単射(1対1)である1変数関数 ：トピック一覧

・1変数関数を 「写像を用いない一般的な定義」で定義した場合の単射について
　　　→予備知識不要の「単射」定義
　　　→「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現
　　　→「値域」「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現　
　　　→「　像」概念を用いた「単射」定義の表現
・1変数関数を 「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した場合の単射定義
　　　→予備知識不要の「単射」定義[タイプA]の表現
　　　→「逆像」概念を用いた「単射」定義[タイプA]の表現
　　　→「値域」「逆像」概念を用いた「単射」定義[タイプA]の表現　
　　　→「　像」概念を用いた「単射」定義[タイプA]の表現
・1変数関数を 「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した場合の単射定義　
　　　→予備知識不要の「単射」定義[タイプB]の表現
　　　→「逆像」概念を用いた「単射」定義[タイプB]の表現　　
　　　→「値域」概念を用いた「単射」定義[タイプB]の表現　
　　　→「　像」概念を用いた「単射」定義[タイプB]の表現
・具体例　　[そのうち、グラフを描いて、説明]

【1変数関数全般】　　1変数関数とその属性類型一覧
【単射関連ページ】　写像一般における単射の定義/ 狭義単調ならば単射
* 総目次

1変数関数を「写像を用いない一般的な定義」で定義した場合の1対1/単射定義について

予備知識不要の「単射」定義の表現
　




「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が単射である」
「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が1対1である」とは、
　　Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が下記条件をみたすことをいう。

　[条件]　

　　どの実数を一つ選んでも、
　　その同一実数をfが値として割り当てる『定義域Dに属す実数』の個数は、
　　0個または1個。

　　　　∀y∈R（ {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝φ または {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝一元集合 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。




　




「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が単射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が1対1でない」　とは、
　　Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が下記条件をみたすことをいう。

　[条件]　

　　2個以上の『定義域Dに属す実数』に対して、
　　fが同一実数を値として割り当てることがある
　　　　
　　　　∃y∈R （ {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝「2個以上の実数からなる集合」 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。





「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現　　
　




「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が単射である」
「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が1対1である」
 とは、
　Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が下記条件をみたすことをいう。

[条件]

　どの実数を一つ選んでも、
　その実数のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか。
　　　　∀y∈R （ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。




　




「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が単射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が1対1でない」
とは、
　 Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が下記条件をみたすことをいう。

　[条件]　
　少なくとも一つの実数のfによる逆像が
　　　　　　　　「2個以上の実数からなる集合」となる。
　　　∃y∈R （  f−1(y)＝「2個以上の実数からなる集合」 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。





「値域」「逆像」概念を用いた「単射」定義の表現　
　





「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が単射である」
　「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が1対1である」
　 とは、
　　どの「値域f(D)に属す実数」のfによる逆像も、一元集合
      ( ∀b∈f(A) ⊂B )（　f−1(b)＝一元集合　）
　であることをいう。　　

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。




　




「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が単射でない」
　「Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が1対1でない」
　とは、
　 Dで定義された1変数実数値関数y=f(x)が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]　少なくとも一つの実数のfによる逆像が
　　　　　　　　「2個以上の実数からなる集合」となる。
　　　　　（∃y∈R ）（  f−1(y)＝「2個以上の実数からなる集合」 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。




「像」概念を用いた「単射」定義の表現
　




「Dで定義された1変数(実数値)関数y=f(x)が単射である」
　「Dで定義された1変数(実数値)関数y=f(x)が1対1である」
　 とは、
　　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　　  　「別の『定義域Dに属す実数』の f による像は、別の実数」
　　　    ( ∀x,x'∈D⊂R )（x≠x'⇒f(x)≠f(x')）
　　となること
　あるいは、
　その対偶
　　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　　　「 f による像が一致する『定義域Dに属す実数』は、同一」　
　　　    ( ∀x,x'∈D⊂R )（　f(x)＝f(x')　⇒　x＝x'　）　　　
　　となること
　をいう。

【文献】

　・赤攝也『実数論講義』§1.7(p.23)
　・青本『微分と積分1』§1.4(b)(p.33)injective
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3I(p.17);
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義4.3(p.36)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例2(p.5)




　




「Dで定義された1変数(実数値)関数y=f(x)が単射でない」
「Dで定義された1変数(実数値)関数y=f(x)が1対1でない」
　とは、
　　別の『定義域Dに属す実数』の f による像が、同一の実数になることがある
　　　　　（∃x,x'∈D⊂R）（x≠x'　かつ　f(x)=f(x')  ）
　ということ。

