単調数列 monotone sequence： トピック一覧


・定義：狭義単調増加列/広義単調増加列・単調非減少列/単調増加列
・定義：狭義単調減少列/広義単調減少列・単調非増加列/単調減少列
・定義：狭義単調列　　/広義単調列　　　　　　　　　/単調数列　


※関連ページ：
　・数列の定義、数列のタイプ、数列の極限　
　・数列の性質：数列の上限sup下限infの性質/数列の極限の性質
　・数列の一般化：R2上の点列/Rn上の点列/点列一般/列sequence/族family　
※総目次

定義：狭義単調増加列
【はじめに読む定義】

・「数列x1, x2, x3,…が狭義単調増加列である」とは、

　　数列の各項x1, x2, x3,…が、「x1＜x2＜x3＜…」を満たすということ。

【論理記号を用いた定義1】

・「数列x1, x2, x3,…が狭義単調増加列」とは

　　　 ∀n∈N　（ xn＜ xn＋1 ）

　　　　　　「数列x1, x2, x3,…は、
　　　　　　　　すべての自然数nにたいして、xn＜ xn＋1 を満たす」
　ということ。

　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数
　「《数列》が、狭義単調増加列」
　は、

　∀n∈N （ 《数列》の第n項＜《数列》の第n＋１項 ） …（＊）

　　　　《数列》は、すべての自然数nにたいして、
　　　　　　　条件「《数列》の第n項＜《数列》の第n＋１項」
　　　　　を満たす

　で定義される。　

　（＊）は、
　変項《数列》、nからなる二項述語・2変項命題関数　

　　《数列》の第n項 ＜ 《数列》の第n＋１項

　　　　　《数列》, nは
　　　　　　条件「《数列》の第n項＜《数列》の第n＋１項」
　　　　　　を満たす　　

　の変項nを∀n∈Nで束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。　






【論理記号を用いた定義2】
　




【関連事項】

 　


　・関数に一般化：狭義単調増加関数　

　・性質：有界な単調数列は収束する









[文献─数学一般]
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目166収束(pp.436).
　・『岩波入門数学辞典』「単調減少列monotone decreasing sequence」「単調増加列monotone increasing sequence」(p.392).


[文献─解析]
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69)
　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質-b)単調数列(p.37);
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義1 (p.17);
　・杉浦『解析演習』1.4(p.2):「広義単調増加列」「狭義単調増加列」「広義単調減少列」「狭義単調減少列」
　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列(p.9);
　・赤攝也『実数論講義』§５.4単調数列-定義5.4.1-5.4.2(p.１２6)　
　・笠原皓司『微分積分学』定義している箇所見当たらず。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.1(p.106)。
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(p.17３)「広義の単調増加/減少」
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義2.7(p.１9)
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』使用しているが定義が見当たらない。
　・黒田『微分積分学』2.6.1(p.54)
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1(p.33)

[文献─数理経済]

　　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.2実数列とその収束(p.71)
　

・「数列x1, x2, x3,…が狭義単調増加列」とは


　数列x1, x2, x3,…が
　　 ∀n,n'∈ N　（ n＜n'  ⇒xn＜xn' ）   [黒田『微分積分学』(p.54)]
　を満たすということ。
　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数　「《数列》が、狭義単調増加列」　は、

　　　　 ∀n,n'∈ N （ n＜n' ⇒  《数列》の第n項 ＜ 《数列》の第n'項 ）　 …（＊）

　で定義される。　

　（＊）は、

　変項《数列》,n,n'からなる三項述語・3変項命題関数「n＜n' ⇒ 《数列》の第n項 ＜ 《数列》の第n'項」の変項n,n'を∀n,n'∈Nで束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。







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定義：狭義単調減少列
【はじめに読む定義】

・「数列x1, x2, x3,…が狭義単調減少列である」とは、

　　数列x1, x2, x3,…が、「x1＞x2＞x3＞…」を満たすこと。


【論理記号を用いた定義1】

・「数列x1, x2, x3,…が狭義単調減少列」とは、
 
　　∀n∈N　（ xn＋1 ＜ xn ）
　　　　　
　　　　　　「数列x1, x2, x3,…は、
　　　　　　　　すべての自然数nにたいして、 xn＋1 ＜ xn を満たす」
　ということ。

　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数
　　「《数列》が、狭義単調減少列」
　は、
　　∀n∈N （ 「《数列》の第n＋１項」＜「《数列》の第n項」 ）　…（＊）

　　　　　《数列》は、すべての自然数nにたいして、
　　　　　　　条件「《数列》の第n＋１項＜《数列》の第n項」
　　　　　を満たす

　で定義される。　

　（＊）は、
　変項《数列》、nからなる二項述語・2変項命題関数　

　　　「《数列》の第n＋１項」＜「《数列》の第n項」　

　　　　　《数列》, nは
　　　　　　条件「《数列》の第n＋１項＜《数列》の第n項」
　　　　　を満たす　　

　の変項nを∀n∈Nで束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。　







【論理記号を用いた定義2】
　




【関連事項】

 　


　・関数に一般化した概念：狭義単調減少関数　

　・性質：有界な単調数列は収束する









[文献─数学一般]
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目166収束(pp.436).
　・『岩波入門数学辞典』「単調減少列monotone decreasing sequence」「単調増加列monotone increasing sequence」(p.392).


