1変数関数の微分可能・微分係数・導関数の定義　：　トピック一覧　

　・1点における微分可能性・微分係数の定義：概説/定義1/定義2/定 義1と定義2は同値　　
　・1点における微分可能性・微分係数の性質：微分可能ならば連 続だが逆は成り立たない　
　・片側微分可能・片側微分係数の定義：右微分可能･右微分係数/左微分可能･左微分係 数/片側微分係数　　
　・区間における微分可能の定義：区間上の微分可能性/導関数/連続微分可能・C1級の定義/「微分する」
　・微分 differential　　

※1変数関数の微分関連ページ：導関数の計算公式1/導関数の計算公式２/導関数の計算公式3/高階導関数　
　　　　　　　　　　　　　　　ロルの定理・平均値の定理/テイラーの定理/テイラー展開・マクローリン展開/極大極小
※1変数関数の関連ページ：1変数関数の定義と属性/極限/連続　
※微分関連ページ：2変数関数の偏微分/2変数関数の全微分/n変数関数の偏微分/n変数関数の全微分　
　　　　　　　　　n変数ベ クトル値関数の偏微分/n変数ベクトル値関数の全微分　　

→総目次


概説：1変数関数の微分可能性・微分係数の二つの定義　

根源的な

定義
【根源的な定義】

「y=f (x)は点x0で微分可能」とは、
　y=f (x)に点( x0, f (x0) )で接する「y=f (x)の接線」
　　　　y = f (x0)+A(x－x0)
　を
　ただひとつ引けることをいい、
　この接線の傾きAを、「点x0における f (x) の微分係数」と呼ぶ。　

※y = f (x0)+A(x－x0)で表されない接線（例えばy軸に平行な接線）を　　　　　
　引けることもあるが、
　ここでは、このような接線を接線から除外して、
　y = f (x0)+A(x－x0)で表される接線のみを接線と呼び、
　y = f (x0)+A(x－x0)で表される接線を一本だけ引けることを、
　微分可能と呼ぶ。
　　[→杉浦『解析入門』例12 (p.86)]

(例)
下図のy=f (x)は点x0で微分可能。　　
　　　x0で微分可能（図例）
　　　点x0でy=f (x)に接する
　　　「y=f (x)の接線」は
　　　一本しか引けない　
(例)
下図のy=f (x)は点x0で微分可能。
　　　x0で微分可能　図例
　　　点x0でy=f (x)に接する
　　　「y=f (x)の接線」は
　　　一本しか引けない　　　　
　

(例)　
下図のy=f (x)=｜x｜は点x=０で微分可能でない。　
　　x0で微分可能でない図例
　　点x=０でy=f (x)=｜x｜に接する
　　「y=f (x)の接線」は、
　　いろいろ引ける。
　

(例)　
下図のy=f (x)=x1/3は点x=０で微分可能でない。　
　　　x0で微分可能でない図例
　y軸が、点x=０でy=f (x)=x1/3に接するが、
　y軸はy=f (x0)+A(x－x0)のかたちで表されない
　ので、接線としてカウントしない。　　



操作化

 【二つの操作化】　

ところが、
上記の
　　「y=f (x)は、x=x0で微分可能で、x=x0における微分係数はAである」
ということの根源的定義
　　　～ y=f (x)に点x0で接する「y=f (x)の接線」を、ただひとつ引け、
　　　　　　　この接線の傾きはAであるということ　～
は、
二通りのやりかたで数式化可能であり、
ここから、
2タイプの「微分可能・微分係数の数式化された定義」が生じることになる。　　　

その第一のタイプは、高校で習う定義であり、
x0からΔxだけxを動かした時のy=f (x)の平均変化率
　　　　Δy/Δx = { f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx
の動きに着目する。
このタイプの定義は、
多変数関数について定義される偏微分のベースとなる。

その第二のタイプは、
x0からΔxだけxを動かした時の
「y=f (x)」と「x0を通る直線y=h (x) 」との間の誤差
　　　f (x+Δx )－h (x+Δx )　
の動きに着目する。
このタイプの定義は、
多変数関数について定義される全微分のベースとなる。

もちろん、いづれのタイプの「微分可能・微分係数の数式化された定義」も、　　
同値となることは、言うまでもない。

操作化1
第一のタイプの微分可能・微分係数定義は、
x0からΔxだけxを動かした時の y=f (x)の平均変化率
　　Δy/Δx = { f (x0+Δx) － f (x0)}/Δx
の動きに着目して、
「y=f (x)に点x0で接する『 y=f (x)の接線』をただひとつ引け、この接線の傾きはAである」
ということを操作化したもの。

