1変数有界関数　：　トピック一覧

【定義】

　・上に有界な関数/〜 で上に有界な関数　　
　・下に有界な関数/〜 で下に有界な関数/関数の下界　
　・有界な関数/〜で有界な関数　
　・関数の上界/関数の上限sup
　・関数の下界/関数の下限inf


※1変数関数に関する諸概念の定義：
　　1変数関数の属性と類型/極限/連続性/微分　
　　定積分/広義積分/ス チルチェス積分
※関数定義関連ページ：
　　2変数有界関数/n変数有界関数/実数値有界関数一般
　　ベクトル値有界関数 　

※総目次

定義：上に有界な関数　bounded above , bounded to the above




→【はじめに読む定義】
→【厳密な定義−予備知識なしに】
→【厳密な定義−値域を用いて】




【はじめに読む定義】


・「1変数関数 y = f (x) は上に有界である」とは、
　
　xをいろいろ操作して、yの値をできるだけ大きくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをいじったところで　
　あるところから上にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。


・「1変数関数 y = f (x) は上に有界でない」とは、
　
　xをうまく操作すると、
　yの値を際限なく大きくしていける…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

 　




【文献】
　・赤攝也『実数論講義』§6.1定義6.1.6(p.172)。
　・Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。
　・杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55);
　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.100);
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.2.2(pp.132-134)

　・http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function　





【一般化】
　・一般の順序集合について：「有界」
　・「実数の集合」について:上界･上に有界/下界･下に有界/有界
　・数列について：有界数列　
　・実数値関数について：2変数関数が有界/n変数関数が有界/実数値関数が有界　
　・「点集合」ないし「実数ベクトル」の集合について：R2における有界な集合/Rnにおける有界な集合/距離空間一般における有界な集合
　・点列について：R2における有界な点列/Rnにおける有界な点列/距離空間一般における有界な点列
　・ベクトル値関数について：1変数ベクトル値関数が有界/2変数2値ベクトル値関数の有界/n変数ベクトル値関数が有界　　
　
【具体例】
　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　

　　　【厳密な定義】


　　　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が上に有界である」とは、

　　　　　　｜　この実数をMに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、最低一個は存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃M∈R 　∀x∈D⊂R　（f (x)≦M）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある実数Mが存在して、任意の『定義域Dに属す実数』xにたいして、f (x)≦Mを満たす」

　　　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が上に有界でない」とは、

　　　　　　｜　この実数をMに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入してもf (x)≦M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、一つも存在しないということ。

　





【詳細】

　・「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ。」　
　　…この主張の真偽は揺れている、
　　　Mに何を代入するかによって、
　　　そして、 f でどのような関数を表すかによって。　
　
　・すべての実数を次から次へとMに代入していって、
　　どういう実数をMに代入すると、　
　　　　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」　
　　が真になり、
　　どういう実数をMに代入すると、　
　　　　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦Mが成り立つ」　
　　が偽になるのか、
　　追跡してみよ。

　　そして、

　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　
　　という二種類の実数が、
　　「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、
　　
　　その分布図を描いてみよ。

　・この分布図は、f で表した関数の性質の一面を映し出したものだから、
　　この分布図は、f でどういう関数を表すかによって、変わってくる。

　・ということは、
　　この分布図をタイプ分けすることによって、
　　 f で表せる様々な関数をタイプ分けすることができるはずだ。
　
　　では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか？
　　　
　・Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図のタイプ分けとして、
　　ごく簡単に、次の2分法を考えることができる
　　
　　
　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　

　・この分布図の二分法で、 f で表せる様々な関数をタイプ分けしたものが、
　　　　上に有界な関数　/　上に有界でない関数　
　　に他ならない。

　・もちろん、

　　Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図として、

　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布

　　を生成する f が、上に有界な関数、

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　
　　を生成する f が、上に有界でない関数。







　　【値域の概念を用いた定義】


　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が上に有界である」とは、
　　　 f の値域がR上の点集合として上に有界であるということ。

→[トピック一覧：有界関数]
→総目次

定義：〜で上に有界な関数　bounded above , bounded to the above 　


 →【はじめに読む定義】
→【厳密な定義−予備知識なしに】
→【厳密な定義−値域を用いて】
→【厳密な定義−論理にこだわって】


【はじめに読む定義】


・「1変数関数 y = f (x) はTで上に有界である」とは、
　
　Tの範囲内でxを操作して、
　yの値をできるだけ大きくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをTの範囲内で、いじったところで　
　あるところから上にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