[文献─解析]
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69)
　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質-b)単調数列(p.37);
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義1 (p.17);
　・杉浦『解析演習』1.4(p.2):「広義単調増加列」「狭義単調増加列」「広義単調減少列」「狭義単調減少列」
　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列(p.9);
　・赤攝也『実数論講義』§５.4単調数列-定義5.4.1-5.4.2(p.１２6)　
　・笠原皓司『微分積分学』定義している箇所見当たらず。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.1(p.106)。
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(p.17３)「広義の単調増加/減少」
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義2.7(p.１9)
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』使用しているが定義が見当たらない。
　・黒田『微分積分学』2.6.1(p.54)

[文献─数理経済]
　　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.2実数列とその収束(p.71)



　

・「数列x1, x2, x3,…が狭義単調減少列」とは

　　∀n,n'∈ N （ n＜n'  ⇒ xn' ＜ xn ）   [黒田『微分積分学』(p.54)]

　ということ。

　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数「《数列》が、狭義単調増加列」 は、

　 ∀n,n'∈ N （ n＜n' ⇒ 《数列》の第n'項 ＜ 《数列》の第n項 ）　 …（＊）

　で定義される。　

　（＊）は、
　変項《数列》,n,n'からなる三項述語・3変項命題関数「n＜n' ⇒ 《数列》の第n'項 ＜ 《数列》の第n項」の変項n,n'を∀n,n'∈Nで 束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。　







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定義：広義単調増加列、単調非減少列
【はじめに読む定義】

・「数列x1, x2, x3,…が広義単調増加列である」[→和達『微分積分』]
　「数列x1, x2, x3,…が単調非減少列」[→小平『解析入門I』『岩波入門数学辞典』]

　とは、

　数列x1, x2, x3,…が、「x1≦x2≦x3≦…」を満たすこと。

・広義単調増加列x1, x2, x3,…を記号「xn↑」で表すことがある。　

【論理記号を用いた定義1】

・「数列x1, x2, x3,…が広義単調増加列」
　「数列x1, x2, x3,…が単調非減少列」
　とは

　　　∀n∈N （ xn ≦ xn＋1 ）

　ということ。

　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数
　　「《数列》が、広義単調増加列」
　は、

　　∀n∈N （ 「《数列》の第n項」≦「《数列》の第n＋１項」）　 …（＊）

　で定義される。

　（＊）は、

　変項《数列》、nからなる二項述語・2変項命題関数　
　　　「《数列》の第n項」≦「《数列》の第n＋１項」　
　の変項nを∀n∈Nで束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。







【論理記号を用いた定義２】
　




【関連事項】

 　


　・関数に一般化した概念：広義単調増加関数 　

　・性質：有界な単調数列は収束する









[文献─数学一般]
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目166収束(pp.436).
　・『岩波入門数学辞典』「単調減少列monotone decreasing sequence」「単調増加列monotone increasing sequence」(p.392).


[文献─解析]
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69)
　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質-b)単調数列(p.37);
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義1 (p.17);
　・杉浦『解析演習』1.4(p.2):「広義単調増加列」「狭義単調増加列」「広義単調減少列」「狭義単調減少列」
　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列(p.9);
　・赤攝也『実数論講義』§５.4単調数列-定義5.4.1-5.4.2(p.１２6)　
　・笠原皓司『微分積分学』定義している箇所見当たらず。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.1(p.106)。
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(p.17３)「広義の単調増加/減少」
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義2.7(p.１9)
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』使用しているが定義が見当たらない。
　・黒田『微分積分学』2.6.1(p.54)
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1(p.33)

[文献─数理経済]
　　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.2実数列とその収束(p.71)



　

・「数列x1, x2, x3,…が広義単調増加列」
　「数列x1, x2, x3,…が単調非減少列」　とは

　　 ∀n,n'∈ N　（ n＜n'  ⇒xn≦xn' ）   [黒田『微分積分学』(p.54)]

　ということ。

　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数「《数列》が、広義単調増加列」は、

　 ∀n,n'∈ N （ n＜n' ⇒ 《数列》の第n項 ≦ 《数列》の第n'項 ）　 …（＊）

　で定義される。　

　（＊）は、

　変項《数列》,n,n'からなる三項述語・3変項命題関数「n＜n' ⇒ 《数列》の第n項 ≦ 《数列》の第n'項」の変項n,n'を∀n,n'∈Nで束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。　









