1変数関数y=f(x)=x3の性質　：トピック一覧　　　
・グラフ/増減/値域/単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/有界性/最大最小/極大極小
※1変数関数の他の具体例：定数値関数/比例/一次関数/反比例/指数関数/対数関数/べき関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数
※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分
※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般
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  y=f(x)= x3

グラフ

 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)=x3のグラフは、下図のとおり。

[文献]

　・


y=x~3のグラフ

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y=f(x)= x3の増減
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、狭義単調増加関数。
y=x~3のグラフ

　[文献]

　

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y=f(x)= x3の値域
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3の値域は、R＝(−∞,∞） 。

[文献]

・

y=f(x)= x3は非有界
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、上にも下にも有界でない。

[文献]

・

y=f(x)= x3の最大値・最小値
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のR＝(−∞,∞）における最大値は、
　　存在しない。
・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のR＝(−∞,∞）における最小値も、
　　存在しない。
y=x~3のグラフ

[文献]

・

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y=f(x)= x3による逆像

「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3」による、y= の逆像(立方根)。

y=f(x)=xによる逆像

[文献]

　・『岩波数学入門辞典』平方根(p.543)
　・吉田栗田戸田『高等学校数学I』(p.53)
　　　上記2文献では、「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x2」による実数yの逆像を平方根と呼び、
　　　実数y>0のとき、二つある平方根のうち、正のほうを√yで表すとしている。
　・小平『解析入門I』§2.3-a) (p.89);n乗根一般。
  ・ 松坂『解析入門1』3.2E-例(p.113);n乗根一般。
　・赤攝也『実数論講義』§6.5定義6.5.3(p.197):。

[解説]

・左図からわかるように、
　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x2　に関しては、
　　　(i)任意の正の実数yに対して、
　　　　　yのfによる逆像 f−1(y)は、「2個の実数」からなる。
　　　(ii)y=0に対して、
　　　　　y=0のfによる逆像 f−1(y)は、「1個の実数0」のみからなる。
　　　(iii)任意の負の実数yに対して、
　　　　　yのfによる逆像 f−1(y)は、空集合。
　となるので、
　「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x2」は、単射ではない。
　したがって、「R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x2」には、逆関数は存在しない。



・ところが、「[0,∞)で定義された1変数関数y=f (x)= x2」に関しては、
　　　(i)任意の非負の実数yに対して、
　　　　　yのfによる逆像 f−1(y)は、「1個の実数」からなる。
　　　(ii)任意の負の実数yに対して、
　　　　　yのfによる逆像 f−1(y)は、空集合。
　つまり、「[0,∞)で定義された1変数関数y=f (x)= x2」は、
　　　　　単射。
　したがって、「[0,∞)で定義された1変数関数y=f (x)= x2」には、
　逆関数が存在する。

・「正の実数yの『[0,∞)で定義された1変数関数y=f (x)= x2』による逆像」を、　
　　　　　　　記号　 
y 
　または、　y1/2 　　　　
　　で表す。

・「[0,∞)で定義された1変数関数y=f (x)= x2」の逆関数「[0,∞)で定義された1変数関数x　=　f-1(y)」を、
　　　　x=f-1(y)＝ 
y 
　または、　x=f-1(y)＝y1/2 　
　　で表す。


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  y=f(x)= x3　と全単射
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、単射。　
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、Rの上への全射。
 　だから、
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、Rの上への全単射になっている。

[文献]

　・黒田『微分積分学』3.1.2-例3.2(pp.86-7)

y=x~3のグラフ

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　y=f(x)=x3の逆関数

[説明]

 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は単射なので、逆関数が存在する。
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3の逆関数は、
　　　　　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数x=f-1(y)＝ 3 √y　。
　慣例に従って、x,yを入れ替えると、
　　　　　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=g(x)= 3 √x　。

[文献]

　・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済　高等学校基礎解析』2章1.指数の拡張-[累乗根](p.41)。
　

[図解]

 ・下図は、R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のグラフ。
　普通、グラフは、xの値を一つ決めて、それに対応するyの値を読み取っていくものだが、
　逆に、yの値を一つ決めて、それに対応するxの値を読み取っていくと、
　「y=f (x)= x3」の逆対応　「x　=　f-1(y)＝3 √y」のグラフとして下図を読んだことになる。
　同一のyの値に、一個のxの値が対応付けられていることから、
　「y=f (x)= x3」の逆対応　「x　=　f-1(y)＝3 √y」は、
　1変数関数の定義を満たしていると分かる。
　だから、「x　=　f-1(y)＝3 √y」を、「y=f (x)= x3」の逆関数と呼んでよい。
 y=x~3のグラフ
・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3　の逆関数「x　=　f-1(y)＝3 √y」を、
　慣例に従ってx,yを入れ替えて、
　　　　y=g(x)=  3 √x　　
　としたグラフが下図。


 ※1変数関数の「逆関数（の存在）」定義
※1変数関数の具体例の「逆関数（の存在）」について：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

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y=f(x)=x3の極限
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　どんな実数aに対しても、　f(x)→a3 (x→a)　
※なぜ？
　　・y=g(x)=xの極限の性質より、
      y=g(x)= xは、
　　　　　どんな実数aに対しても、　g(x)→a (x→a)。
　　・y=g(x)=x2の極限の性質より、
      y=g(x)= x2は、
　　　　　どんな実数aに対しても、　g(x)→a2 (x→a)。

　　・「関数どおしの積」の極限は、「関数の極限」どおしの積となるという定理と、
　　　　上記で得られた「g(x)の極限値」より、
　　　　　　　　　　　g(x)3→a3 (x→a)
　　　・したがって、f (x)=g(x)3= x3は、
　　　　どんな実数aに対しても、　f(x)→a3(x→a)　。		 　

[文献]

　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.1.5(p.109）:
　　　　　・多項式関数一般に関して。
　　　　　・定数関数の極限、f(x)=xの極限と、関数の極限の和積による証明つき。
　・黒田『微分積分学』3.3.2-例3.16(p.102):「任意の多項式はRで連続」。
　　・証明として、
　　　定数関数とf(x)=xがRで連続だから、連続関数の和差積・定数倍も連続関数より。

※1変数関数の極限定義
※1変数関数の具体例の極限：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

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  y=f(x)=x3の連続性
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　　R＝(−∞,∞）上の連続関数。
※なぜ？
　・y=f (x)= x3という定義より、どんな実数aに対しても、f(a)= a3
　・y=f (x)= x3の極限の性質より、どんな実数aに対しても、　f(x)→a3(x→a)
　・以上二点より、どんな実数aに対しても、　f(x)→f(a) (x→a)　
　　　つまり、R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　　　　　　どんな実数aにおいても、連続性の定義を満たす。
　　したがって、
　　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　　R＝(−∞,∞）上の連続関数。
 　

[文献]

　・黒田『微分積分学』3.3.2-例3.16(p.102):「任意の多項式はRで連続」。
　　　→証明：定数値関数の連続性・y=f(x)=xの連続性、連続関数の和積定数倍も連続
　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.2.7(p.115）:多項式一般。
　　　　　　　　・証明：多項式関数の極限の性質より。
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』第2章-1(p.38):多項式一般。証明:
　　　→証明：定数値関数の連続性・y=f(x)=xの連続性、連続関数の和積も連続
※1変数連続関数の定義
※1変数関数の具体例の連続性：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

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