・「1変数関数 y = f (x) はTで上に有界でない」とは、
　
　Tの範囲内だけでxを操作しても、
　うまく操作すれば、
　yの値を際限なく大きくしていける…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

 　


【一般化】
　・一般の順序集合について：「有界」
　・「実数の集合」について:上界･上に有界/下界･下に有界/有界
　・数列について：有界数列　
　・実数値関数について：2変数関数が有界/n変数関数が有界/実数値関数が有界　
　・「点集合」ないし「実数ベクトル」の集合について：R2における有界な集合/Rnにおける有界な集合/距離空間一般における有界な集合
　・点列について：R2における有界な点列/Rnにおける有界な点列/距離空間一般における有界な点列
　・ベクトル値関数について：1変数ベクトル値関数が有界/2変数2値ベクトル値関数の有界/n変数ベクトル値関数が有界　　

【具体例】
　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　


　　　【厳密な定義】


　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで上に有界である」とは、

　　　　　　｜　この実数をMに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、最低一個は存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃M∈R 　∀x∈T　（f (x)≦M）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある実数Mが存在して、任意の『Tに属す実数』xにたいして、f (x)≦Mを満たす」

　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで上に有界でない」とは、

　　　　　　｜　この実数をMに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入してもf (x)≦M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、一つも存在しないということ。

　





【詳細】

　・「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ。」　
　　…この主張の真偽は揺れている、
　　　Mに何を代入するかによって、
　　　そして、 f でどのような関数を表すかによって、　
　　　　　　Tでどの《f の定義域の部分集合》を表すかによって、
　
　・すべての実数を次から次へとMに代入していって、
　　どういう実数をMに代入すると、　
　　　　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」　
　　が真になり、
　　どういう実数をMに代入すると、　
　　　　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦Mが成り立つ」　
　　が偽になるのか、
　　追跡してみよ。

　　そして、

　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　
　　という二種類の実数が、
　　「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、
　　
　　その分布図を描いてみよ。

　・この分布図は、f で表した関数の《範囲Tにおける性質》の一面を映し出したものだから、
　　この分布図は、《f で表す関数》と範囲Tの組み合わせによって、変わってくる。

　・ということは、
　　この分布図をタイプ分けすることによって、
　　 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》をタイプ分けすることができるはずだ。
　
　　では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか？
　　　
　・Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図のタイプ分けとして、
　　ごく簡単に、次の2分法を考えることができる
　　
　　
　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　

　・この分布図の二分法による、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》のタイプ分けが、
　　　　Tで上に有界な関数　/　Tで上に有界でない関数　
　　に他ならない。

　・もちろん、

　　Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図として、

　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布

　　を生成する f , T が、Tで上に有界な関数、

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　
　　を生成する f , T が、Tで上に有界でない関数。







　【論理記号を用いた定義】


　　・変項fの議論領域を「あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合」,
　　　変項Tの議論領域を「《関数 f の定義域》のあらゆる部分集合をあつめた集合」とする二項述語・2変項命題関数
　
　　　　　「 f が Tで上に有界である」

　　　とは、

　　　　　∃M∈R ∀x∈T （ f(x)≦M ） 　

　　　　　　　「ある実数Mが存在して、任意の『Tに属す実数』xにたいして、f(x)≦Mを満たす」

　　　ということ。

　　・「∃M∈R ∀x∈T （ f(x)≦M ） 」は、
　　　変項 f , x , M を組み込んだ三項述語・3変項命題関数「f(x)≦M」の変項x,Mを、∃M∈R ∀x∈Tで束縛してつくった
　　　変項f,Tからなる二項述語・2変項命題関数。


　　【値域の概念を用いた定義】


　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで上に有界である」とは、

　　　　　　fによるTの像 f(T) がR上の点集合として上に有界であるということ。


→[トピック一覧：有界関数]
→総目次

定義：下に有界な関数　bounded below , bounded to the below

→【はじめに読む定義】
→【厳密な定義−予備知識なしに】
→【厳密な定義−値域を用いて】




【はじめに読む定義】




・「1変数関数 y = f (x) は下に有界である」とは、
　
　xをいろいろ操作して、yの値をできるだけ小さくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをいじったところで　
　あるところから下にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。




