→ビギナー向け定義 →厳密な定義～ε-N論法による記述 ・考え方 / イメージトレーニング ・ビギナー向け定義のどこを明確化? ・具体的に噛み砕くと… ・論理の解説 ・論理記号読み下しサンプル集 →ビジュアル化 →具体例 【cf.】 収束先の極限値を明示しない下記表現の定義 →「数列が収束する」/「数列が収束列」 →「数列の極限が存在する」/「数列は極限値をもつ」 【関連事項】 ・数列の収束条件： 有界単調数列の収束定理 ボルツァノ・ワイエルストラスの定理 コーシーの判定法 ・収束数列の性質： ・収束の反意語：発散(∞に発散/－∞に発散) ・数列以外に関する「収束」「極限」概念の定義： －点列について： R2上の点列の収束/Rn上の点列の収束/点列の収束一般 －関数について： ・1変数関数の極限/2変数関数の極限/多変数関数の極限 ・距離空間上で定義された実数値関数の極限 ・1変数ベクトル値関数の極限/n変数ベクトル値関数の極限 ・距離空間のあいだの写像の極限 |
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an→α(n→∞)：ビギナー向け定義・「 数列 { an } は実数αに収束する」 " { an } converges to α " 「『数列 { an } の極限値limit』は実数αである」 " { an } has limit α" 「 an→α (n→∞) 」
とは、 数列 { an } において「項の番号」nを限りなく大きくすると、 anの値が実数αに限りなく近づく ということ。
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→数列の収束・極限値 →トピック一覧：数列とその類型・属性の定義 |
an→α(n→∞)：厳密な定義の考え方・アイデアのみを、ざっくり述べると、 「 数列 { an } は実数αに収束する」 "{ an } converges to α" 「『数列 { an } の極限値』は実数αである」 " { an } has limit α" 「 an→α (n→∞) 」
とは、 εに設定した距離を変更して、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅を変えるたびに、 その時εに設定した距離に応じて、 |
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| 《しきい値》Nに代入すると「項番号nが《しきい値》Nを突破すると、anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」を実現する項番号 が、実在すると確認できるので、 εに設定した距離を変更して、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時εに設定した距離に応じた項番号を《しきい値》Nにセットし直していくことで 「nが《しきい値》Nを突破すると、anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」を実現し続けることを保証できる ということ。 ※どういうこと？→ イメージトレーニング / 具体的に展開 ・「anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」を数式で表すと、「α－ε＜ an＜α＋ε」となるが、 絶対値を用いて、「 | an －α|＜ε」 開区間を用いた集合表現で、「an ∈ (α－ε, α＋ε)」 とも表せる。 なお、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》とは、αのε近傍Uε(α)に他ならないので、これを使うと、 「anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」は「an∈Uε(α)」と表せる。 ・「項番号nが《しきい値》Nを突破する」を数式で表すと、「n≧N」。 ・論理記号を用いて、全体を表すと、「 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ α－ε＜ an＜α＋ε ) 」となる。 ※詳細→厳密な極限定義 【他の表現 ： an→α (n→∞)の考え方】「an→α (n→∞)」とは、 ・「『数列{an}の各項』と『実数α』との目標誤差」εをどのような『正の実数値』に指定しようとも、その目標誤差εに応じて、数列{an}のはじめの有限N個の項を選んで、これを無視することにすれば、 「『(N+1)番目の項に後続する無限個の項』と『実数α』との実際の誤差」を、目標誤差ε以内に収めることができるということ ・「『数列{an}の各項』と『実数α』との目標誤差」εをどのような『正の実数値』に指定しようとも、その目標誤差εに応じて、数列{an}のはじめの有限N個の項を選んで、これを除去してあげると、 「『残った無限個の項』と『実数α』との実際の誤差」を、目標誤差ε以内に収めることができるということ ・「『数列{an}の各項』と『実数α』との目標誤差」εをどのような『正の実数値』に指定しようとも、その目標誤差εに応じて、「数列{an}の項」をうまく選んであげると、 「『目標誤差εに応じて選んだ項より後ろのすべての項』と『実数α』との実際の誤差」を、目標誤差ε以内に収めることができるということ |
