1変数3次関数y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの性質　：トピック一覧　　　
・グラフ/増減/値域/単射/全射/全単射/逆関数/極限/連続/有界性/最大最小/極大極小
※1変数関数の他の具体例：定数値関数/比例/一次関数/反比例/指数関数/対数関数/べき関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数
※1変数関数に関する諸概念の定義：1変数関数一般の定義/極限/連続性/微分/定積分/広義積分/スチルチェス積分
※関数定義関連ページ：2変数関数/n変数関数/実数値関数一般/ベクトル値関数/写像一般
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  y=f(x)=ax3+bx2+cx+d

グラフ

 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)=ax3+bx2+cx+dのグラフは、下図のとおり。

[文献]

　・ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0


y=x~3のグラフ

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y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの値域
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3の値域は、R＝(−∞,∞） 。

[文献]

・

y=f(x)= ax3+bx2+cx+dは非有界
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、上にも下にも有界でない。

[文献]

・

y=f(x)= ax3+bx2+cx+dの最大値・最小値
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のR＝(−∞,∞）における最大値は、
　　存在しない。
・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のR＝(−∞,∞）における最小値も、
　　存在しない。
y=x~3のグラフ

[文献]

・



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y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの極限
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　どんな実数aに対しても、　f(x)→a3 (x→a)　
※なぜ？
　　・y=g(x)=xの極限の性質より、
      y=g(x)= xは、
　　　　　どんな実数aに対しても、　g(x)→a (x→a)。
　　・y=g(x)=x2の極限の性質より、
      y=g(x)= x2は、
　　　　　どんな実数aに対しても、　g(x)→a2 (x→a)。

　　・「関数どおしの積」の極限は、「関数の極限」どおしの積となるという定理と、
　　　　上記で得られた「g(x)の極限値」より、
　　　　　　　　　　　g(x)3→a3 (x→a)
　　　・したがって、f (x)=g(x)3= x3は、
　　　　どんな実数aに対しても、　f(x)→a3(x→a)　。		 　

[文献]

　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.1.5(p.109）:
　　　　　・多項式関数一般に関して。
　　　　　・定数関数の極限、f(x)=xの極限と、関数の極限の和積による証明つき。
　・黒田『微分積分学』3.3.2-例3.16(p.102):「任意の多項式はRで連続」。
　　・証明として、
　　　定数関数とf(x)=xがRで連続だから、連続関数の和差積・定数倍も連続関数より。

※1変数関数の極限定義
※1変数関数の具体例の極限：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

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  y=f(x)=ax3+bx2+cx+d の連続性
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　　R＝(−∞,∞）上の連続関数。
※なぜ？
　・y=f (x)= x3という定義より、どんな実数aに対しても、f(a)= a3
　・y=f (x)= x3の極限の性質より、どんな実数aに対しても、　f(x)→a3(x→a)
　・以上二点より、どんな実数aに対しても、　f(x)→f(a) (x→a)　
　　　つまり、R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　　　　　　どんな実数aにおいても、連続性の定義を満たす。
　　したがって、
　　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、
　　　　　R＝(−∞,∞）上の連続関数。
 　

[文献]

　・黒田『微分積分学』3.3.2-例3.16(p.102):「任意の多項式はRで連続」。
　　　→証明：定数値関数の連続性・y=f(x)=xの連続性、連続関数の和積定数倍も連続
　・吉永『初等解析学:実数+イプシロンデルタ+積分』例3.2.7(p.115）:多項式一般。
　　　　　　　　・証明：多項式関数の極限の性質より。
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』第2章-1(p.38):多項式一般。証明:
　　　→証明：定数値関数の連続性・y=f(x)=xの連続性、連続関数の和積も連続
※1変数連続関数の定義
※1変数関数の具体例の連続性：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数

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y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの導関数
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数3次関数y=f (x)= ax3+bx2+cx+d の導関数は、
　R＝(−∞,∞）で定義された二次関数 y＝3ax2+2bx+c である。
　すなわち、f'(x)＝3ax2+2bx+c 　
　　∵べき関数の導関数の公式、関数の和の微分公式、関数の定数倍の微分公式、　　
・　f'(x)＝3ax2+2bx+c ＝ 3a(x + b/3a )2−b2/3a + c
　だから、
　a>0のとき、fの傾きは x=−b/3aで、「最小の傾き」−b2/3a + c　に達する、　
　a<0のとき、fの傾きは x=−b/3aで、「最大の傾き」−b2/3a + c　に達する。
　さらにいえば、
　a>0のとき、
　　・「最小の傾き」−b2/3a + c　＞0　すなわち、b2−3ac　<　0　が満たされるならば、
　　　R＝(−∞,∞）において、fの傾きは常にプラスで、０に達することはない。　
　　・「最小の傾き」−b2/3a + c　＝0　すなわち、b2−3ac　＝　0　が満たされるならば、
　　　　fの傾きは、x=−b/3aで０になるが、
　　　　(−∞,∞）から、この一点を除いた全範囲では、fの傾きは、プラスである。
　　・「最小の傾き」−b2/3a + c　<0　すなわち、b2−3ac　>　0　が満たされるならば、
　　　R＝(−∞,∞）において、fの傾きは、プラス→０→マイナス→0→プラスと動き、
　　　fの傾きが0となる点は、二つ存在する。　　　　
　a<0のとき、
　　・「最大の傾き」−b2/3a + c　<0　すなわち、b2−3ac　<　0　が満たされるならば、　
　　　R＝(−∞,∞）において、fの傾きは常にマイナスで、０に達することはない。　
　　・「最大の傾き」−b2/3a + c　＝0　すなわち、b2−3ac　＝　0　が満たされるならば、
　　　　fの傾きは、x=−b/3aで０になるが、
　　　　(−∞,∞）から、この一点を除いた全範囲では、fの傾きは、マイナスである。
　　・「最大の傾き」−b2/3a + c　＞0　すなわち、b2−3ac　＞　0　が満たされるならば、　
　　　R＝(−∞,∞）において、fの傾きは、マイナス→０→プラス→0→マイナスと動き、
　　　fの傾きが0となる点は、二つ存在する。　　　
　
 　




