対応  correspondence  ：　トピック一覧

・対応の定義：対応　
・対応を組み立てている概念：始集合/終集合/像/逆像　
・対応の属性：相等/定義域/値域/グラフ(対応とグラフの関係)　
・対応から組み立てられる関係：逆対応(逆対応のグラフ/逆対応の定義域/逆対応の値域/逆対応の逆対応)/合成（合成の結合則）　　　　
・対応の諸類型：分類基準/一意対応/一対一対応/写像/単射/一対一写像/全射/全単射 
※対応関連ページ：写像/1変数関数(1次関数 ) /2変数関数/n変数関数/実数値関数/ベクトル値関数　
→集合論目次　
→総目次　

定義：集合Aから集合Bへの対応 correspondence、 始集合 initial set、終集合 final set、像 image、逆像 inverse image 　

定義

 ・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」とは、
　　集合Aの各元aに対して、
　　集合Bの部分集合f(a)を　　　 (「集合Bの元」をではない！)
　　定める規則f
　　のことをいう。

[文献]　

・松坂『集合・位相入門』第1章§3.B (pp.23-4);
・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157)
・高橋『経済学とファイナンスのための数学』2.1(p.27)
・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。
・Fischer, Intermediate Real Analysis, Ⅱ.2.Def2.1 (p.44):直積の部分集合。関係。対応。割り当て。
・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-4-Correspondence(p.23)
※上記文献以外では、記述が見当たらなかった。
※De La Fuenteの定義は、日本の文献での定義と、少し異なる。
　このノートでは、『岩波数学事典』を規準とする。

定義

 ・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、
　「fの始集合initial set」 とは、
　　　集合Aのことを指す。

定義

 ・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、
　「対応fの終集合final set」 とは、
　　　集合Bのことを指す。

[例]

対応の例

　上の図例では、
　・対応fの始集合は集合A、対応fの終集合は集合B、
　・「fによるa1の像」f(a1)＝{b1,b3}、「fによるa2の像」f(a2)＝φ 、
　　「fによるa3の像」f(a3)＝{b1,b3} 、「fによるa4の像」f(a4)＝{b2} 、
　・「fによるb1の逆像」f－1(b1)＝{a1,a3}、「fによるb2の逆像」f－1(b2)＝{a4} 、
　　「fによるb3の逆像」f－1(b3)＝{a1,a3} 、「fによるb4の逆像」f－1(b4)＝φ 　
　となっている。

定義

 ・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、
　「fによるaの像」 とは、　
　　　対応fが、a∈Aに対して割り当てた「集合Bの部分集合」　f (a)
　のことを指す。
・記号　f (a)　で表す。

定義

 ・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、
　「『終集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」とは、
　　　「対応fによって『終集合Bの元』bを割り当てられた『定義域Aの元』」
　　　　をあつめた集合
　のこと。

・対応で《多対多の割り当て》も許容されている点に留意して、
　もう少し厳密に言うと、
　対応「f:A→B」において、
　「『終集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」とは、
   『終集合Bの元』bを、『対応fによる像』のなかに含む「集合Aの元」の集合
　　　{ a∈A | b∈f(a) }　
  のこと。
・記号　f－1(b)　で表す。
・もちろん、
　「『集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」は、
　　　集合Aの部分集合になっている。
　　f－1(b)＝{ a∈A | b∈f(a) }　　⊂　A