・「1変数関数 y = f (x) は下に有界でない」とは、
　
　xをうまく操作すると、
　yの値を際限なく小さくしていける…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

 　




【文献】
　・赤攝也『実数論講義』§6.1定義6.1.6(p.172)。
　・Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。
　・杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55);
　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.100);

　・http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function　





【一般化】
　・一般の順序集合について：「有界」
　・「実数の集合」について:上界･上に有界/下界･下に有界/有界
　・数列について：有界数列　
　・実数値関数について：2変数関数が有界/n変数関数が有界/実数値関数が有界　
　・「点集合」ないし「実数ベクトル」の集合について：R2における有界な集合/Rnにおける有界な集合/距離空間一般における有界な集合
　・点列について：R2における有界な点列/Rnにおける有界な点列/距離空間一般における有界な点列
　・ベクトル値関数について：1変数ベクトル値関数が有界/2変数2値ベクトル値関数の有界/n変数ベクトル値関数が有界　
　
【具体例】
　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　

　　　【厳密な定義】


　　　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が下に有界である」とは、

　　　　　　｜　この実数をmに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、最低一個は存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃m∈R 　∀x∈D⊂R　（m ≦ f (x)）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある実数mが存在して、任意の『定義域Dに属す実数』xにたいして、m ≦ f (x) を満たす」

　　　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が上に有界でない」とは、

　　　　　　｜　この実数をmに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、一つも存在しないということ。

　





【詳細】

　・「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ。」　
　　…この主張の真偽は揺れている、
　　　mに何を代入するかによって、
　　　そして、 f でどのような関数を表すかによって。　
　
　・すべての実数を次から次へとmに代入していって、
　　どういう実数をmに代入すると、　
　　　　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　が真になり、
　　どういう実数をmに代入すると、　
　　　　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　が偽になるのか、
　　追跡してみよ。

　　そして、

　　(実数タイプ1)　mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　(実数タイプ2)　mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　
　　という二種類の実数が、
　　「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、
　　
　　その分布図を描いてみよ。

　・この分布図は、f で表した関数の性質の一面を映し出したものだから、
　　この分布図は、f でどういう関数を表すかによって、変わってくる。

　・ということは、
　　この分布図をタイプ分けすることによって、
　　 f で表せる様々な関数をタイプ分けすることができるはずだ。
　
　　では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか？
　　　
　・Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図のタイプ分けとして、
　　ごく簡単に、次の2分法を考えることができる
　　
　　
　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　

　・この分布図の二分法で、 f で表せる様々な関数をタイプ分けしたものが、
　　　　下に有界な関数　/　下に有界でない関数　
　　に他ならない。

　・もちろん、

　　Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図として、

　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布

　　を生成する f が、下に有界な関数、

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　
　　を生成する f が、下に有界でない関数。







　　【値域の概念を用いた定義】


　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が下に有界である」とは、
　　　 f の値域がR上の点集合として下に有界であるということ。


→[トピック一覧：有界関数]
→総目次

定義：〜で下に有界な関数　bounded below , bounded to the below 　


 →【はじめに読む定義】
→【厳密な定義−予備知識なしに】
→【厳密な定義−値域を用いて】
→【厳密な定義−論理にこだわって】


【はじめに読む定義】


・「1変数関数 y = f (x) はTで下に有界である」とは、
　
　Tの範囲内でxを操作して、
　yの値をできるだけ小さくしようとしても、
　yの値に限度があって、
　どんな風にxをTの範囲内で、いじったところで　
　あるところから下にyの値をもっていけない…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

・「1変数関数 y = f (x) はTで下に有界でない」とは、
　
　Tの範囲内だけでxを操作しても、
　うまく操作すれば、
　yの値を際限なく小さくしていける…

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

 　


【一般化】
　・一般の順序集合について：「有界」
　・「実数の集合」について:上界･上に有界/下界･下に有界/有界
　・数列について：有界数列　
　・実数値関数について：2変数関数が有界/n変数関数が有界/実数値関数が有界　
　・「点集合」ないし「実数ベクトル」の集合について：R2における有界な集合/Rnにおける有界な集合/距離空間一般における有界な集合
　・点列について：R2における有界な点列/Rnにおける有界な点列/距離空間一般における有界な点列
　・ベクトル値関数について：1変数ベクトル値関数が有界/2変数2値ベクトル値関数の有界/n変数ベクトル値関数が有界　　
【具体例】
　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　