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このような厳密な「 an→α (n→∞) 」定義のアイデアは、ビギナー向け定義を明確化したもの。 【見取り図】ビギナー向け「 an→α(n→∞) 」定義： 「項番号nが限りなく大きくなると、anが実数αに限りなく近づく ということ」 【改良1】→↓ 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《距離ε》まで近づく」(＊) ──《距離ε》の限りないバリエーションの一つ一つに応じて、好都合な《項番号N》がそれぞれ実在して、(＊)を実現するということ。 【改良2】→↓ 厳密な「 an→α(n→∞) 」定義： 「nが大きくなって《しきい値N》を突破すると、anが《αからの距離ε以内のゾーン》へ突入」（＊＊） ──《距離ε》の限りないバリエーションの一つ一つに応じて、《閾値N》がそれぞれ実在して、（＊＊）を実現するということ。 ※説明は?→ε-N論法による「数列の極限値」定義はビギナー向け定義のどこをどのように明確化しているのか？ |
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an→α(n→∞)：厳密な定義の具体的な表現・「 数列 { an } は実数αに収束する」 "{ an } converges to α"「『数列 { an } の極限値』は実数αである」 " { an } has limit α" 「 an→α (n→∞) 」
とは、 ・ε1=1と決めてやると、 「 n≧N1ならば、 | an －α|＜ε1 つまり| an －α|＜1」 すなわち、「 n≧N1ならば、 α－ε1＜an＜α＋ε1つまりα－1＜ an＜α＋1」 すなわち、「 n≧N1ならば、 an ∈ (α－ε1 , α＋ε1)つまりan ∈ (α－1, α＋1) 」 を成り立たせる自然数N1が存在する ・ε2 =0.01を決めてやると、 「 n≧N2ならば、 | an －α|＜ε2つまり| an －α|＜0.01 」 すなわち、「 n≧N2ならば、 α－ε2＜ an＜α＋ε2つまりα－0.01＜an ＜α＋0.01」 すなわち、「 n≧N2ならば、 an ∈ (α－ε2 , α＋ε2 )つまりan ∈ (α－0.01, α＋0.01) 」 を成り立たせる自然数n≧N2が存在する ・ε3=0.0001を決めてやると、 「 n≧N3ならば、 | an －α|＜ε3つまり| an－α|＜0.0001 」 すなわち、「 n≧N3ならば、 α－ε3＜ an＜α＋ε3つまりα－0.0001＜ an＜α＋0.0001」 すなわち、「 n≧N3ならば、an∈ (α－ε3 ,α＋ε3 )つまりan∈ (α－0.0001, α＋0.0001)」 を成り立たせる自然数N3が存在する ： ： といった具合に、 どんな正の実数εkを決めてやっても（εkを1でも、0.1でも、0.00…001まで狭めても）、 このεkの大きさに応じて、ある自然数Nkが存在して、 「 n≧Nkならば、 | an －α|＜εk 」 すなわち、「 n≧Nkならば、 α－εk＜ an＜α＋εk 」 すなわち、「 n≧Nkならば、 an ∈ (α－εk , α＋εk ) 」 すなわち、「 n≧Nkならば、 an ∈ Uε(α) 」 を成り立たせる ということ。 ※どういうこと？ → 考え方 / イメージトレーニング /ビギナー向け定義のどこを明確化? ※端的には？ → 厳密な定義 |
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an→α(n→∞)：厳密な定義の正確な表現【ε-N論法による定義】・「 数列 { an } は実数αに収束する」 "{ an } converges to α" 「『数列 { an } の極限値』は実数αである」 "{ an } has limit α" 「 an→α (n→∞) 」
とは、 数列 { an } において、 任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、 （つまり、εを1でも、0.1でも、0.00…001まで狭めても） ある（十分大きな）自然数Nが存在して、 「 n≧Nならば、 | an －α|＜ε 」 すなわち、 「 n≧Nならば、 d(an,α)＜ε 」 すなわち、 「 n≧Nならば、 α－ε＜ an＜α＋ε 」 すなわち、 「 n≧Nならば、 an ∈ (α－ε, α＋ε) 」 すなわち、 「 n≧Nならば、 an∈Uε(α) 」 が成り立つ ということ、 しつこく表現すると、 どんな（小さな）「正の実数」を選んで、εに代入しても、 |
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その「正の実数」に相応しい（十分大きな）自然数が少なくとも一個は存在するので、 その「正の実数」に応じて、この（十分大きな）自然数を探し出してNに代入することによって、 「どの自然数をnに代入しても、an, αは、 『n≧Nならば、 | an －α|＜ε』 すなわち 『n≧Nならば、 d(an,α)＜ε』 すなわち『n≧Nならば、 α－ε＜ an＜α＋ε』 すなわち『n≧Nならば、 an ∈ (α－ε, α＋ε)』 |