注意

 ・冒頭の定義を注意深く読むと、わかるように、
　対応は、
　始集合の一つの元にたいして、
　　　終集合の一つの元ではなく、終集合の部分集合(一つの元でも、複数の元でも、ゼロ個の元[つまり空集合φ]でもよい)
　を割り当てる関係であるから、
　集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」では、
　　　　・始集合Aの一つの元にたいして、終集合Bの一つの元を割り当てるという関係
　　　　　　　　　つまり、a∈Aに対して、f(a)＝{b}　（ただし、b∈B）　という割り当てかた
　のみならず、
　　　　・始集合Aの一つの元にたいして、終集合Bの複数の元を割り当てるという関係
　　　　　　　　　つまり、a∈Aに対して、f(a)＝{b1,b2,…bn}　（ただし、b1,b2,…bn∈B）　という割り当てかた
　も、
　　　　・始集合Aの一つの元にたいして、終集合Bの０個の元を割り当てる（要するに、終集合Bの元を割り当てない）という関係
　　　　　　　　　つまり、a∈Aに対して、f(a)＝φ　という割り当てかた
　も、
　　許容されている。
　　（なぜなら、{b}も、{b1,b2,…bn}も、φも、「集合Bの部分集合」だから。　）　　
・また、集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」の定義は、
　始集合Aの異なる二つの元a≠a' に対して、f(a)＝f(a')となることを排除していない。
　だから、
　始集合Aの異なる二つの元a≠a' に対して、f(a)＝f(a')となるような関係であっても、
　対応と呼んで差し支えない。
・つまり、対応「f:A→B」は、
　始集合Aの元から終集合Bの元への1対1の割り当てのみならず、
　始集合Aの元から終集合Bの元への1対多の割り当て、
　始集合Aの元から終集合Bの元への1対０（つまり割り当て拒否）、
　始集合Aの元から終集合Bの元への多対1の割り当て、
　をすべて許容する、
　「始集合Aの元から終集合Bの元への割り当て」全般を広範に指す概念だということになる。　　

※

 対応の下位類型：分類基準/一意対応/一対一対応/写像/単射/一対一写像/全射/全単射

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定義：対応の相等

定義

 ・「AからBへの対応f、f'が等しい」、すなわち、f＝f'
　とは、
　Aの任意の元aに対して、そのf、f'による像が等しい、
　　すなわち、( ∀ a∈A ) (f(a)＝f'(a) )　となることをいう。
・「AからBへの対応f、f'が等しい」ことを、
　　　f＝f'　
　とあらわす。

[文献]

・松坂『集合・位相入門』第1章§3.B (p.24);

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定義：対応のグラフ

定義

 AからBへの対応fのグラフ　G(f) とは、
　　　直積A×Bの部分集合 {(a,b)| a∈A, b∈f(a) }　
　のことを言う。
　　すなわち、G(f)＝{(a,b)| a∈A, b∈f(a) }
　このことは、次のように言いかえられる。
　・a∈A, b∈Bに対し、(a,b)∈G(f) ⇔ b∈f(a)　
　・f(a)＝{b| (a,b)∈G(f) }　

[文献]

・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C (p.24);
・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。

以下の写像の集合一元論的定義も参照のこと。
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』1.2.1(pp.10-11)　
　・竹内外史『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』(pp.105-9)

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定理：グラフがあれば、対応が存在する。

定理

 　直積A×Bの任意の部分集合Cに対し、
　C= G(f)となるような、
　対応f：A→Bがただ一つ存在する。　
　（グラフの定義・定理の解釈）
　　AからBへの対応を一つ決めることと、
　　直積A×Bの一つの部分集合を選ぶことは、同じ。

[文献]

・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C定理1 (p.25)証明付;


以下の写像の集合一元論的定義も参照のこと。
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』1.2.1(pp.10-11)　
　・竹内外史『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』(pp.105-9)

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定義：対応の定義域domain

Ⅰ.直感的な説明
Ⅱ.厳密な定義
[ケース1-0の例]　　　　　　　　　　　　[ケース1-1]
対応の割り当てタイプ１対応　1対0の割り当て
[ケース1-2の例]
対応　1対多の割り当て対応　1対多の割り当て

[Ⅰ.直感的な説明]

step1

 　対応「f:A→B」の定義では、
　　[ケース1-0]　始集合Aに属す元aに対して、
　　　　　　　　　終集合Bに属す元一個を割り当てるケース
                   （1対1の割り当て）
　　　　　　　　　　　　たとえば、f(a)＝{b}　（右図）
　のほか、
　　[ケース1-1]　始集合Aに属す元aに対して、
　　　　　　　　　終集合Bに属す元を割り当てないケース
　　　　　　　　　　つまり、f(a)＝φ　となるケース（右図）
                       （1対0の割り当て）
　や、
　　[ケース1-2]　始集合Aに属す元aに対して、
　 　　　　　　　複数の「終集合Bに属す元」を割り当てるケース
　 　　　　　　　（1対多の割り当て）
　　　　　　　　　　たとえば、f(a)＝{b1,b3},　f(a)＝{b1,b2,b3}　（右図）
　も容認されていた。
　だから、
　[ケース1-1]や[ケース1-2]のような割り当てが f でなされていても、
　f は「対応」と呼ばれるのだった。