操作化は、次の手順で行われる。

step1:右から（Δxがプラス値）
step1-1:
　x0からΔx (>０)だけxを動かした時の y=f (x)の平均変化率
　　Δy/Δx = { f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx　　　（Δx＞０）
　を求める。　　
　これは、
　　xをx0からΔx（＞０）だけ増やした際の、
　　y=f (x)の f (x0)からの増分Δy=f (x0+Δx)－f (x0)が、
　「Δx」1単位あたり平均で、どれだけあるか、
　を表し、
　点(x0, f (x0)), 点( x0+Δx , f (x0+Δx) )を結ぶ直線の傾きとして、グラフに図示される。
　　　　
step1-2:
　x0からのxの増分Δxを狭めていく。
　このΔx (＞０) の削減に対する
　y=f (x)の平均変化率Δy/Δx = { f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx の反応を
　追跡する。
　　　　
step1-3:
　x0からのxの増分Δx＞０を限りなく０に近づけたときの、
　y=f (x)の平均変化率
　　　Δy/Δx = { f (x0+Δx) － f (x0)}/Δx　（Δx＞０）
　の極限を求める。
　* このとき、 Δx＞０を限りなく０に近づけても、Δx＝０としてはならない。
　これを数式で表すと、
　　　　　
　　　　　
step2:左から（Δxがマイナス値）
step2-1:
　x0からΔx<０だけxを動かした時のy=f (x)の平均変化率
　　Δy/Δx = { f (x0+Δx) － f (x0)}/Δx　　　（Δx<０）
　を求める。　　
　これは、
　　xをx0から|Δx|だけ減らした際の、
　　y=f (x)の f (x0)からの増分Δy = f (x0+Δx) － f (x0)が、
　「Δx」1単位あたり平均で、どれだけあるか、
　を表し、
　点(x0, f (x0)) 点( x0+Δx , f (x0+Δx ) )を結ぶ直線の傾きとして、グラフに図示される。
　　　　
step2-2:
　x0からのxの減分|Δx|を狭めていく。
　この|Δx|の削減に対する
　y=f (x)の平均変化率Δy/Δx = { f (x0+Δx) － f (x0)}/Δx の反応を
　追跡する。
　　　　
step2-3:
　x0からのxの減分|Δx|を限りなく０に近づけたときの、
　y=f (x)の平均変化率
　　　Δy/Δx = { f (x0+Δx) － f (x0)}/Δx　（Δx＜０）
　の極限を求める。
　* このとき、 Δx＜０を限りなく０に近づけても、Δx＝０としてはならない。
　これを数式で表すと、
　　　　　
　　　　
step3:
「y=f (x)に点x0で接する『y=f (x)の接線』をただひとつ引け、この接線の傾きはAである」は、
step1で求めた
　　x0からのxの増分Δx＞０を限りなく０に近づけたときの、
　　y=f (x)の平均変化率
　　　Δy/Δx = { f (x0+Δx ) － f (x0)}/Δx　（Δx＞０）
　　の極限
と、
step2で求めた
　　x0からのxの減分|Δx|を限りなく０に近づけたときの、
　　y=f (x)の平均変化率
　　　Δy/Δx = { f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx　（Δx<０）
　　の極限
が、
ともに値Aで一致すること、
　すなわち、　
　　
として、表現できる。
したがって、「y=f (x)は、x= x0で微分可能で、x= x0における微分係数はAである」は、
　　
と、定義できる。

二つの極限
　　　　　
が一致しない場合は、
y=f (x)に点x0で接する「y=f (x)の接線」をいろいろ引けてしまうので、
「y=f (x)はx0で微分可能でない」といわれる。
ただし、
があれば、右微分可能といわれ、は右微分係数と呼ばれる。
があれば、左微分可能といわれ、は左微分係数と呼ばれる。
　 →1変数関数の微分可能性・微分係数の概説 /定義1 /トピック一覧 　

操作化2

「y=f (x) に 点 x0 で接する『y=f (x)の接線』をただひとつ引け、この接線の傾きはAである」ということの操作化の第二タイプは、
　 x0 からΔxだけxを動かした時の、「y=f (x)」と「x0 を通る直線 y=h (x) 」との間の誤差
　　　f (x+Δx)－h (x+Δx)　
　の動きに着目する　

Step０:

　点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線 y= f (x0) + A(x－x0)をひく。
　任意の《A以外の傾きA'で点(x0, f (x0) )を通る直線 y= f (x0)+A'(x－x0) 》をひく。

Step1:

