【定義】 ・上に有界な関数/〜 で上に有界な関数 ・下に有界な関数/〜 で下に有界な関数/関数の下界 ・有界な関数/〜で有界な関数 ・関数の上界/関数の上限sup ・関数の下界/関数の下限inf ※1変数関数に関する諸概念の定義: 1変数関数の属性と類型/極限/連続性/微分 定積分/広義積分/ス チルチェス積分 ※関数定義関連ページ: 2変数有界関数/n変数有界関数/実数値有界関数一般 ベクトル値有界関数 ※総目次 |
→【はじめに読む定義】 →【厳密な定義−予備知識なしに】 →【厳密な定義−値域を用いて】 【はじめに読む定義】・「1変数関数 y = f (x) は上に有界である」とは、 xをいろいろ操作して、yの値をできるだけ大きくしようとしても、 yの値に限度があって、 どんな風にxをいじったところで あるところから上にyの値をもっていけない… …そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。 ・「1変数関数 y = f (x) は上に有界でない」とは、 xをうまく操作すると、 yの値を際限なく大きくしていける… …そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。 |
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【詳細】 ・「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ。」 …この主張の真偽は揺れている、 Mに何を代入するかによって、 そして、 f でどのような関数を表すかによって。 ・すべての実数を次から次へとMに代入していって、 どういう実数をMに代入すると、 「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」 が真になり、 どういう実数をMに代入すると、 「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦Mが成り立つ」 が偽になるのか、 追跡してみよ。 そして、 (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数 という二種類の実数が、 「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、 その分布図を描いてみよ。 ・この分布図は、f で表した関数の性質の一面を映し出したものだから、 この分布図は、f でどういう関数を表すかによって、変わってくる。 ・ということは、 この分布図をタイプ分けすることによって、 f で表せる様々な関数をタイプ分けすることができるはずだ。 では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか? ・Rのなかの (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図のタイプ分けとして、 ごく簡単に、次の2分法を考えることができる 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 ・この分布図の二分法で、 f で表せる様々な関数をタイプ分けしたものが、 上に有界な関数 / 上に有界でない関数 に他ならない。 ・もちろん、 Rのなかの (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図として、 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布 を生成する f が、上に有界な関数、 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 を生成する f が、上に有界でない関数。 |
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【詳細】 ・「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ。」 …この主張の真偽は揺れている、 Mに何を代入するかによって、 そして、 f でどのような関数を表すかによって、 Tでどの《f の定義域の部分集合》を表すかによって、 ・すべての実数を次から次へとMに代入していって、 どういう実数をMに代入すると、 「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」 が真になり、 どういう実数をMに代入すると、 「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦Mが成り立つ」 が偽になるのか、 追跡してみよ。 そして、 (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数 という二種類の実数が、 「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、 その分布図を描いてみよ。 ・この分布図は、f で表した関数の《範囲Tにおける性質》の一面を映し出したものだから、 この分布図は、《f で表す関数》と範囲Tの組み合わせによって、変わってくる。 ・ということは、 この分布図をタイプ分けすることによって、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》をタイプ分けすることができるはずだ。 では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか? ・Rのなかの (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図のタイプ分けとして、 ごく簡単に、次の2分法を考えることができる 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 ・この分布図の二分法による、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》のタイプ分けが、 Tで上に有界な関数 / Tで上に有界でない関数 に他ならない。 ・もちろん、 Rのなかの (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、f (x)≦M が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図として、 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布 を生成する f , T が、Tで上に有界な関数、 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 を生成する f , T が、Tで上に有界でない関数。 |
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【詳細】 ・「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ。」 …この主張の真偽は揺れている、 mに何を代入するかによって、 そして、 f でどのような関数を表すかによって。 ・すべての実数を次から次へとmに代入していって、 どういう実数をmに代入すると、 「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」 が真になり、 どういう実数をmに代入すると、 「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」 が偽になるのか、 追跡してみよ。 そして、 (実数タイプ1) mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数 という二種類の実数が、 「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、 その分布図を描いてみよ。 ・この分布図は、f で表した関数の性質の一面を映し出したものだから、 この分布図は、f でどういう関数を表すかによって、変わってくる。 ・ということは、 この分布図をタイプ分けすることによって、 f で表せる様々な関数をタイプ分けすることができるはずだ。 では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか? ・Rのなかの (実数タイプ1) mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図のタイプ分けとして、 ごく簡単に、次の2分法を考えることができる 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 ・この分布図の二分法で、 f で表せる様々な関数をタイプ分けしたものが、 下に有界な関数 / 下に有界でない関数 に他ならない。 ・もちろん、 Rのなかの (実数タイプ1) mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) mに代入されると、「どの『定義域Dに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図として、 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布 を生成する f が、下に有界な関数、 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 を生成する f が、下に有界でない関数。 |