step2

 ・ということは、
　対応「f:A→B」の始集合Aには、
　　　[ケース1-0]終集合Bに属す元一個を割り当てられた元　
　　　[ケース1-2]複数個の「終集合Bに属す元」を割り当てられた元　
　　　[ケース1-1]終集合Bに属す元を割り当てない元　　　
　という3タイプの元が含まれ得るわけである。

step3

 ・これら3タイプの「始集合Aの元」のうち、
　　　[ケース1-0]終集合Bに属す元一個を割り当てられた元　
　　　[ケース1-2]複数個の「終集合Bに属す元」を割り当てられた元　
　という2タイプの元をあつめた集合を、
　「対応『f：A→B』の定義域」と呼ぶ。　　　　　　　　

・「f の始集合A」のなかで、『fの定義域D』ではない部分は、
　　　[ケース1-1]終集合Bに属す元を割り当てない元　　　
　の集合である。　
　記号でかくと、A－D＝{a∈A　| f(a) ＝φ }　　

[対応の具体例の定義域]

　・写像の定義域（写像では、始集合は定義域である）
　・1変数関数の定義域/2変数関数の定義域/n変数関数の定義域/実数関数一般の定義域
　・ベクトル値関数の定義域
　・


図例
「対応f：A→B」の右図の例では、
　　　　f(a1)＝{b1,b3}≠φ
　　　　f(a2)＝φ
　　　　　f(a3)＝{b1,b3} ≠φ　
　　　　f(a4)＝{b2} ≠φ　
だから、
右図の例において、 「対応f：A→B」の定義域は、{a1,a3,a4}　である。
　　　		 対応の例

[Ⅱ.厳密な定義]

定義

[グラフによる定義]

　「対応f：A→B」の定義域とは、
　　　(a,b)∈G(f)となるb∈Bが少なくとも一つ存在するような
　　　Aの元a全体のつくるAの部分集合　
　　　　　　{a∈A| (∃b∈B) ( (a,b)∈G(f) ) }　　　　
　　のこと。

[グラフによらない定義]

・「対応f：A→B」の定義域とは、
　　　集合Aから「f(a) ≠φを満たす元a」を収集した集合
　　　　　　{a∈A　| f(a) ≠φ }　
　　のこと。　　　　[彌永『集合と位相』§2.2(p.33)]
　　　

[文献]

・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C～D (pp.25-7)
・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。
・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157)



 ・だから、　
　「『f の始集合A』に属すのに『fの定義域』には属さない元」とは、
　　fによってφを割り当てられる（つまり、終集合Bの元を一個も割り当てられない）「Aの元」である。
　つまり、
　　『f の始集合A』と『fの定義域D』の差集合　A－D＝{a∈A　| f(a) ＝φ }　　　　

→[トピック一覧：対応]
→集合論目次・総目次

定義：対応の値域range　

Ⅰ.直感的な説明
Ⅱ.厳密な定義

[直感的な説明]

 [ケース2-0の例]　　　　　　　　
　対応の割り当てタイプ１
[ケース2-1の例]
　対応　多対1の割り当て　対応多対1の割り当て
[ケース2-2の例]
　対応0対1

step1

 　対応「f:A→B」の定義は、
　　[ケース2-0]　『終集合Bに属す元b』を割り当てられた『始集合Aに属す元』
　　　　　　　　は一個だけ
　　　　　　　　となるケース（1対1の割り当て）
　　　　　　　　たとえば、　f－1(b)＝{a}　（右図）

　のほか、
　　[ケース2-1]　『終集合Bに属す元b』を割り当てられた『始集合Aに属す元』
　　　　　　　　が複数
　　　　　　　　となるケース（多対1の割り当て）
　　　　　　　　たとえば、f－1(b)＝{a1,a4},　f－1(b)＝｛a1,a3,a4}（右図）　　
　や、
　　[ケース2-2]　『終集合Bに属す元b』を割り当てられた『始集合Aに属す元』
　　　　　　　　が皆無
　　　　　　　　となるケース　（0対1の割り当て）　　　　　　　
　　　　　　　　つまり、f－1(b)＝φ　となるケース
　も容認していた。

