1変数関数の制限・延長　：　トピック一覧　　　

定義：一変数関数の制限restriction

・大雑把に言うと、

　1変数関数fの制限とは、
　1変数関数fの定義域を絞ったもののこと。


	【文献】　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』1.3.2(pp.36-37). 　・『解析演習ハンドブック1変数関数編』1.1.16(pp.4-5);ex1.1.12(p.11). 　・黒崎『集合論演習』第2章I-(12)(pp.33-34)
	・小平『解析入門』§2.2-a)(p.82)：制限

　・「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』の『定義域Dの部分集合』S上への制限restriction」
　　「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』の『定義域Dの部分集合』S上への縮小contradition」
　　「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』の『定義域Dの部分集合』S上への部分写像partial mapping」
　　　　　f | S
　　　とは、
　　　「定義域Dの部分集合」Sに属す任意の実数に対して、その実数のfによる像を対応づけた
　　　　「『定義域Dの部分集合』で定義された1変数(実数値)関数『f:S→R』」
　　　のこと。

　・つまり、
　　　1変数(実数値)関数gが
　　　「Dで定義された1変数(実数値) 関数『f:D→R』の『定義域Dの部分集合』S上への制限restriction」である

　　　　g=f|S

　　　とは、

　　　　g:S→R

　　　であって、

　　　　S⊂D
　　　　かつ
　　　　 ∀x∈S (g(x)＝f(x))

　　　が満たされるということ。


	このように、　関数の制限は、独立変数の動く範囲（定義域）の側を制限したもの。
	これにたいして、値の動く範囲（値域）の側を制限したものは、分枝と呼ばれる。

・大雑把に言うと、

　1変数関数fの延長とは、1変数関数fの定義域を広げたもののこと。


	【文献】　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』1.3.2(pp.36-37). 　・『解析演習ハンドブック1変数関数編』1.1.16(pp.4-5);ex1.1.12(p.11).
	・黒崎『集合論演習』第2章I-(12)(pp.33-34)

・1変数実数値関数fが　「Sで定義された1変数(実数値)関数『g:S→R』のDへの延長・拡張extension」　である
　とは、
　1変数実数値関数fが、
　　・「Sで定義された1変数関数gの定義域Sを部分集合として内に含む集合」Dを定義域とする
　　・Sに属す任意の実数に対しては、その実数のgによる像を対応付ける
　を満たすことを言う。

・つまり、
　　1変数関数fが「Sで定義された1変数関数『g:S→R』のDへの延長・拡張extension」であるとは、
　　　f:D→R
　　であって、
　　　D⊃S　
　　　かつ
　　　∀x∈S (g(x)＝f(x))
　が満たされること。　　

　二つの命題
　　　「1変数実数値関数『f:D→R』が、1変数実数値関数『g:S→R』のDへの延長extensionである」
　　　「1変数実数値関数『g:S→R』が、1変数実数値関数『f:D→R』のS上への制限restrictionである」
　は　同値。

・[0,∞）で定義された2次関数f'(x)＝x²　は、
　　　R＝(－∞,∞）で定義された2次関数f(x)＝x² の[0,∞）への制限。

・R＝(－∞,∞）で定義された2次関数f(x)＝x² の[0,∞）は、
　　　[0,∞）で定義された2次関数f'(x)＝x²　の、R＝(－∞,∞）への延長。

　　[そのうち、グラフも添付]