対応  correspondence  ：トピック一覧

定義：対応の原像・逆像 inverse image　　　　　

設定	下記設定のもと、対応の「原像・逆像 inverse image 」という概念は定義される。 　A ： 集合 　B ： 集合 　b ： 集合Bの元。つまり、b∈B　　　 　「f：A→B」：集合Aから集合Bへの対応	[文献] ・松坂『集合・位相入門』第1章§3.D (p.27);
定義	・「『集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」とは、    『集合Bの元』bを、『対応fによる像』のなかに含む「集合Aの元」の集合 　　　{ a∈A | b∈f(a) }　   のこと。 ・記号　f−1(b)　で表す。 ・もちろん、 　「『集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」は、 　　　集合Aの部分集合になっている。 　　f−1(b)＝{ a∈A | b∈f(a) }　　⊂　A ※　　b∈f(a)　⇔　a∈f−1(b)	[例] 　上の図例では、 　・「fによるb1の逆像」f−1(b1)＝{a1,a3}、「fによるb2の逆像」f−1(b2)＝{a4} 、 　　「fによるb3の逆像」f−1(b3)＝{a1,a3} 、「fによるb4の逆像」f−1(b4)＝φ 　 　となっている。

定義：逆対応 inverse correspondence

設定	下記設定のもと、対応の「逆対応 inverse correspondence 」という概念は定義される。 　A ： 集合 　B ： 集合 　b ： 集合Bの元。つまり、b∈B　　　 　「f：A→B」：集合Aから集合Bへの対応	[文献] 　・松坂『集合・位相入門』第1章§3.D (p.25); 　・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157) ※具体化：1変数関数の逆対応　 [注意] 　・どのような「対応f：A→B」についても、「対応fの逆対応」は存在し、 　　なおかつ、「対応fの逆対応」も対応の定義を満たす。 　・だから、 　　「対応f：A→B」の下位類型の一つである「写像」に関しても、 　　どんな「写像f：A→B」であれ、「写像fの逆対応」は存在し、 　　なおかつ、「写像fの逆対応」は、対応の定義を満たす。 　・ただし、ここで問題となってくるのは、 　　「写像fの逆対応」が、写像の定義を満たすかどうか 　　である。 　　結論から先に言えば、 　　「写像fの逆対応」が写像となるかどうかは、一概にはいえない。 　　　写像fがどのタイプであるかによって決まる。 　　　この点は、写像の逆写像・逆関数を参照。
定義	・「対応f：A→B」の逆対応 inverse correspondenceとは、　 　　集合Bの各元bに対し、fによる逆像f−1(b)を定める「集合Bから集合Aへの対応」 　　のこと。 ・「対応fの逆対応」を、記号「f−1」で表す。
図例	・左図の「対応f：A→B」の逆対応は、右図になる。 　　 ・左図の「一意対応f：A→B」の逆対応は、右図になる。 　 ・左図の「一意対応f：A→B」の逆対応は、右図になる。　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 ・左図の「一意対応f：A→B」の逆対応は、右図になる。

 定義：一対一対応 one-to-one correspondence　　　

設定	下記設定のもと、 「一対一対応 one-to-one correspondence 」という概念は定義される。 　A ： 集合 　B ： 集合 　b ： 集合Bの元。つまり、b∈B　　　 　「f：A→B」：集合Aから集合Bへの対応	[文献] ・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157) ・高橋『経済学とファイナンスのための数学』2.1(p.28)：単射と同義としている ・志賀『集合への30講』12講(p.71)：全単射のことを一対一対応と呼んでいる。 ・『解析演習ハンドブック1変数関数編』1.1.18(p.5)：一対一対応は全単射の別名。 　※「一対一対応」を全単射の別名とするテキストもあれば、 　　「一対一対応」を独自の概念として定義するテキストもあり、 　　「一対一対応」の語義には、文献間で揺れがみられる。 　　このノートは『岩波数学事典』で提示された語義に依拠。 [関連事項] ・対応の諸類型：分類基準/一意対応/写像/単射/一対一写像/全射/全単射 　　　　　　　　→一覧表：対応の分類基準と6分類の定義　 　　　　　　　　→ベン図：対応の6分類の包含関係 [図解]　始集合に属す各元に対して、一対一対応で許される割り当てかた 　　[終集合Bの元を一個も割り当てない]　　　　　[終集合Bの元を一個割り当てる]
定義	[逆対応・一意対応を用いた定義] 　「集合Aから集合Bへの一対一対応f」とは、 　下記条件を満たす対応「f:A→B」のこと。 　　　[条件1]　対応「f:A→B」が一意対応。 　　　かつ　　 　　　[条件2]　対応「f:A→B」の逆対応「f−1:B→A」も一意対応。 [逆対応・一意対応の意味に遡った定義] 　「集合Aから集合Bへの一対一対応f」とは、 　下記条件を満たす対応「f:A→B」のこと。 　　[条件1]　対応fはどの『fの始集合Aに属す元』に対しても、 　　　　　　　　　　　　　『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない 　　　　　　　　　　　　　　または、 　　　　　　　　　　　　　　『終集合Bに属す元』一個を割り当てる 　　　　　　　( ∀ a∈A )　（　f(a)＝φ　または　f(a)＝一元集合　） 　かつ
	[条件2]　どの『終集合Bに属す元』についてであれ、 　　　　　　　対応fによって同一の『fの終集合Bに属す元』を割り当てられた『fの始集合Aに属す元』の個数は、0個または1個。 　　　　　　　　　( ∀ b∈B )　（　f−1(b)＝φ　または　f−1(b)＝一元集合　） 　　　　　　　　[図解]　終集合の各元に対して、一対一対応で許される割り当てかた 　　 　　　　　　　　　　[始集合Aの元を一個も割り当てない]　　　　　　　　[始集合Aの元を一個割り当てる] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [一対一対応ではない対応とは？] 下記の割り当てがなされるならば、対応「f:A→B」は、一対一対応ではない。　 　　　　　・同一の『fの始集合Aに属す元』に対して、『fの終集合Bの元』を二個以上割り当てる(下図) 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　・二個以上の『fの始集合Aに属す元』に対して、同一の『fの終集合Bに属す元』を割り当てる(下図)
図例	・左図の対応「f:A→B」は一対一対応。 　なぜなら、「f:A→B」は一意対応　かつ　fの逆対応「f−1:B→A」(右図)も一意対応になっている。 　　　　　 ・左図の対応「f:A→B」は一意対応だが、一対一対応ではない。 　なぜなら、「fの逆対応「f−1:B→A」(右図)が一意対応ではないから。 　　　　　　　　　 ・左図の対応「f:A→B」は一意対応だが、一対一対応ではない。 　なぜなら、「fの逆対応「f−1:B→A」(右図)が一意対応ではないから。
	※婚姻制度という例における一対一対応

定理：逆対応のグラフ　　

定理：逆対応の定義域・値域　　

定理：逆対応の逆対応

Reference