・x0からΔxだけxを動かした時の
　《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線 y= f (x0)+A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　を測る。
　数式で表すと、　
　　f ( x0＋Δx )－（ f (x0) + A (x0＋Δx－x0) ）
　　＝ f ( x0＋Δx )－f (x0)－AΔx　
・x0からΔxだけxを動かした時の
　任意の《A以外の傾きA'で点(x0, f (x0))を通る直線 y= f (x0)+A'(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　を測る。
　数式で表すと、　
　　f ( x0＋Δx )－（ f (x0) + A'(x0＋Δx－x0) ）
　　＝f ( x0＋Δx )－f (x0)－A' Δx　
　　　
　　　

Step2:

　Δxを限りなく０に近づけていくと、
　　・x=x0＋Δxにおける《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線 y= f (x0)+A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－AΔx　
　　・x= x0＋Δxにおける、任意の《A以外の傾きA'で点(x0, f (x0))を通る直線y= f (x0) + A'(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－A'Δx　
　も限りなく０に近づいていく。
　しかし、
　このΔxの削減に対する、
　・x= x0＋Δxにおける《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y= f (x0) + A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－AΔx　
　・x= x0＋Δxにおける、任意の《A以外の傾きA'で点(x0, f (x0))を通る直線y= f (x0) + A'(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－A' Δx　
　の０へ近づく速さは同じではない。　　

Step3:

　「y=f (x)に点x0で接する『y=f (x)の接線』をただひとつ引け、この接線の傾きはAである」とは、
　Δxを限りなく０に近づけたとき、
　　x= x0＋Δxにおける、《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y= f (x0) + A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－AΔx　
　　が
　　x= x0＋Δxにおける、任意の《A以外の傾きA'で点(x0, f (x0))を通る直線 y= f (x0) + A'(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－A' Δx　
　　に比べて、速く０に近づくこと、
　として表せる。

　これを数式で表すと、
　　　(∀A'≠A) ( { f ( x0＋Δx )－f (x0)－AΔx}/{f ( x0＋Δx )－f (x0)－A' Δx } →０ (x→x0))　　
　であり、実はこれは、
　　　{ f ( x0＋Δx )－ f (x0)－AΔx}/Δx →０ (x→x0)　　
　　　　　　x= x0＋Δx における《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線 y= f (x0) + A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差は
　　　　　　　　Δxに比べて速く０に近づく　
　と同値となる[→詳細]。　
　ランダウの記号を用いて表すと、
　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－AΔx＝o (Δx)　　(Δx→0 )　
　したがって、「y=f (x)はx0で微分可能で、x0における微分係数はAである」は、
　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　f ( x0＋Δx )－f (x0)－AΔx＝ o (Δx)　　(Δx→0 )　
　　　を満たす」
　と定義されることになる。　

 　
　 →1変数関数の微分可能性・微分係数の概説 /定義2 /トピック一覧 　


→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]
→総目次

定義1：点x=x0で微分可能differentiable・x=x0における微分係数 differential coefficient　


微分可能

y=f (x)は、x=x0の近くで定義されているとする。
「f (x)は、x= x0で微分可能」とは、
有限な極限値

　　
が存在すること
　　　　つまり、
　　　　x→x0で、{ f (x) － f (x0) }／(x－x0) が有限値に収束する、ないし、
　　　　h→0で、{ f (x0+ h)－ f (x0) }／hが有限値に収束すること
をいう。

【文献】

松坂『解析入門1』4.1-A (p.119)；

青本『微分と積分1』§2.1-b(p.59): 差分商

高木『解析概論』13微分導関数(p.35-37. );


[類概念]

・2変数関数の偏微分可能/全微分可能　　

・1変数関数の左微分可能・右微分可能　

※

「有限な極限値
　　
　が存在する」
とは、
　┌右極限
　｜　　　
　｜左極限
　｜　　　
　｜がともに存在し、
　｜かつ、
　｜それらが一致する
　｜＝
　└　
という意味。
したがって、
右極限しかないケース、左極限しかないケース、それらが一致しないケースでは、
「f (x)は、x= x0で微分可能」とはいわず、
「f (x)は、x= x0で右微分可能」、「f (x)は、x= x0で左微分可能」、などという。
微分係数

f (x)が x= x0で微分可能であるとき、
すなわち、
有限な極限値
　　
が存在するとき、
この有限な極限値
　　
を、f (x)の x= x0 における微分係数とよび、
  f ’ (x0) と書く。