　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　


　　　【厳密な定義】


　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで下に有界である」とは、

　　　　　　｜　この実数をmに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、最低一個は存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃m∈R 　∀x∈T　（m ≦ f (x) ）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある実数mが存在して、任意の『Tに属す実数』xにたいして、m ≦ f (x) を満たす」

　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで下に有界でない」とは、

　　　　　　｜　この実数をmに代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える実数が、一つも存在しないということ。

　





【詳細】

　・「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ。」　
　　…この主張の真偽は揺れている、
　　　mに何を代入するかによって、
　　　そして、 f でどのような関数を表すかによって、　
　　　　　　Tでどの《f の定義域の部分集合》を表すかによって、
　
　・すべての実数を次から次へとmに代入していって、
　　どういう実数をmに代入すると、　
　　　　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　が真になり、
　　どういう実数をmに代入すると、　
　　　　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」　
　　が偽になるのか、
　　追跡してみよ。

　　そして、

　　(実数タイプ1)　mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　(実数タイプ2)　mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　
　　という二種類の実数が、
　　「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、
　　
　　その分布図を描いてみよ。

　・この分布図は、f で表した関数の《範囲Tにおける性質》の一面を映し出したものだから、
　　この分布図は、《f で表す関数》と範囲Tの組み合わせによって、変わってくる。

　・ということは、
　　この分布図をタイプ分けすることによって、
　　 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》をタイプ分けすることができるはずだ。
　
　　では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか？
　　　
　・Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図のタイプ分けとして、
　　ごく簡単に、次の2分法を考えることができる
　　
　　
　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　

　・この分布図の二分法による、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》のタイプ分けが、
　　　　Tで下に有界な関数　/　Tで下に有界でない関数　
　　に他ならない。

　・もちろん、

　　Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図として、

　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布

　　を生成する f , T が、Tで下に有界な関数、

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　
　　を生成する f , T が、Tで下に有界でない関数。







　【論理記号を用いた定義】


　　・変項fの議論領域を「あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合」,
　　　変項Tの議論領域を「《関数 f の定義域》のあらゆる部分集合をあつめた集合」とする二項述語・2変項命題関数
　
　　　　　「 f が Tで下に有界である」

　　　とは、

　　　　　∃m∈R ∀x∈T （ m ≦ f (x) ） 　

　　　　　　　「ある実数mが存在して、任意の『Tに属す実数』xにたいして、m ≦ f (x) を満たす」

　　　ということ。

　　・「∃m∈R ∀x∈T （ m ≦ f (x) ） 」は、
　　　変項 f , x , m を組み込んだ三項述語・3変項命題関数「m ≦ f (x) 」の変項x,mを、∃m∈R ∀x∈Tで束縛してつくった
　　　変項f,Tからなる二項述語・2変項命題関数。


　　【値域の概念を用いた定義】


　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで下に有界である」とは、

　　　　　　fによるTの像 f(T) がR上の点集合として下に有界であるということ。



→[トピック一覧：有界関数]
→総目次


定義：有界な１変数関数　bounded function


 →【はじめに読む定義】
→【厳密な定義−予備知識なしに】
→【厳密な定義−値域を用いて】


【はじめに読む定義】


・「1変数関数 y = f (x) は有界」とは、

　　1変数関数 y = f (x) が、
　　上に有界 かつ 下に有界

　ということ、

　つまり、

　ある幅の範囲内に、yの変動がおさまっていて、

　その変動幅より上にyの値を飛び出させるのは、
　どんな風にxをいじっても無理、

　その変動幅より下にyの値を飛び出させるのも、
　どんな風にxをいじっても無理、

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

・「1変数関数 y = f (x) は有界でない」とは、
　
　　1変数関数 y = f (x) が、
　　上に有界でない または 下に有界でない

　ということ、

　つまり、

　yの値の際限なき上昇
　yの値の際限なき低下　
　その少なくとも一方が、xの操作で可能になる
　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

 　




【文献】
　・赤攝也『実数論講義』§6.1定義6.1.6(p.172)。
　・Rudin『現代解析学』4.13(p.87)距離空間一般上。
　・杉浦『解析入門I』I§6定義4(p.55);
　・松坂『解析入門1』3.1-D(p.100);

