自然数全体の集合N
cf.
実数

参考文献総目次

  Peanoの公理系

    xにたいして、x+1を対応させる関数をx'と表し、xの後者successorと呼ぶ。

   1) 1 N

   2) x N ならば、x' N

   3) x N ならば、x'1

   4) x' = y' ( x,y N )ならば、x =y.

   5)2条件「1∈M」および「xMならばx'M」が満たされれば、NM

                 [数学的帰納法の公理 axiom of mathematical induction]

  Peanoの公理系を満たす集合Nは同形の意味で1つしかないので、

  これをもってNの定義と考えられる。

  Nの元を「自然数」と名づける。

全ての自然数nについて成り立つ命題

   これらの命題は、Peanoの第五公理、すなわち、数学的帰納法によって、

   証明される。

a0で、n2以上の自然数のとき、

 (1+ a) n1 +na (※)

      (『基礎解析』p.85、和達『微分積分』p.6

 (証明)

 (I) n =2のとき、

   (1+ a) 2=1+2 a + a2>1+2 a  (∵常にa2>0)

   よって、n =2のとき、 (※)が成立

 (II) k2として、n=kのとき、(※)が成立すると仮定する。

      すなわち、 (1+ a) k1 +ka (1)

    n = k+1のとき、(※)の左辺は、

       (1+ a) k+1(1+ a) k(1+ a) 

           >(1 +ka) (1+ a) ∵式(1)および(1+ a)0  

           =1 +ka+ a+ka2 

           =1 +(k+1) a +ka2 

           >1 +(k+1) a   ∵常にka2>0

       すなわち、

       (1+ a) k+1>1 +(k+1) a 

   よって、n = kで(※)が成立するならば、n = k+1で(※)は成立。

 (I)(II)から、※は2以上の全ての自然数nについて成立する。

a0ならば、各n Nに対して

  (1+a)n1+na+n(n-1)a22 ※

           (吹田・新保『理工系の微分積分学』p.3.)

 (証明)吹田・新保では問題が出ているだけで、証明は示されていない。

      上記の『基礎解析』掲載の類題の証明を参考に、自力で作成したのが、以下の証明。

 (I) n =1のとき、

   左辺=(1+ a) 1=1+ a

   右辺=1+1a+1 (1-1)a2/2=1+a+0=1+a

   ∴n=1で※成立。

 (II) k1としてn=kのとき、(※)が成立すると仮定する。

      すなわち、 (1+ a) k≧1+ka+k(k-1)a2/2  (1)

    n = k+1≧2のとき、(※)の左辺は、

     (1+ a) k+1(1+ a) k(1+ a) 

         ≧(1+ka+k(k-1)a2/2) (1+ a)       ∵式(1)および(1+ a)0  

         =1+ka+k(k-1)a2/2 + ak a2+k(k-1)a3/2 

         =1+kak2 a2/2 ka2/2 ak a2+k(k-1)a3/2  

         =1+kaa(k2 /2−k/2+k) a2+k(k-1)a3/2  

         =1+kaa(k2 /2+k/2) a2+k(k-1)a3/2  

         =1+kaa(k2 +k) a2/2+k(k-1)a3/2  

         =1+(k +1)ak (k +1) a2/2+k(k-1)a3/2  

         ≧1+(k +1)ak (k +1) a2/2  ∵a0, k1で常にk(k-1)a3/2≧0 (k=1で等号成立)   

   よって、n = kで(※)が成立するならば、n = k+1で(※)は成立。

 (I)(II)から、※は1以上の全ての自然数nについて成立する。

 

 *念のため。a=0では、任意のnについて※は成立する。1=1だから。

 

reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)項目183,B.自然数 (p. 474).

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、p.61

           ※「0を要素としてもち」という記述は「1を」の誤植では?

吹田・新保『理工系の微分積分学学術図書出版社、1987年。p.3.

高木貞二『解析概論改訂第三版』岩波書店、1983年、pp.1-5.

吉田耕作・栗田稔・戸田宏『高等学校基礎解析』啓林館、1985年、pp.83-86.