※「 f (x) が x= x0で微分可能であるとき」とは、
　　┌右極限
　　｜
　　｜左極限
　　｜
　　｜がともに存在し、
　　｜かつ、
　　｜それらが一致する
　　｜＝
　　└とき
　という意味であるから、
　右極限しかないケース、左極限しかないケース、それらが一致しないケースでは、
　　　　　　　
　　　　　　　
　を「 f (x) の x= x0における微分係数」とは呼ばない。
　
　は、「 f (x) の x= x0における右微分係数」、
　　　
　は、「 f (x) は x= x0における左微分係数」と呼ぶ。　　

[類概念]

・1変数関数の左微分係数・右微分係数　

・2変数関数の偏微分係数/n変数関数の偏微分係数　

 ※  x= x0 におけるxの増分x－x0 を⊿x、それに対応するyの増分y－y0を⊿yと書くと、
　　　
　は⊿x→0とするときの増分の比の極限。
　x0を固定しておけば、⊿yは⊿xの関数。


→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]
→総目次

定義2：点x0で微分可能 differentiable ・点x0における微分係数 differential coefficient

[意義]

1変数関数の微分可能の定義1を、そのまま使って、
2変数関数の微分可能、多変数関数の微分可能、ベクトル値関数の微分可能に拡張しようとすると、
うまくいかない。
そこで、以下のように、1変数関数の微分可能の定義1とは別のかたちで微分可能・微分係数を解釈してみる。
すると、微分可能・微分係数の、この解釈に基づいて、
　　　・2変数関数の(全)微分可能
　　　・多変数関数の(全)微分可能
　　　・ベクトル値関数の(全)微分可能
へ自然に拡張する道筋が得られるようになる。
[文献]
高木『解析概論』p.35-37.;
吹田新保『理工系の微分積分学』pp.36-37;
小形『多変数の微分積分』pp. 44-46;
小平『解析入門』§3.1(p.108)

杉浦『解析入門』命題5.1(p.118)
杉浦『解析演習』Ⅱ章§1-1.3(p. 86)
笠原『微分積分学』定義2.1(p.38);命題2.2(p.39)

青本『微分と積分1』§2.1-b(p.60):表現4

[一般化]
・2変数関数の(全)微分可能
・多変数関数の(全)微分可能
・ベクトル値関数の(全)微分可能

[定義]

「y=f(x)は、x0で微分可能で、x0における微分係数はA」は、
　次のように定義される（表現1～4はどれも同じ）。

[表現1]　　　　

　「y=f(x)は、x0で微分可能で、x0における微分係数はA」とは、
　　　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　　{ f ( x )－（ f (x0 + A(x－x0) ）}/(x－x0) →０　(x→x0)　　
　　　　　を満たす」
　　ということ。　

　　* これは、
　　　点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　「xを点x0に近づけたときの、
　　　　　　　xにおける《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y = f (x0) + A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差
　　　　　　　　　f ( x )－（ f (x0) + A(x－x0) ）
　　　　　　　が０に近づくスピードは、
　　　　　　　 (x－x0) が０に近づくスピードよりも、速くなる」
　　　ということを意味し、
　　　ランダウの記号を用いて表すと、
　　　　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　　　　　f ( x )－（ f (x0) + A (x－x0) ）＝ o ( x－x0)　　( x→x0 )　
　　　　　　を満たす」
　　　と表せる。　　　　　　[笠原『微分積分学』定義2.1(p.38)]


[表現2]　

　「y=f(x)は、x0で微分可能で、x0における微分係数はA」とは、
　　　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　　　f ( x ) = f ( x0 ) + A (x－x0) + o (x－x0)　　( x→x0 )　
　　　　　を満たす」
　　ということ。　　　　[杉浦『解析演習』Ⅱ章§1-1.3(p. 86)]　
　　　　　*　恒等的に、f ( x )={ f (x0) + A( x－x0) } + { f ( x )－（ f (x0) + A (x－x0) ）} だから、
　　　　　　　　[微分可能定義の表現1]
　　　　　　　　　　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　　　　　　　　　　f ( x )－（ f (x0) + A (x－x0) ）＝ o (x－x0)　　(x→x0)　
　　　　　　　　　　　　　を満たす」
　　　　　　　　が成立するならば、表現2も成立（恒等式最右辺に表現1を代入するかたち）。
　　　　　　　逆に、表現2が成立するならば、表現2の右辺1項2項を左辺に移項すれば、
　　　　　　　表現１の成立がわかる。　　

[表現3]　

　「y=f(x)は、x0で微分可能で、x0における微分係数はA」とは、
　　　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　　　Δy＝f ( x0+Δx )－f (x0)＝AΔx + o (Δx)　(Δx→０)　
　　　　　を満たす」
　　ということ。　　　　　　　　　[杉浦『解析入門』命題5.1(p.118) ]