　だから、
　[ケース2-1]や[ケース2-2]のような割り当てを、f がおこなったとしても、
　f は「対応」と呼ばれるのだった。

step2

 ・ということは、
　対応「f:A→B」の終集合Bの元には、
　　[ケース2-0]「一個だけの『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元
　　[ケース2-1]「複数個の『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元
　　[ケース2-2]『始集合Aに属す元』からの割り当てがない元
　という3タイプの元が含まれ得るわけである。

step3

 ・これら3タイプの「終集合Bの元」のうち、
　[ケース2-0]「一個だけの『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元
　[ケース2-1]「複数個の『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元
　という2タイプの元をあつめた集合を、
　「対応『f：A→B』の値域」と呼ぶ。
　記号でかくと、「対応『f：A→B』の値域」とは、　
　　　　　　{b∈B　| f－1(b) ≠φ }　
　として定義される。

・「f の終集合B」のなかで、『fの値域f(A)』ではない部分は、
　　　[ケース2-2]　『始集合Aに属す元』からの割り当てがない元　　　　　
　の集合である。　
　記号でかくと、B－f(A)＝{b∈B　| f－1(b) ＝φ }　　


図例
「対応f：A→B」の右図の例では、
　　　f－1(b1) ＝{a1,a3}≠φ　
　　　f－1(b2) ＝{a4}≠φ　
　　　f－1(b3) ＝{a1,a3}≠φ　　　　
　　　f－1(b4) ＝φ　　　　
だから、
右図の例において、 「対応f：A→B」の値域は、{b1,b2,b3}　である。

 対応の例

[厳密な定義]

定義

[グラフによる定義]

　「対応f：A→B」の値域とは、
　　　(a,b)∈G(Γ)となるa∈Aが少なくとも一つ存在するような
　　　Bの元b全体のつくるBの部分集合　
　　　　　{b∈B| (∃a∈A) ( (a,b)∈G(Γ) ) }　
　　のこと。

[グラフによらない定義]

　「対応f：A→B」の値域とは、
　　　集合Bから「f－1(b)≠φを満たす元b」を収集した集合
　　　　　　{b∈B　| f－1(b) ≠φ }　
　　のこと。[松坂『集合・位相入門』第1章§3.D文末(p.27)]

[文献]

・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C～D (pp.25-7)
・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。
・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157)

→[トピック一覧：対応]
→集合論目次・総目次

定義：一意対応　univalent correspondence　

→[予備知識不要の定義/「対応の定義域」を用いた定義/他の「対応の類型」との関係/図例]

定義

[予備知識不要の定義]

・「集合Aから集合Bへの一意対応 f」とは、
　　下記条件を満たす「集合Aから集合Bへの対応f:A→B」のこと。
　　＊＊（条件）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　・対応fは、
　　　　どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、
　　　　　　0個ないし1個の『終集合Bに属す元』を割り当てなければならない。
　　・つまり、
　　　対応fは、
　　　　どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、　
　　　　次の２方法のいずれかで『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。
　　　　　　　　（割り当て方法1）『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない
　　　　　　　　　　　　　　　　　対応　1対0の割り当て
　　　　　　　　（割り当て方法2）『終集合Bに属す元』一個を割り当てる
　　　　　　　　　　　　　　　　　対応の割り当てタイプ１
　　・論理記号で表すと、
　　　　　( ∀ a∈A )　（　f(a)＝φ　または　f(a)＝一元集合　）　

　　＊＊（以上、条件終わり）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　

[文献]

・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157) :定義域を用いた定義　　

[関連事項]

・対応の諸類型：分類基準/一対一対応/写像/単射/一対一写像/全射/全単射
　　　　　　　　→一覧表：対応の分類基準と6分類の定義　
　　　　　　　　→ベン図：対応の6分類の包含関係

　


 ・「一意対応ではない対応」とは、
　　　上記条件を満たさない対応
　　　　すなわち、
　　　　「二個以上の『終集合Bの元』を割り当てた『fの始集合Aに属す元』」（たとえば、下図の『fの始集合に属す元』a）を、
　　　　少なくとも一つ以上は出す対応
　のこと。
　　　　　　　対応　1対多の割り当て対応　1対多の割り当て　　

　　→[一意対応定義の冒頭へ]

定義

[「対応の定義域」を用いた一意対応の定義]


