』]
　・定義域D＝(0,∞）＝{ x∈R | x＞0 }で定義され、
　　f(x)=logx　と表される対数関数『f:D→R』は、全射（Rの上への写像）　[赤]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　f(x)＝x3 と表される3次関数『f:R→R』は、全射（Rの上への写像） [黒田]

　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　f(x)＝x3＋x2−x と表される『f:R→R』は全射（Rの上への写像）[赤]

[全射でない1変数実数値関数の例]


　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　f(x)=ex  と表される指数関数『f:R→R』は、全射（Rの上への写像）ではない。
　　　「fの値域」f (D)は、(0,∞）だから。[赤]

　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義され、
　　　f(x)＝x2 と表される2次関数『f:R→R』は、全射（Rの上への写像）ではない。
　　　「fの値域」f (D)は、[0,∞）だから。[赤;笠原-例2;黒田；ラング]
　　ただし、
　　　f ' (x)＝x2 と表される2次関数『f ':R→[0,∞)』は全射（[0,∞)の上への写像）となる。
　　このように、同一の数式で表される写像であっても、
　　終集合のとり方によって、全射になったり、全射でなかったりすることがある。
　　　[黒田；ラング]

　・定義域D＝[-1,1]＝{ x∈R | -1≦x≦1 }で定義され、

   f(x)＝
1−x2
と表される関数「f:D→R」　
　　は、全射（Rの上への写像）ではない。[笠原-例3]

[1変数関数の具体例についての全単射の検討]

　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　・指数関数/対数関数　
　・絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

[文献]

　・黒田『微分積分学』3.1.2-例3.2(pp.86-7)
　・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.23)例1
　・笠原皓司『微分積分学』1.4例1-3(p.23)
　・加藤十吉『微分積分学原論』4.3-例9(pp.36-7):2次関数
　 ・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex.1.1.12(p.11)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例3(p.6)

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