　* これは、　
　　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　『 xをx0から「無限小の増分Δx」だけ増やしたときの、f (x)の値の増分
　　　　　　　　　Δy ＝ f ( x0+Δx )－f (x0)
　　　　　　を、
　　　　　　（「無限小の増分Δx」の実数A倍）＋（「無限小の増分Δx」より高次の無限小）
　　　　　　として表せる』
　　　　ということ」
　　　を意味する。

　* ランダウの記号o (Δx)は、
　　　　　　　「Δxの関数」のうち、　
　　　　　　　　　Δx→０としたときに、
　　　　　　　　　　　「Δxが０に近づくよりも速いスピードで０に近づく」
　　　　　　　ものを表す。

[表現4]　

　「y=f(x)は、x0で微分可能で、x0における微分係数はA」とは、
　　　　点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　　　　Δy＝f ( x0+Δx )－f (x0)＝AΔx＋ε(Δx )Δx　(ただし、Δx＝0のときε=0とする)
　　　　　　　　　と書くとき、Δx→0のときε(Δx)→0を満たすことである。　
　　　　　　　　　　[高木『解析概論』p.35-37.;吹田新保『理工系の微分積分学』pp.36-37;
　　　　　　　　　　　小形『多変数の微分積分』pp. 44-46;小平『解析入門』§3.1(p.108);
　　　　　　　　　　　杉浦『解析入門』命題5.1-c(p.118)]　

　　　　　　　　*　ランダウの記号o (Δx)を使わずに、表現3を述べると、こうなる。　
　　　　　　　　　　移項していくと、表現1と同じことを言っているとわかる。

[解説]
・以上のように定義された「y=f(x)は、x0で微分可能で、x0における微分係数はA」は、
　　y=f (x)に点x0で接する傾きAの接線y=h (x)=f (x0 )+A(x－x0)を引けること
　を表している。
　「y=f (x)に点x0で接する傾きAの接線y=h (x)=f (x0 )+A(x－x0)を引けること」を
　　　　　　{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/(x－x0) →０　(x→x0)　　[→表現1]
　と表せることを、ここで確認する。
Step1　
命題Q：y=f (x)に点x0で接する傾きAの接線y= f (x0 )+A(x－x0)を引ける
とは、
命題Q'：x0付近でxをx0に限りなく近づけていく過程で（ただし、xをx0に一致させないことにする）、
　　　　点xにおける「《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y= f (x0 )+A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差」
　　　　　　　　f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）　　
　　　　が、
　　　　点xにおける「任意の《A以外の傾きA'で点(x0, f (x0))を通る直線y= f (x0 )+A'(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差」
　　　　　　　　f ( x )－（ f (x0 )+A' (x－x0) ）　
　　　　に比べて、
　　　　速く０に近づく
　　　　　(∀A'≠A) (　{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/ {f ( x )－（ f (x0 )+A' (x－x0) ）}→０ (x→x0) 　)　…(Q'-1)
ということである。