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| すなわち『n≧Nならば、 an∈Uε(α)』 を満たす」 を成り立たせることができる ということ。 ※どういうこと？ → 考え方 / イメージトレーニング ※具体的には？ → 具体的に噛み砕いた説明 ※ビギナー向け定義のどこを明確化? 以上を論理記号で表すと、 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒| an－α|＜ε) すなわち、 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ d(an,α)＜ε ) すなわち、 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ an ∈ (α－ε, α＋ε) ) すなわち、 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ an ∈Uε(α) ) すなわち、 ∀Uε(α) ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ an ∈Uε(α) ) ※どう読むの？ → 読み下しサンプル |
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【近傍概念を前面に押し出した定義】近傍概念を全面に押し出すと、 上記の定義を、次のように大胆にまとめることができる。 ・「 数列 { an } は実数αに収束するconverge」 「『数列 { an } の極限値limit』は実数αである」 「 an→α (n→∞) 」
とは、 実数αのどんなε近傍 Uε(α) を選んでも、 選んだUε(α)に応じて、有限個の番号nを除くと、 残ったすべての項anが、an∈Uε(α) を満たす ということ。 |
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→数列の収束・極限値 →トピック一覧：数列とその類型・属性の定義 |
an→α(n→∞)の定義：論理にこだわって【定義】・変項《数列》,αを組み込んだ2項述語・2変項命題関数 「 《数列》はαに収束する」 ないし 「『《数列》の極限値』はαである」 * 変項《数列》の議論領域 ： あらゆる実数列をあつめた集合 * 変項αの議論領域 ： R とは、 変項 《数列》,α,ε, N ,n を組み込んだ5項述語・5変項命題関数 「n≧N⇒|《数列》の第n項 －α |＜ε」 すなわち 「n≧N⇒ 《数列》の第n項 ∈ (α－ε, α＋ε)」 * 変項《数列》の議論領域 ： あらゆる実数列にわたる範囲 * 変項αの議論領域 ： あらゆる実数をあつめた集合 R * 変項εの議論領域 ： あらゆる実数をあつめた集合 R * 変項Nの議論領域 ： あらゆる自然数をあつめた集合 N * 変項nの議論領域 ： あらゆる自然数をあつめた集合 N について、 |
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その3変項ε, N , n を、 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N で束縛し、 《数列》,αのみを変項として残した2項述語・2変項命題関数 「 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒| 《数列》の第n項 －α |＜ε) 」 すなわち 「 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ 《数列》の第n項 ∈ (α－ε, α＋ε) ) 」 のこと。 ・「 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒| 《数列》の第n項 －α |＜ε) 」 は、 「 ∀ε∈ { x∈R | x> 0 } ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒| 《数列》の第n項 －α |＜ε) 」 つまり、「 ∀ε∈ (0,∞) ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒| 《数列》の第n項 －α |＜ε) 」 の略記。 【定義の意味】・上記定義が意味しているのは、 { x∈R | x> 0 } つまり (0,∞) から、どの実数を選んで変項 ε に代入しても、（←意味：「∀ε>0」「∀ε∈ { x∈R | x> 0 } 「∀ε∈ (0,∞)」の部分） その実数に相応しい自然数が少なくとも一個は存在するので、 その実数に応じて、相応しい自然数をうまく選んで変項 N に代入することによって、（←意味 「∃N∈N」の部分） 「どの自然数を変項 n に代入しても、変項 《数列》, α は、『n≧N⇒| 《数列》の第n項 －α |＜ε)』 を満たす」 を成り立たせることができる ということ。 |
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→数列の収束・極限値 →トピック一覧：数列とその類型・属性の定義 |
an→α(n→∞)の定義：論理記号・読み下し例一覧以下は、 各テキストでなされている 「 数列 { an } は実数αに収束する」 「 an→α (n→∞)」 「『数列 { an } の極限値』は実数αである」
の論理記号による定義と、その読み下し例のコレクション。 【type1-1】∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒| an－α|＜ε) * 変項εの議論領域 ： あらゆる実数をあつめた集合 R * 変項Nの議論領域 ： あらゆる自然数をあつめた集合 N * 変項nの議論領域 ： あらゆる自然数をあつめた集合 N * 変項αの議論領域 ： あらゆる実数をあつめた集合 R ・どんな正数ε>0に対しても、ある自然数Nが存在して、n≧Nを満たすすべての自然数nに対して、| an－α|＜εとなる[杉浦p.12] ・任意のε>0に対して、 自然数Nが存在して、 n≧Nのときつねに、 | an－α|＜εが成り立つとなる。[黒田p.42] ・任意の正数ε(どんなに小さいε>0)に対し、 自然数Nが存在し(十分大きな自然数Nをとれば)、 すべてのn≧Nに対し、 | an－α|＜εとなる。[小林p.15] |