・「集合Aから集合Bへの一意対応 f」とは、
　　下記条件を満たす「集合Aから集合Bへの対応f:A→B」のこと。
　　＊＊（条件）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　・対応fは、
　　　　どの『fの定義域に属す元』に対しても、
　　　　　　　　『終集合Bに属す元』一個を割り当てなければならない（右図）。
　　・つまり、
　　　対応fは、
　　　　どの『fの定義域に属す元a』に対しても、
　　　　　　　　　　　f(a)が一元集合とならなければならない（右図）。
　　＊＊（以上、条件終わり）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

・「一意対応ではない対応」とは、上記条件を満たさない対応である。



対応の割り当てタイプ１

※

[解説]

　・この「『対応の定義域』を用いた定義」は、
　　先述の「予備知識不要の定義」と全く同じ。
　・その鍵は、
　　「『対応の定義域』を用いた定義」の条件のなかの
　　　　「どの『fの定義域に属す元』に対しても」
　　という文言にある。
　・上記条件は、『fの定義域に属さない元』については、何も述べていない。　
　　『fの定義域に属さない元』とは、
　　　　　「終集合Bの元を一個も割り当てられない『Aの元』」(右図元a)
　　のことだった。
　・ということは、
　　対応fが一意対応と呼ばれるために満たすべき条件
 [fの定義域に属さない元]
対応　1対0の割り当て

　　　「どの『fの定義域に属す元』に対しても、『終集合Bに属す元』一個を割り当てる」
　　とは、
　　　「どの『fの始集合に属す元』に対しても、
　　　　　　　　　　　　『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない
　　　　　　　　　　　　または、
　　　　　　　　　　　　『終集合Bに属す元』一個を割り当てる」
　　　　　( ∀ a∈A )　（　f(a)＝φ　または　f(a)＝一元集合　）　　　
　　ということであり、
　　この条件を満たさない「一意対応ではない対応」とは、
　　　「『fの始集合に属す元』に対して、終集合Bの元を二個以上割り当てる場合もある」対応
　　だということになる。
　・だから、結局、「『対応の定義域』を用いた定義」は、「予備知識不要の定義」と全く同じになる。

　　→[一意対応定義の冒頭へ]


[一意対応と他の「対応の類型」との差分]


・一対一対応との差分：
　　以下の追加的条件も満たす一意対応fは、「一対一対応」と呼ばれる資格がある。
 →一覧表：対応の分類基準と6分類の定義　
→ベン図：対応の6分類の包含関係　　　

　　＊＊（一対一対応と呼ばれるための追加的条件）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　・どの『終集合Bに属す元』についてであれ、
　　　　一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数は、
　　　　　　　　　　　0個または1個でなければならない。
　　・つまり、「一意対応fの逆対応」も、一意対応でなければならない。
　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　

・写像との差分：
　　以下の追加的条件も満たす一意対応は、「写像」と呼ばれる資格がある。
　　＊＊（写像と呼ばれるための追加的条件）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　・一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。
　　　一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず１個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。
　　・つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。
　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　

・単射との差分：
　　以下の2つの追加的条件をともに満たす一意対応は、「単射」と呼ばれる資格がある。
　　＊＊（単射と呼ばれるための追加的条件）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　[条件1]　一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。
　　　　　　　一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず１個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。
　　　　　　　つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。
　　[条件2]　どの『終集合Bに属す元』についてであれ、
　　　　　　　　一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数は、
　　　　　　　　　　　0個または1個でなければならない。
　　　　　　　　　つまり、「一意対応fの逆対応」も、一意対応でなければならない。
　　*[条件1]は「一意対応が写像と呼ばれるための追加的条件」、[条件2]は、「一意対応が一対一対応と呼ばれるための追加的条件」に他ならない
　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　

・全射との差分：
　　以下の2つの追加的条件をともに満たす一意対応は、「全射」と呼ばれる資格がある。
　　＊＊（単射と呼ばれるための追加的条件）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　[条件1]　一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。
　　　　　　　一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず１個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。
　　　　　　　つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。
　　[条件2]　どの『終集合Bに属す元』についてであれ、
　　　　　　　　一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数が0個
　　　　　　　となってはならない。
　　　　　　　つまり、一意対応fによって『始集合Aに属す元』に割り当てられずに売れ残った『終集合Bに属す元』があってはならず、
　　　　　　　どの『終集合Bに属す元』も、1個または複数の『始集合Aに属す元』に割り当てなければならない。
　　*[条件1]は「一意対応が写像と呼ばれるための追加的条件」に他ならない。
　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　