 
Step2:　(Q'-1)の分析　
三つのケースに分ける。
(ケース1)
　　x0付近でxをx0に近づける過程で（ただし、xをx0に一致させないことにする）、
　　点xにおける「《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y= f (x0 )+A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差」
　　　　　f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）　　
　　が、常に０。
→このケースでは、命題Q'は常に満たされており、
　したがって、命題Qも常に満たされているといえる。
　つまり、このとき、《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y= f (x0 )+A(x－x0) 》は、y=f (x)に点x0で接する接線であるから、
　y=f (x)に点x0で接する傾きAの接線y= f (x0 )+A(x－x0)を引けるといえる。　
(ケース2)
　　x0付近でxをx0に近づける過程で（ただし、xをx0に一致させないことにする）、
　　点xにおける「《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y= f (x0 )+A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差」
　　　　　f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）　　
　　が、０になったり、ならなかったり。
→もっとx0に近い位置から、xをx0に近づけるようする。
　そうすることで、ケース2は、ケース1か、ケース3のいずれかに還元できる。　
(ケース3)
　　x0付近でxをx0に近づける過程で（ただし、xをx0に一致させないことにする）、
　　点xにおける「《点(x0, f (x0))を通る傾きAの直線y= f (x0 )+A(x－x0) 》と《y=f (x)》との誤差」
　　が、０になることがない、
　　すなわち、xをx0に近づける過程で、常に、f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）≠０　…(Q'-2)　
→このケースでは、命題Q'は満たされる場合もあれば、満たされない場合もある。
　命題Q'が満たされる条件を、探っていこう。　
　　　　{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/ {f ( x )－（ f (x0 )+A' (x－x0) ）}
　　　　＝{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/ {f ( x )－（f (x0 )+A(x－x0)）+ f (x0 )+A(x－x0)－（f (x0 )+A' (x－x0) ）}
　　　　　　　∵－（f (x0 )+A(x－x0)）+ f (x0 )+A(x－x0)＝０　を、分母に加えた。
　　　　＝{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/ {f ( x )－（f (x0 )+A(x－x0)）+ f (x0 )－f (x0 )+A(x－x0)－A' (x－x0) }
　　　　　　　∵分母の後ろのほうで括弧をはずし、足し引きの順番をかえた。
　　　　＝{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/ {f ( x )－（f (x0 )+A(x－x0)）+A(x－x0)－A' (x－x0) }
　　　　　　　∵分母の後ろのほうのf (x0 )－f (x0 )を消去した。　　
　　　　＝{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/ {f ( x )－（f (x0 )+A(x－x0)）+（A－A'）(x－x0) }}
　　　　　　　∵分母の後ろのほうのA(x－x0)－A' (x－x0)を分配則にしたがって（A－A'）(x－x0)と書き換え。
　　　　　　
　　　　　　　　∵(Q'-2)より、分子分母を、ともに{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}で割る　
　　　　　　
　となるから、このケースでは、(Q'-1)は、次のように書ける。
　　∀A'≠Aにたいして、
　　　　　　　　　　(Q''-1)
以上、すべてをまとめると、
命題Q'は、次の命題Q''と同値になる。
命題Q''：
　f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）＝０　
　または
　∀A'≠Aにたいして、
　　　　　　　(Q''-1)　
Step3:　(Q''-1)の分析　
1/z→０ となるのは、z→+∞か、z→－∞か、のいずれかに限られるので（∵）、
　「1/zを０に収束させること」と、「zを限りなく大または限りなく小とすること」とは、同値。
だから、
「1/z(x)→０(x→x0) 」 と「z(x)→+∞またはz(x)→－∞ (x→x0)」も同値。
こういう次第で、(Q''-1)は、次の(Q''-2)と同値。　
　∀A'≠Aにたいして、
　　　　　(Q''-2)　
Step4:　(Q''-2)の分析　
　(Q''-2)で、x→x0としても、1とか、(A－A')は動かないから、
　(Q''-2)は、次の(Q''-3)と同値である。
　　(x－x0)/ (f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) )→±∞　 (x→x0)　　(Q''-3)　
Step5:　(Q''-3)の分析　
1/z→±∞ となるのは、z→０のときに限られるので（∵）、
　「1/zを限りなく大または限りなく小とすること」と、「zを０に収束させること」とは、同値。
だから、
「1/z(x)→±∞(x→x0) 」 と「z(x)→０(x→x0)」も同値。
こういう次第で、(Q''-3)は、次の(Q''-4)と同値。　
　　(f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ) /(x－x0) → ０　 (x→x0)　　(Q''-4)　
Step6:　まとめ　
以上、すべてをまとめると、
命題Q''は、次の命題Q'''と同値になる。
命題Q'''：
　(i)x0付近でxをx0に近づける過程で（ただし、xをx0に一致させないことにする）、f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）＝０　
　または
　(ii)　　x0付近でxをx0に近づける過程で（ただし、xをx0に一致させないことにする）、f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）≠０
　　　　かつ　　(f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ) /(x－x0) → ０　 (x→x0)　　(Q''-4)　
　　　
命題Q'''は、次の命題Q''''と同値。
　命題Q'''' ：(f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ) /(x－x0) → ０　 (x→x0)　
　なぜなら、(i)のケース「f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）＝０」ならば、命題Q''''「(f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ) /(x－x0) → ０　 (x→x0)」　　
　だから、下図のようになっているため。
　　　　　　




表現3による微分可能の定義を、多変数関数に拡張。
　[表現3]：xをx0から「無限小の増分Δx」だけ増やしたときの、f (x)の値の増分
　　　　　　　Δy＝f ( x0+Δx )－f (x0 )
　　　　　は、
　　　　　　（「無限小の増分Δx」の実数倍）＋（「無限小の増分Δx」より高次の無限小）
　　　　　として表せる。　
N変数関数y=f(x1,x2,…xn)の場合、y=f(x1,x2,…xn)
　　　x1をx10から「無限小の増分Δx1」だけ増やし
　　　x2をx20から「無限小の増分Δx2」だけ増やし
　　　：
　　　xnをxn0から「無限小の増分Δxn」だけ増やし
たときの、f(x1,x2,…xn)の値の増分
　　　　Δy＝f ( x10+Δx1, x20+Δx2,…, xn0+Δxn)－f ( x10, x20,…, xn0 )
　　　は、
　　　（「無限小の増分Δx1,Δx2,…,Δxn」の線形結合）
　　　＋（「無限小の増分のベクトル(Δx1,Δx2,…,Δxn)のノルム」より高次の無限小）
　　　として表せる。　