　・http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function　





【一般化】

　・数列について：有界数列　
　・実数値関数について：2変数関数が有界/n変数関数が有界/実数値関数が有界　
　・点列について：R2における有界な点列/Rnにおける有界な点列/距離空間一般における有界な点列
　・ベクトル値関数について：1変数ベクトル値関数が有界/2変数2値ベクトル値関数の有界/n変数ベクトル値関数が有界　　

　・「実数の集合」について:有界
　・「点集合」ないし「実数ベクトル」の集合について：R2における有界な集合/Rnにおける有界な集合/距離空間一般における有界な集合
　・一般の順序集合について：「有界」
　
【具体例】
　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　


　　　【厳密な定義】


　　　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が有界である」とは、

　　　　　　｜　この実数とあの実数を m,M に代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m≦f (x)≦M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言えるこの実数とあの実数が、最低1ペアは存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃m,M∈R 　∀x∈D⊂R　（m≦f (x)≦M）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある実数m,Mが存在して、任意の『定義域Dに属す実数』xにたいして、m≦f (x)≦M を満たす」
　　　　ないし、

　　　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が有界である」とは、

　　　　　　｜　この正の実数を M に代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 | f (x) | ≦ M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える正の実数が、最低1個は存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃M＞０ 　∀x∈D⊂R　（ | f (x) | ≦ M ）」　「∃M∈(0,∞) 　∀x∈D⊂R　（ | f (x) | ≦ M ）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある正の実数Mが存在して、任意の『定義域Dに属す実数』xにたいして、 | f (x) | ≦ M を満たす」

　　　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が有界でない」とは、

　　　　　　｜　この正の実数を M に代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 | f (x) | ≦ M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える正の実数が、一つも存在しないということ。



　　【値域の概念を用いた定義】


　　・「D上で定義された1変数実数値関数 f が有界である」とは、
　　　 f の値域がR上の点集合として有界であるということ。


→[トピック一覧：有界関数]
→総目次

定義：〜で有界な関数　bounded function


 →【はじめに読む定義】
→【厳密な定義−予備知識なしに】
→【厳密な定義−値域を用いて】
→【厳密な定義−論理にこだわって】

【はじめに読む定義】


・「1変数関数 y = f (x) は Tで有界」とは、

　　1変数関数 y = f (x) が、
　　Tで上に有界 かつ Tで下に有界

　ということ、

　つまり、

　Tの範囲内でのxの操作に応じたyの変動は、
　ある幅の範囲内に収まっていて、

　Tの範囲内でxを動かす限り、

　その変動幅より上にyの値を飛び出させるのも、
　その変動幅より下にyの値を飛び出させるのも、
　全然無理。

　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。


・「1変数関数 y = f (x) はTで有界でない」とは、

　　1変数関数 y = f (x) が、
　　Tで上に有界でない または Tで下に有界でない

　ということ、

　つまり、
　　Tの範囲内だけでxを操作しても、
　　　　yの値の際限なき上昇
　　　　yの値の際限なき低下　
　　その少なくとも一方が可能。
　…そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。

 　


【一般化】
　・一般の順序集合について：「有界」
　・「実数の集合」について:上界･上に有界/下界･下に有界/有界
　・数列について：有界数列　
　・実数値関数について：2変数関数が有界/n変数関数が有界/実数値関数が有界　
　・「点集合」ないし「実数ベクトル」の集合について：R2における有界な集合/Rnにおける有界な集合/距離空間一般における有界な集合
　・点列について：R2における有界な点列/Rnにおける有界な点列/距離空間一般における有界な点列
　・ベクトル値関数について：1変数ベクトル値関数が有界/2変数2値ベクトル値関数の有界/n変数ベクトル値関数が有界　　
【具体例】グラフ直結！
　 ・y=x / y=x2/ y=x3 / y=1/x  →べき関数
　・定数値関数/比例/一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　　　

　・指数関数/対数関数絶対値関数/三角関数/ガンマ関数　


　　　【厳密な定義】


　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで有界である」とは、


　　　　　　｜　この実数とあの実数を m,M に代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 m≦f (x)≦M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言えるこの実数とあの実数が、最低1ペアは存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃m,M∈R 　∀x∈T　（m≦f (x)≦M）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある実数m,Mが存在して、任意の『Tに属す実数』xにたいして、m≦f (x)≦M を満たす」
　　　　　ないし、