【文献】

　・赤攝也『実数論講義』§1.7(p.23)
　・青本『微分と積分1』§1.4(b)(p.33)injective
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§3I(p.17);
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義4.3(p.36)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例2(p.5)






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1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプA」で定義した場合の1対1/単射定義

予備知識不要の「単射」定義の表現
　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射である」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1である」
　 とは、
　　Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が下記条件をみたすことをいう。

　　[条件]どの実数を一つ選んでも、
　　　　　　その同一実数をfが値として割り当てる『定義域Dに属す実数』の個数は、
　　　　　　　　0個または1個
　　　　∀y∈R （ {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝φ または {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝一元集合 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。




　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射でない」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1でない」
　とは、
　Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が下記条件をみたすことをいう。
　　　[条件]　2個以上の『定義域Dに属す実数』に対して、
　　　　　　　　　fが同一実数を値として割り当てることがある　　　　　　　　　　
　　　　　（∃y∈R ）（ {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝「2個以上の実数からなる集合」 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般における単射の定義を自分で具体化。





「逆像」概念を用いた「単射」定義　　
　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射である」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1である」
　 とは、
　　Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]　どの実数を一つ選んでも、
　　　　　　その実数のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか。
　　　　　　　∀y∈R　（ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般の全射定義を自分で具体化。




　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射でない」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1でない」
　とは、
　 Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]　少なくとも一つの実数のfによる逆像が
　　　　　　　　「2個以上の実数からなる集合」となる。
　　　　　（∃y∈R ）（  f−1(y)＝「2個以上の実数からなる集合」 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般の全射定義を自分で具体化。




「値域」「逆像」概念を用いた「単射」定義　
　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射である」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1である」
　 とは、
　　どの「値域f(D)に属す実数」のfによる逆像も、一元集合
　　　　∀y∈f(D) ⊂R 　（　f−1(y)＝一元集合　）
　であることをいう。　　

【文献】

　見当たらないので、写像一般の全射定義を自分で具体化。




　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射でない」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1でない」
　とは、
　 Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]　少なくとも一つの「値域f(D)に属す実数」のfによる逆像が
　　　　　　　　「2個以上の実数からなる集合」となる。
　　　　　　　∃y∈f(D)⊂R　（  f−1(y)＝「2個以上の実数からなる集合」 ）

【文献】

　見当たらないので、写像一般の全射定義を自分で具体化。





「像」概念を用いた「単射」定義の表現
　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射である」
「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1である」
　 とは、
　　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　　  　「別の『定義域Dに属す実数』の f による像は、別の実数」
　　　    ( ∀x,x'∈D⊂R )（x≠x'⇒f(x)≠f(x')）
　　となること
　あるいは、
　その対偶
　　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　　　「 f による像が一致する『定義域Dに属す実数』は、同一」　
　　　    ( ∀x,x'∈D⊂R )（　f(x)＝f(x')　⇒　x＝x'　）　　　
　　となること
　をいう。

【文献】

　・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.23)
　・青本『微分と積分1』§1.4(b)(p.33)injective
　・吹田・新保『理 工系の微分積分学』1章§3I(p.17);
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義4.3(p.36)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例2(p.5)




　




「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が単射でない」
　「Dで定義された1変数(実数値)関数『f:D→R』が1対1でない」
　とは、
　　別の『定義域Dに属す実数』の f による像が、同一の実数になることがある
　　　　　（∃x,x'∈D⊂R）（x≠x'　かつ　f(x)=f(x')  ）
　ということ。

【文献】

　・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.23)
　・青本『微分と積分1』§1.4(b)(p.33)injective
　・吹田・新保『理 工系の微分積分学』1章§3I(p.17);
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義4.3(p.36)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例2(p.5)






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1変数関数を「写像を用いた厳密な定義―タイプB」で定義した場合の1対1/単射定義

予備知識不要の「単射」定義の表現
　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が単射である」
　「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が1対1である」
　 とは、
　　Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]どの『終集合Sに属す実数』を一つ選んでも、
　　　　　　その同一実数をfが値として割り当てる『定義域Dに属す実数』の個数は、
　　　　　　　　0個または1個
　　　　∀y∈S⊂R （ {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝φ または {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝一元集合 ）




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が単射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が1対1でない」
　とは、
　　Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が下記条件をみたすことをいう。
　　　[条件]　2個以上の『定義域Dに属す実数』に対して、
　　　　　　　　　fが同一の『終集合Sに属す実数』を値として割り当てることがある
　　　　　　∃y∈S⊂R （ {x∈D⊂R|y＝f(x)}＝「2個以上の実数からなる集合」 ）