→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]
→総目次

定理：二つの微分可能、微分係数の定義は、同値


[定理]


「y=f (x)は、x0で微分可能で、x0における微分係数はA」の定義1と定義2は同値。
つまり、以下はどれも同値。
[定義1-表現1]　
　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　{f (x)－f (x0)}/(x－x0 ) → A　( x→x0 )　」　
[定義1-表現2]　
　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　{f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx → A　( Δx→０ )　」　
[定義2-表現1]　
　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　　{ f ( x )－（ f (x0 )+A(x－x0) ）}/(x－x0) →０　(x→x0)　」　
[定義2-表現3]　
　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、　
　　　　　　　f ( x0+Δx )－f (x0 )＝AΔx+ o (Δx )　(Δx→０)　」　　
[定義2-表現4]　
　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　　　　f ( x0+Δx )－f (x0 )＝A⊿x＋ε(⊿x )⊿x　(ただし、⊿x＝0のときε=0とする)
　　　　　　　　　と書くとき、⊿x→0のときε(⊿x )→0を満たす」
[文献]
杉浦『解析入門』命題5.1(p.118)
吹田新保『理工系の微分積分学』pp.36-37;
高木『解析概論』p.35-37.;
笠原『微分積分学』命題2.2(p.39)
小平『解析入門』§3.1(p.108)
杉浦『解析演習』Ⅱ章§1-1.3(p. 86) ：証明略
青本『微分と積分1』§2.1-b(p.60):証明略


[証明]
・[定義1-表現1]⇒[定義2-表現1]の証明：笠原『微分積分学』命題2.2(p.39)　
・[定義2-表現1]⇒[定義1-表現1]の証明：笠原『微分積分学』命題2.2(p.39)　
・[定義1-表現2]⇒[定義2-表現3]の証明：杉浦『解析入門』命題5.1(p.118)　
・[定義1-表現2]⇒[定義2-表現4]の証明：高木『解析概論』p.36.; 吹田新保『理工系の微分積分学』定理1(p.36);
・[定義2-表現4]⇒[定義1-表現2]の証明：高木『解析概論』p.36.; 吹田新保『理工系の微分積分学』定理1(p.36); 小平『解析入門』§3.1(p.108)

・[定義1-表現2] ⇒ [定義2-表現4]の証明:
　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　{f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx → A　( Δx→０ )　」　
　と仮定する。
　　　　f ( x0+Δx )－f (x0 )＝A⊿x＋ε(⊿x )⊿x　　　　
　　と書くと、
　　両辺をΔxでわって、
　　　　{f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx＝A＋ε(⊿x )　
　　ともかけるが、
　　ここで、Δx→０とすると、仮定より左辺→Aだから、右辺も、右辺→Aとならねばならず、
　　したがって、⊿x→0のときε(⊿x )→0を満たす。

・[定義2-表現4]⇒[定義1-表現2]の証明:
　　「点x0に対して、ある一定の実数Aが存在して、
　　　　　　　　　f ( x0+Δx )－f (x0 )＝A⊿x＋ε(⊿x )⊿x　
　　　　　　　　　と書くとき、⊿x→0のときε(⊿x )→0を満たす」
　　かつ⊿x≠0
　と仮定する。
　　　　f ( x0+Δx )－f (x0 )＝A⊿x＋ε(⊿x )⊿x　
　は、両辺をΔxでわって、
　　　　{f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx＝A＋ε(⊿x )　
　とかけるので、
　⊿x→0のとき、仮定よりε(⊿x )→0、となるから、
　　　　{f (x0+Δx)－f (x0)}/Δx→A　（⊿x→0）　
　[定義1-表現2]が得られた。




→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]
→総目次

定理：連続性と微分可能性の関係


f (x)が点x=x0で微分可能ならば、f (x) は点x= x0で連続である。
しかし、f (x)が点x=x0で連続であっても、f (x) はx= x0で微分可能だとは限らない。
つまり、連続性は微分可能性の必要条件だが、十分条件ではない。
　　　　　「 f (x) が点x=x0で微分可能」⇒「 f (x) が点x=x0で連続」

　

[文献]

　・『高等学校微分・積分』p.47;
　・『社会科学者のための基礎数学改訂版』71;
　・高木『解析概論』39
　・小平『解析入門I』109
　・『理工系の微分積分学』36-37
　・『経済学のための数学入門』209

