関数の多項式近似3−テイラー展開・マクローリン展開 　：　トピック一覧

・関数の級数展開（ベキ級数展開）　
　　テイラー展開・テイラー級数　
　　マクローリン展開・マクローリン級数　

・マクローリン展開の具体例


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関数の級数展開（ベキ級数展開）

テイラー展開 Taylor expansion (テイラー級数Taylor series)

マクローリン展開 Maclaurin expansion (マクローリン級数 Maclaurin Series )　

　　　　区間I上で C∞ 級（無限回連続微分可能）である関数f(x)を考える。　　
　　　　テイラーの定理より、　
　　　　x, a∈I　とすると、さまざまな自然数nの値に対して、　
　　　　　　　　　
　　　　を満たす点cがxとaの間に存在する。

　　　　これがさまざまな自然数nの値に対して成り立つということは、
　　　　n→∞を考えても成り立つということを意味する。
　　　　もしも、このn→∞とした場合において、Rn→0となってくれたなら、
　　　　　　　
　　　　という無限級数だけで
　　　　 関数f(x)を「うまい具合に」「きれいに」表現できてしまう。
　　　　開区間(x, a)のどこかに存在するcなどという
　　　　素性のわからぬ怪しげな数字を持ち出さなくても、
　　　　関数f(x)を無限級数だけで表現できることになる。

　　　　このようにn→∞とした場合において、
　　　　Rn→0となってくれることが証明できた場合、　　
　　　　　　　
　　　　という級数展開が正当化され、この右辺を
　　　　　　「f(x)のx=aにおけるテイラー展開」
　　　　　　「f(x)のaの周りのテイラー展開」
　　　　　　「f(x)のx=aを中心とするテイラー展開・テイラー級数」
　　　　　　"Taylor Series at x=a"　　　　
　　　　　　"Taylor Expansion around x=a"　　 　　
　　　　などと呼ぶ。
　　　　この形に表す行為を、
　　　　　　「区間Iにおいてx=aを中心とするテイラー級数に展開する」
　　　　　　"to expand a function y=f(x) around x=a "　
　　　　などという。
　

　　　　区間Iにおいてx=aを中心とするテイラー級数に展開できるf(x)は「x=aで解析的である」と言われる。
　　　　特に、
　　　　　f(x)のx=0を中心とする(x=0における)テイラー展開・テイラー級数を、
　　　　「f(x)のマクローリン展開・マクローリン級数」と呼ぶ。

【テイラー展開の例】　　
　　　　[小平p.137]
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主な関数のマクローリン展開とその証明　　　


1.　ex ＝１＋ x ＋ x2/２! ＋…＋ xn/n! ＋…　（ | x | ＜∞）
　　※なぜ？→証明　

2.　log ( 1+ x )= x − x2/２ ＋ x3/３ −…＋ (−１)n−1 xn/n＋…　（ | x | ＜1 ）
　　※なぜ？→証明　

3.　 ( 1+ x )a =1+ax+a(a-1)x2/2!+…+ a(a-1)…(a-n+1)xn/n!+…　（ | x | ＜1、a∈R）　[吹田新保『理工系の微分積分学』p.48]　
　　　　　　a＞０のときが二項定理。

4.　1／(1− x ) = 1+ x + x2  +…+ xn +…　　　[吹田新保『理工系の微分積分学』p.50]　

5.　1／(1− x )2 = 1 + 2 x +3 x2 +…+( n+1 ) xn+…　　　[吹田新保『理工系の微分積分学』p.50]
　
　
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（reference）

『岩波数学辞典（第三版）』. 項目333　微分法[pp.983-986]
吉田耕作・栗田稔・戸田宏『平成元年3/31文部省検定済高等学校数学科用　高等学校　微分・積分　新訂版』啓林館、pp.70-75;90-91;101-102.平均値定理を用いた二次の近似式まで。
矢野健太郎・田代嘉宏『社会科学者のための基礎数学　改訂版』裳華房、pp.76-77.平均値定理まで。
神谷和也・浦井憲一『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.214-223(6.2.4節―6.2.6節).
高木貞治『解析概論　改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 47-49;61-67.
和達三樹『理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.54-55.pp.58-69.
吹田・新保『理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年。pp.43-50.
杉浦光夫『解析入門』岩波書店、1980年、pp. 91-107. 　
小平邦彦『解析入門I』 (軽装版)岩波書店、2003年,pp.119-126;132-138。
青本和彦『岩波講座現代数学への入門：微分と積分1』 岩波書店、1995年、pp.146-149;171-175。
高木斉・押切源一『解析Ｉ・微分』共立出版株式会社、1995年、pp.13-19。
高橋一『経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.55-56;61-64.
Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics: Third Edition, McGraw Hill,1984,pp.254-267.
Goldstein,Lay,Schneider, Calculus and Its Applications (International Editions): Eight Edition, Prentice Hall, 1999,pp.535-543;570-577.　
　　　　
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