「逆像」概念を用いた「単射」定義　　
　




「Dで定義された1変数実数値関 数『f:D→S（D,S⊂R）』 が単射である」
「Dで定義された1変数実 数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』 が1対1である」
　 とは、
　　Dで定義された1変数 実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』 が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]どの『終集合Sに属す実数』を一つ選んでも、
　　　　　その『終集合Sに属す実数』のfによる逆像は、空集合か一元集合のいずれか。
　　　　　　∀y∈S⊂R　 （ f−1(y)＝φ または f−1(y)＝一元集合 ）




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が単射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が1対1でない」
　とは、
　Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]　少なくとも一つの『終集合Sに属す実数』のfによる逆像が
　　　　　　　　「2個以上の『終集合Sに属す実数』からなる集合」となる。
　　　　　（∃y∈S⊂R ）（  f−1(y)＝「2個以上の実数からなる集合」 ）




「値域」「逆像」概念を用いた「単射」定義　
　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が単射である」
「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が1対1である」
　 とは、
　　どの「値域f(D)に属す実数」のfによる逆像も、一元集合
　　　　 ∀y∈f(D) ⊂S⊂R （　f−1(y)＝一元集合　）
　であることをいう。　




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が単射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が1対1でない」
　とは、
　 Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が下記条件をみたすことをいう。
　　[条件]　少なくとも一つの「値域f(D)に属す実数」のfによる逆像が
　　　　　　　　「2個以上の実数からなる集合」となる。
　　　　　　　∃y∈f(D)⊂S⊂R 　（  f−1(y)＝「2個以上の実数からなる集合」 ）





「像」概念を用いた「単射」定義の表現
　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が単射である」
「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が1対1である」
　 とは、
　　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　　  　「別の『定義域Dに属す実数』の f による像は、別の実数」
　　　    ( ∀x,x'∈D⊂R )（x≠x'⇒f(x)≠f(x')）
　　となること
　あるいは、
　その対偶
　　どの『定義域Dに属す実数』についてであれ、例外なく、
　　　「 f による像が一致する『定義域Dに属す実数』は、同一」　
　　　    ( ∀x,x'∈D⊂R )（　f(x)＝f(x')　⇒　x＝x'　）　　　
　　となること
　をいう。




　




「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が単射でない」
「Dで定義された1変数実数値関数『f:D→S（D,S⊂R）』が1対1でない」
　とは、
　　別の『定義域Dに属す実数』の f による像が、同一の実数になることがある
　　　　　（∃x,x'∈D⊂R）（x≠x'　かつ　f(x)=f(x')  ）
　ということ。





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1対1/単射である1変数関数の具体例


[単射である1変数実数値関数の例]


　・定義域D＝(0,∞）＝{ x∈R | x＞0 }で定義された対数関数f(x)=logx　
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された指数関数f(x)=ex  　
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝x 
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝x+1 [ラング]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝2x-3 [笠原-例1]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された1次関数f(x)＝-5x-2
　　　　　　　　　　　　 [『解析演習ハンドブック1変数関数編』]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された3次関数f(x)＝x3  [黒田]

[単射でない1変数実数値関数の例]


　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された2次関数f(x)＝x2 [笠原-例2;黒田;ラング]
　　ただし、この2次関数fの[0,∞）＝{ x∈R | x≧0 }への制限は、単射となる。
　　　　[加藤;『解析演習ハンドブック』]
　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された3次関数f(x)＝x3＋x2−x  [赤]

　・R＝(−∞,∞）＝{ x∈R }で定義された絶対値関数f(x)＝｜x｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　[『解析演習ハンドブック』]

　・定義域D＝[-1,1]＝{ x∈R | -1≦x≦1 }で定義され、

  f(x)＝
1−x2
と表された関数「f:D→R」[笠原-例3]


[1変数関数の具体例についての全単射の検討]

　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　
　・指数関数/対数関数　
　・絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

[文献]

　・黒田『微分積分学』3.1.2-例3.2(pp.86-7)　
　・赤攝也『実数論講 義』§1.7(p.23)例2
　・笠原皓司『微分積分学』1.4例1-3(p.23)
　・加藤十吉『微分積分学原論』4.3-例9:2次関数(pp.36-7)
　・『解析演習ハンドブック1変数関数編』ex.1.1.12(p.11)
　・ラング『ラング現代微積分学』0章§2例2(p.5)

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