【なぜ？】

・「 f (x) が点x=x0で微分可能」⇒「f (x)が点x=x0で連続」
　f (x) が、点x=x0で微分可能ならば、微分係数 f ' (x0)が存在する。…(1)
　　
　　　　　　　　　　　∵関数の極限値どおしの演算に関する諸定理
　　　　　　　　　　＝0・ f ' (x0)　　　　　　　　　　　　∵(1)　
　　　　　　　　　　＝0
　　ゆえに、x→x0で、f(x)＝f(x0)
　　これは、点x=x0で連続であることの定義に他ならない。

・「 f (x) が点x=x0で連続」⇒「 f (x) が点x=x0で微分可能」の不成立
　「 f (x) が点x=x0で連続」⇒「 f (x) が点x=x0で微分可能」の反例、
　すなわち、f (x) が点x=x0で連続だが、x=x0で微分可能にならない例を、
　少なくとも一つあげればよい。
　ここでは、そのような反例として、
　x=0における絶対値関数 f (x) ＝| x |をあげておく。
　| x |は、x=0で連続だが、x=0で微分可能ではない。→詳細　
　

　→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]　　
　→総目次

定義：右微分可能differentiable from right・右微分係数

　　が存在するとき、「f (x)は、x= x0で右微分可能である」という。

　この極限値を「右(方)微分係数」と呼び、「f ’ (x0＋0)」「f ’ ＋ (x0)」　などと書く。

【類概念】　1変数関数の微分可能･微分係数/右連続/右極限　



定義：左微分可能　differentiable from left　・左微分係数


定義

が存在するとき、
「f(x)は、x= x0で左微分可能である」という。
この極限値を「左(方)微分係数」と呼び、
f’(x0－0)、 f’－(x0)と書く。
※類概念：
　1変数関数の微分可能･微分係数/左連続/左極限


定義：片側微分係数

・片側微分係数とは、左微分係数、右微分係数の総称。
 
→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]
→総目次

定義：区間Ｉ上で微分可能

　・「 f (x) はI上で微分可能」とは、
　　　f (x) が区間Iの各点で微分可能である
　　ということ。
　　
　・ただし、Iの端点がIに属しているとき、そこでは片側微分係数をもつだけでよい。

定義：導関数　derivative

・f (x)が区間I上で微分可能であるとき、

　x0∈Iにおける微分係数　　の値は、　　

　x0によって変わってくるから、x0の関数。

・x0をxと書き直したI上の関数　f ’ (x)　を、　　f (x)の導関数と呼ぶ。

【記法】

　　 y=f (x)の導関数の表記の例
　　　　f ’ (x) 、導関数、導関数、y'、導関数

 　

【一般化】
　　・2変数関数の偏導関数 　
　　・ n変数関数の偏導関数　　


定義：連続微分可能・C1級

・「 f (x)は区間Iで連続微分可能」
　「 f (x)は区間Iで滑らかsmooth」
　「 f (x)は区間IでC1級」
　とは、
　　　 f (x) が区間Iで微分可能でその導関数が区間Iで連続である　　　　
　ということ。　
【文献】　

　・小平『解析入門I』p.126.

【一般化】
　・1変数関数のCn級
　・2変数関数のCn級/2変数関数の連続微分可能性


定義：微分する


　　f(x)の導関数を求めることを「微分す る」という。

※　導関数の公式　(証明つき)　


→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]
→総目次

定義：微分 differential


 　
　
　関数y=f(x)について、
　xの微分differentialとは、xの増分dx=Δxを指し、
　yの微分differential は、dy＝f ' (x)dxを指す。
※yの微分dyは、
　yの増分Δy=f(x0+Δx)－f(x0)とは異なる概念であることに注意。
[文献]
和達『微分積分』69-72;
Chiang , Fundamental Methods of Mathematical Economics 188-193;308.
　 微分　図解
 ※類概念:
　2変数関数の微分differential (全微分 total differential )
　 　 　
　
→[トピック一覧：微分可能･微分係数･導関数の定義]
→総目次
　

（reference）

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年。
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学改訂版』裳華房、p.71.
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、pp.46-47.
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.201-207.
高木貞治『解析概論改訂第3版』岩波書店、1983年、p. 35-37;39.
小平邦彦『解析入門I』(軽装版)岩波書店、2003年 pp.107-111。
和達三樹『理工系の数学入門コース1:微分積分』岩波書店、1988年、pp.43-47;69-72.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.36-37.
杉浦光夫『解析入門I』岩波書店、1980年、pp.81-91. 　ただし、いきなり多次元。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.46-48.
小形正男『理工系数学のキーポイント7:多変数の微分積分』岩波書店、1996、pp. 44-46.