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【詳細】 ・「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ。」 …この主張の真偽は揺れている、 mに何を代入するかによって、 そして、 f でどのような関数を表すかによって、 Tでどの《f の定義域の部分集合》を表すかによって、 ・すべての実数を次から次へとmに代入していって、 どういう実数をmに代入すると、 「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」 が真になり、 どういう実数をmに代入すると、 「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」 が偽になるのか、 追跡してみよ。 そして、 (実数タイプ1) mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数 という二種類の実数が、 「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、 その分布図を描いてみよ。 ・この分布図は、f で表した関数の《範囲Tにおける性質》の一面を映し出したものだから、 この分布図は、《f で表す関数》と範囲Tの組み合わせによって、変わってくる。 ・ということは、 この分布図をタイプ分けすることによって、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》をタイプ分けすることができるはずだ。 では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか? ・Rのなかの (実数タイプ1) mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、 m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図のタイプ分けとして、 ごく簡単に、次の2分法を考えることができる 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 ・この分布図の二分法による、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》のタイプ分けが、 Tで下に有界な関数 / Tで下に有界でない関数 に他ならない。 ・もちろん、 Rのなかの (実数タイプ1) mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、m ≦ f (x) が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図として、 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布 を生成する f , T が、Tで下に有界な関数、 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 を生成する f , T が、Tで下に有界でない関数。 |
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→【はじめに読む定義】 →【厳密な定義−予備知識なしに】 →【厳密な定義−値域を用いて】 【はじめに読む定義】・「1変数関数 y = f (x) は有界」とは、 1変数関数 y = f (x) が、 上に有界 かつ 下に有界 ということ、 つまり、 ある幅の範囲内に、yの変動がおさまっていて、 その変動幅より上にyの値を飛び出させるのは、 どんな風にxをいじっても無理、 その変動幅より下にyの値を飛び出させるのも、 どんな風にxをいじっても無理、 …そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。 ・「1変数関数 y = f (x) は有界でない」とは、 1変数関数 y = f (x) が、 上に有界でない または 下に有界でない ということ、 つまり、 yの値の際限なき上昇 yの値の際限なき低下 その少なくとも一方が、xの操作で可能になる …そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。 |
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→【はじめに読む定義】 →【厳密な定義−予備知識なしに】 →【厳密な定義−値域を用いて】 →【厳密な定義−論理にこだわって】 【はじめに読む定義】・「1変数関数 y = f (x) は Tで有界」とは、 1変数関数 y = f (x) が、 Tで上に有界 かつ Tで下に有界 ということ、 つまり、 Tの範囲内でのxの操作に応じたyの変動は、 ある幅の範囲内に収まっていて、 Tの範囲内でxを動かす限り、 その変動幅より上にyの値を飛び出させるのも、 その変動幅より下にyの値を飛び出させるのも、 全然無理。 …そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。 ・「1変数関数 y = f (x) はTで有界でない」とは、 1変数関数 y = f (x) が、 Tで上に有界でない または Tで下に有界でない ということ、 つまり、 Tの範囲内だけでxを操作しても、 yの値の際限なき上昇 yの値の際限なき低下 その少なくとも一方が可能。 …そんな関係にx,yがあるということ、関数fのなかでは。 |
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【詳細】 ・「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ Mが成り立つ。」 …この主張の真偽は揺れている、 Mに何を代入するかによって、 そして、 f でどのような関数を表すかによって、 Tでどの《f の定義域の部分集合》を表すかによって。 ・すべての実数を次から次へとMに代入していってみて、 どういう実数をMに代入すると、 「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」 が真になり、 どういう実数をMに代入すると、 「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」 が偽になるのか、 追跡してみよ。 そして、 (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を偽の命題にする実数 という二種類の実数が、 「実数をすべてあつめた集合」Rのなかで、どのように分布しているのか、 その分布図を描いてみよ。 ・この分布図は、f で表した関数の範囲Tにおける性質の一面を映し出したものだから、 この分布図は、《f で表す関数》と範囲Tの組み合わせによって、変わってくる。 ・ということは、 この分布図をタイプ分けすることによって、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》をタイプ分けすることができるはずだ。 では、この分布図のタイプ分けとして、どのようなものが考えられるのか? ・Rのなかの (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図のタイプ分けとして、 ごく簡単に、次の2分法を考えることができる 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布。 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 ・この分布図の二分法による、 f , T で表せる様々な《関数・範囲の組み合わせ》のタイプ分けが、 Tで有界な関数 / Tで有界でない関数 に他ならない。 ・もちろん、 Rのなかの (実数タイプ1) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を真の命題にする実数 (実数タイプ2) Mに代入されると、「どの『《f の定義域の部分集合》Tに属す実数』を選んでxに代入しても、| f (x) | ≦ M が成り立つ」を偽の命題にする実数 の分布図として、 【分布図タイプ1】 Rのなかに、(実数タイプ1)が最低一個は存在する分布 を生成する f , T が、Tで有界な関数、 【分布図タイプ2】 Rのなかに、(実数タイプ1)が一個も存在せず、 Rをすべて(実数タイプ2)で埋め尽くす分布 を生成する f , T が、Tで有界でない関数。 |
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