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| ・すべての(任意の)正数εにたいして、ある自然数Nが存在し、それよりも大きな自然数nについて、| an－α|＜εが成り立つ。[新井p.136] ・任意の正の数εにたいして、或る番号Nが存在して、n≧Nであれば、| an－α|＜εが成立する。[入谷久我p.34] ・すべての(任意の)正数εにたいして、ある自然数Nがあって、すべての(任意の)自然数nにたいして、n≧N⇒| an－α|＜εが成り立つ。[中内p.116] ・どんな正の数εに対しても、自然数Nをうまく定めると、n≧Nであるどんなnにたいしても、| an－α|＜ε となっている。[細井p.13;15;21] ・任意の正数εにたいして、ある自然数Nをとると、| an－α|＜ε（n≧N）が成り立つ。[吹田新保(p.6] ・どんな（小さな）正の数εに対しても、（十分大きな）自然数Nを見つけることができて、N以上の自然数nにおいては必ず、| an－α|はε未満になる[松井p.187:改] ・敵がどんな正実数εを持って来ても、それに対応して自分が巧妙に自然数Nを選べば、その後に敵がどんな自然数n≧Nを選ぼうとも、| an－α|＜εにすることができる[松井p.41:改] ・任意の正の数εにたいして、n≧Nならば、| an－α|＜εとなるような自然数Nが存在する。[和達p.9] ・任意の正数εが与えられたとき、それに対応して一つの番号Nが、n≧Nなるとき| an－α|＜εなるように定められる[高木p.6] ・任意のε>0にたいして、n≧Nならば、 | an－α|＜ε が成り立つように、自然数Nをとることができる。[杉浦p.1] ・ ・For any(every) ε>0, there exists N such that | an－α|＜ε for all n≧N [小林p.15] ・for every real number ε > 0,there exists a natural number N such that for every n > N we have | an－α| < ε.[http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence] ・for each ε > 0,there exists a number N such that n > N implies | an－α| < ε.[Ross:7.1Definition(p.25)] 【type1-2】∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ d(an,α)＜ε ) 「任意のε>0という正の実数を一つ定めたとき、それにたいして、ある番号Nが存在して、N以降のすべての番号nにたいして、 d(an,α)＜εが成立する。」[神谷浦井p.68] 【type1-3】 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ an ∈ (α－ε, α＋ε) ) 読み下し例「すべての(任意の)正数εにたいして、ある自然数Nが存在して、すべての(任意の)自然数nにたいして、n≧Nならば、anは開区間 (α－ε, α＋ε) に属す。」 【type1-4】 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ an ∈Uε(α) ) 読み下し例「すべての(任意の)正数εにたいして、ある自然数Nが存在して、すべての(任意の)自然数nにたいして、 n≧Nならば、anは《αのε近傍》に属す。」 given an arbitrarily small number ε>0, we can always find some positive integer N(which will in general depend on the chosen ε) such that all terms of the sequence of order higher than N will lie within the ε-ball centered at α [deLaFuente,pp.46-47 ] 【type2】∀ε>0 ∃N∈N ∀n≧N ( | an－α|＜ε) [新井紀子『数学は言葉』p.139:数列発散定義の記号表現のなかで] * 変項εの議論領域 ： あらゆる実数をあつめた集合 R * 変項Nの議論領域 ： あらゆる自然数をあつめた集合 N * 変項nの議論領域 ： あらゆる自然数をあつめた集合 N * 変項αの議論領域 ： あらゆる実数をあつめた集合 R ・敵がどんな正実数εを持って来ても、それに対応して自分が巧妙に自然数Nを選べば、その後に敵がどんな自然数n≧Nを選ぼうとも、| an－α|＜εにすることができる[松井p.41:改] すなわち、 ∀Uε(α) ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ an ∈Uε(α) ) |
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数列の収束・極限値のビジュアル化
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