・全単射との差分：
　　以下の2つの追加的条件をともに満たす一意対応は、「全単射」と呼ばれる資格がある。
　　＊＊（単射と呼ばれるための追加的条件）＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　[条件1]　一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。
　　　　　　　一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず１個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。
　　　　　　　つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。
　　[条件2]　どの『終集合Bに属す元』についてであれ、
　　　　　　　　一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数は、
　　　　　　　　　　　1個でなければならない。
　　*[条件1]は「一意対応が写像と呼ばれるための追加的条件」に他ならない。
　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　
　

　　→[一意対応定義の冒頭へ]


[一意対応の図例]

　→一意対応の定義を満たす対応の例：1/2/3/4
　→一意対応ではない対応の例


[一意対応の定義を満たす対応の例1]


・右図の対応は、
　　　　f(a1)＝{b1}、f(a2)＝{b2} 、f(a3)＝{b3}
　となっているから、
　どの『fの(定義域のみならず)始集合に属す元』に対しても、
　『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている。
・したがって、右図の対応は、一意対応である。
・このような一意対応は、特に、一対一写像ないし単射と呼ばれる。

→[図例冒頭]

単射（一対一写像）　　　

[一意対応の定義を満たす対応の例2]


・右図の対応は、
　　　　f(a1)＝{b1}、f(a2)＝{b2} 、f(a3)＝{b3}
　となっており、
 　始集合Aの元a1,a2,a3に対しては、それぞれ、『終集合Bに属す元』を一個ずつ
　　割り当てていっている。
・しかし、f(a4)＝φ。
　　つまり、始集合Aには、
　　　『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない元a4が存在する。
 一意対応の例

・この対応には、
　定義域外の元（終集合Bの元を一個も割り当てられない『Aの元』a4）も存在しているものの、
　『fの定義域のあらゆる元』(a1,a2,a3)にたいしては、一元ずつを割り当てていっているので、
　一意対応の定義は満たしている。

→[図例冒頭]

[一意対応の定義を満たす対応の例3]


・右図の対応は、
　　　　f(a1)＝{b1}、f(a2)＝φ 、f(a3)＝{b1} 、f(a4)＝{b1}
　となっているから、
　『fの定義域』は、{ a1,a3,a4 } 。
・『fの定義域のあらゆる元』にたいしては、一元を割り当てているが、
　　その割当先が重複している( {b1} )。
・このような対応でも、一意対応の定義は満たしている。
　一意対応の定義が問題としているのは、
　対応が、同一の「定義域の元」に対して何個の《終集合の元》を割り当てるか、
　であって、
　対応が、同一の「終集合の元」を、何個の《定義域の元》に対して割り当てるか、
　ではない。

→[図例冒頭]



一意対応の例

[一意対応の定義を満たす対応の例4]


・右図の対応も、
　　同じ理由から、一意対応の定義を満たす。

・このように、始集合全体が定義域となっている一意対応は、
　　特に、写像と呼ばれる。


→[図例冒頭]
一意対応の例

[一意対応ではない対応の例]

・右図の対応は、一意対応ではない。　
　　f(a1)＝{b1,b3}、f(a2)＝φ 、f(a3)＝{b1,b3} 、f(a4)＝{b2}
　となっていて、
　元a1に対して、二元{b1,b3}を、
　元a3に対して、二元{b1,b3}を、割り当てていることが、
　一意対応の定義に反している。

→[図例冒頭]

 対応の例

　　→[一意対応定義の冒頭へ]

例

 婚姻制度の例で。

→[トピック一覧：対応]
→集合論目次・総目次

Reference

日本数学会編集『岩波数学事典(第三版)』 岩波書店、1985年。項目57関係B対応(p157)
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、第1章§3.B-C-D(pp.23-7)。
彌永昌吉・彌永健一『岩波講座基礎数学：集合と位相I・II』 岩波書店、1977年、§2.2順序対、直積、対応、写像(p.33)。
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics:Third Edition, McGraw Hill,1984. pp. 11-15,18-20,757.
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、 p.27。

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