　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで有界である」とは、

　　　　　　｜　この正の実数を M に代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 | f (x) | ≦ M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える正の実数が、最低1個は存在するということ。

　　　　　　　論理記号では、　「∃M＞０ 　∀x∈T　（ | f (x) | ≦ M ）」　「∃M∈(0,∞) 　∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ）」
　　　　　　　　　　　　　　　　読み下し例　「ある正の実数Mが存在して、任意の『Tに属す実数』xにたいして、 | f (x) | ≦ M を満たす」

　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで有界でない」とは、

　　　　　　｜　この正の実数を M に代入すると、
　　　　　　｜　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 | f (x) | ≦ M が成り立つ」　
　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　と言える正の実数が、一つも存在しないということ。

　





【詳細】

　・「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ Mが成り立つ。」　
　　…この主張の真偽は揺れている、
　　　Mに何を代入するかによって、
　　　そして、 f でどのような関数を表すかによって、　
　　　　　　Tでどの《f の定義域の部分集合》を表すかによって。
　
　・すべての実数を次から次へとMに代入していってみて、
　　どういう実数をMに代入すると、　
　　　　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」　
　　が真になり、
　　どういう実数をMに代入すると、　
　　　　　「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」　
　　が偽になるのか、
　　追跡してみよ。

　　そして、

　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　
　　という二種類の実数が、
　　「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、
　　
　　その分布図を描いてみよ。

　・この分布図は、f で表した関数の範囲Tにおける性質の一面を映し出したものだから、
　　この分布図は、《f で表す関数》と範囲Tの組み合わせによって、変わってくる。

　・ということは、
　　この分布図をタイプ分けすることによって、
　　 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》をタイプ分けすることができるはずだ。
　
　　では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか？
　　　
　・Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図のタイプ分けとして、
　　ごく簡単に、次の2分法を考えることができる
　　
　　
　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　

　・この分布図の二分法による、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》のタイプ分けが、
　　　　Tで有界な関数　/　Tで有界でない関数　
　　に他ならない。

　・もちろん、

　　Rのなかの
　　　(実数タイプ1)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を真の命題にする実数　
　　　(実数タイプ2)　Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を偽の命題にする実数　
　　の分布図として、

　　【分布図タイプ1】　Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布

　　を生成する f , T が、Tで有界な関数、

　　【分布図タイプ2】　Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、
　　　　　　　　　　Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布　　

　　を生成する f , T が、Tで有界でない関数。







　【論理記号を用いた定義】


　　・変項fの議論領域を「あらゆる1変数実数値関数をあつめた集合」,
　　　変項Tの議論領域を「《関数 f の定義域》のあらゆる部分集合をあつめた集合」とする二項述語・2変項命題関数
　
　　　　　「 f が Tで有界である」

　　　とは、

　　　　　∃M＞０ 　∀x∈T　（ | f (x) | ≦ M ）
　　　　　ないし
　　　　　∃M∈(0,∞) 　∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ）
　　　　　ないし
　　　　　∃M∈ { 'x∈R |  x'>0  }　∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ）
　
　　　　　　　　　　　　　　「ある正の実数Mが存在して、任意の『Tに属す実数』xにたいして、 | f (x) | ≦ M を満たす」

　　　ということ。

　　・「 ∃M＞０ 　∀x∈T　（ | f (x) | ≦ M ） 」
　　　「 ∃M∈(0,∞) 　∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） 」
　　　「 ∃M∈ { 'x∈R |  x'>0  }　∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） 」
　　　は、
　　　変項 f , x , M を組み込んだ三項述語・3変項命題関数「 | f (x) | ≦ M 」
　　　の変項x,Mを、

　　　　　∃M＞０ 　∀x∈T　
　　　　　ないし
　　　　　∃M∈(0,∞) 　∀x∈T
　　　　　ないし
　　　　　∃M∈ { 'x∈R |  x'>0  }　∀x∈T

　　　で束縛してつくった
　　　変項f,Tからなる二項述語・2変項命題関数。


　　【値域の概念を用いた定義】


　　　　・「1変数実数値関数 f が、『f の定義域の部分集合』Tで有界である」とは、

　　　　　　fによるTの像 f(T) がR上の点集合として有界であるということ。



→[トピック一覧：有界関数]
→総目次