y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの停留値・極値
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数3次関数y=f (x)= ax3+bx2+cx+d は、
　・a>0　かつ　b2−3ac　<　0　ならば、
　　　　　　　　極値も停留値も持たない。（(−∞,∞）で狭義単調増加）
　・a>0　かつ　b2−3ac　＝　0　ならば、
　　　　　　　　極値はもたないものの、
　　　　　　　　極値にならない停留値　
　　　　　　　　f(−b/3a)=−b2/3a + c を有す。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（(−∞,∞）で狭義単調増加）
　・a>0　かつ　b2−3ac　>　0　ならば、
　　　　{-2b-2√(b2-3ac)}/6aで極大、,{-2b+2√(b2-3ac)}/6aで極小。
　　　　　　　　　でとる。
　　　　　　　　　　　(−∞,∞）で単調関数にはならないが、
　　　　　　　　　　　(−∞,{-2b-2√(b2-3ac)}/6a）で狭義単調増加　
　　　　　　　　　　　({-2b-2√(b2-3ac)}/6a,-2b+2√(b2-3ac)}/6a)で狭義単調減少
　　　　　　　　　　　({-2b+2√(b2-3ac)}/6a,∞）で狭義単調増加　
　

　・a<0　かつ　b2−3ac　<　0　ならば、
　　　　　　　　極値も停留値も持たない。（(−∞,∞）で狭義単調減少）
　・a<0　かつ　b2−3ac　＝　0　ならば、
　　　　　　　　極値はもたないものの、
　　　　　　　　極値にならない停留値　
　　　　　　　　f(−b/3a)=−b2/3a + c を有す。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（(−∞,∞）で狭義単調減少）
　・a<0　かつ　b2−3ac　>　0　ならば、
　　　　{-2b+2√(b2-3ac)}/6aで極小、{-2b-2√(b2-3ac)}/6aで極大。
　　　　　　　　　でとる。
　　　　　　　　　　　(−∞,∞）で単調関数にはならないが、
　　　　　　　　　　　(−∞,-{2b+2√(b2-3ac)}/6a）で狭義単調減少　
　　　　　　　　　　　({-2b+2√(b2-3ac)}/6a,{-2b-2√(b2-3ac)}/6a)で狭義単調増加
　　　　　　　　　　　({-2b+2√(b2-4ac)}/6,∞）で狭義単調減少　
 　

　今のところ、自力。
　でも、旺文社のセンター対策本にでていたような。

・松坂和夫『解析入門1』問題4.2-2(p.139;解答p.208→ナシ):a=1のケース。



y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの増減
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、狭義単調増加関数。


y=x~3のグラフ

　[文献]

　

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  y=f(x)= ax3+bx2+cx+d　と全単射
　 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、単射。　
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、Rの上への全射。
 　だから、
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は、Rの上への全単射になっている。

[文献]

　・黒田『微分積分学』3.1.2-例3.2(pp.86-7)

y=x~3のグラフ


　y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの逆関数

[説明]

 ・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3は単射なので、逆関数が存在する。
　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3の逆関数は、
　　　　　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数x=f-1(y)＝ 3 √y　。
　慣例に従って、x,yを入れ替えると、
　　　　　　R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=g(x)= 3 √x　。

[文献]

　・吉田栗田戸田『昭和63年3/31文部省検定済　高等学校基礎解析』2章1.指数の拡張-[累乗根](p.41)。
　

[図解]

 ・下図は、R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3のグラフ。
　普通、グラフは、xの値を一つ決めて、それに対応するyの値を読み取っていくものだが、
　逆に、yの値を一つ決めて、それに対応するxの値を読み取っていくと、
　「y=f (x)= x3」の逆対応　「x　=　f-1(y)＝3 √y」のグラフとして下図を読んだことになる。
　同一のyの値に、一個のxの値が対応付けられていることから、
　「y=f (x)= x3」の逆対応　「x　=　f-1(y)＝3 √y」は、
　1変数関数の定義を満たしていると分かる。
　だから、「x　=　f-1(y)＝3 √y」を、「y=f (x)= x3」の逆関数と呼んでよい。
 y=x~3のグラフ
・R＝(−∞,∞）で定義された1変数関数y=f (x)= x3　の逆関数「x　=　f-1(y)＝3 √y」を、
　慣例に従ってx,yを入れ替えて、
　　　　y=g(x)=  3 √x　　
　としたグラフが下図。





 ※1変数関数の「逆関数（の存在）」定義
※1変数関数の具体例の「逆関数（の存在）」について：
　　　定数値関数/y=x/比例/一次関数/反比例/二次関数/べき関数
　　　指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数/ガンマ関数


y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの凹凸、変曲点