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定義：広義単調減少列、単調非増加列
【はじめに読む定義】

・「数列x1, x2, x3,…が広義単調減少列である」[→和達『微分積分』p.17３]とは、
　「数列x1, x2, x3,…が単調非増加列」[→小平『解析入門I』『岩波入門数学辞典』]

　とは、

　数列x1, x2, x3,…が、「x1≧x2≧x3≧…」を満たすこと。

・広義単調減少列x1, x2, x3,…を記号「xn↓」で表すことがある。　

【論理記号を用いた定義1】

・「数列x1, x2, x3,…が広義単調減少列」
　「数列x1, x2, x3,…が単調非増加列」

　とは

　　　∀n∈N （ xn＋1 ≦ xn ）

　ということ。
　
　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数
　　「《数列》が、広義単調減少列」
　は、
　　∀n∈N （ 「《数列》の第n＋１項」≦「《数列》の第n項」）　 …（＊）
　で定義される。

　（＊）は、
　変項《数列》、nからなる二項述語・2変項命題関数　
　　　「《数列》の第n＋１項」≦「《数列》の第n項」　
　の変項nを∀n∈Nで束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。　







【論理記号を用いた定義２】
　




【関連事項】

 　


　・関数に一般化した概念：広義単調減少関数　

　・性質：有界な単調数列は収束する





　


[文献─数学一般]
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目166収束(pp.436).
　・『岩波入門数学辞典』「単調減少列monotone decreasing sequence」「単調増加列monotone increasing sequence」(p.392).


[文献─解析]
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69)
　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質-b)単調数列(p.37);
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義1 (p.17);
　・杉浦『解析演習』1.4(p.2):「広義単調増加列」「狭義単調増加列」「広義単調減少列」「狭義単調減少列」
　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列(p.9);
　・赤攝也『実数論講義』§５.4単調数列-定義5.4.1-5.4.2(p.１２6)　
　・笠原皓司『微分積分学』定義している箇所見当たらず。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.1(p.106)。
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(p.17３)「広義の単調増加/減少」
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義2.7(p.１9)
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』使用しているが定義が見当たらない。
　・黒田『微分積分学』2.6.1(p.54)

[文献─数理経済]
　　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.2実数列とその収束(p.71)




・「数列x1, x2, x3,…が広義単調減少列」
　「数列x1, x2, x3,…が単調非増加列」
　とは、

　　　∀n,n'∈ N　（ n＜n'  ⇒ xn' ≦ xn ）   [黒田『微分積分学』(p.54)]

　ということ。

　





【論理にこだわってみる】


　変項《数列》を組み込んだ一項述語・１変項命題関数「《数列》が、広義単調減少列」は、

　 ∀n,n'∈ N （ n＜n' ⇒ 《数列》の第n'項 ≦  《数列》の第n項 ）　 …（＊）

　で定義される。　

　（＊）は、

　変項《数列》,n,n'からなる三項述語・3変項命題関数「n＜n' ⇒ 《数列》の第n'項 ≦  《数列》の第n項」の変項n,n'を∀n,n'∈Nで束縛し、
　変項は《数列》のみとなった一項述語・１変項命題関数。　









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「単調増加列」は両義的

・「単調増加列」とは、

　　狭義単調増加列

　　ないし、

　　広義単調増加列(単調非減少列)

　のこと。


・「単調増加列」という用語は両義的。

　　狭義単調増加列を指す場合もあれば、

　　広義単調増加列(単調非減少列)を指す場合もある

　ので注意。



・書き手が「単調増加列」という用語を

　　　狭義単調増加列の意味で使っているのか、
　
　　　広義単調増加列(単調非減少列)の意味で使っているのか、
　
　そこだけでは判断できない。

　前後の文脈、そのテキストの初出箇所での定義等、
　
　要確認。
　




・「単調増加列」という用語が狭義単調増加列を指すテキスト： 　


　　　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質-b)単調数列(p.37)
　　　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(p.17３)「広義の単調増加/減少」


・「単調増加列」という用語が広義単調増加列(単調非減少列)を指すテキスト：
　　　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列(p.9);
　　　・赤攝也『実数論講義』§５.4単調数列-定義5.4.1-5.4.2(p.１２6)　
　　　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.2実数列とその収束(p.71)
　　　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.1.1(p.90)
　　　・加藤十吉『微分積分学原論』
　　　・松坂『解析入門1』
　　　・黒田『微分積分学』2.6.1(p.54)
　　　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義1(p.17):『解析演習』では「広義単調増加列」
　　　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1(p.33)
　　　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.3Sequences in R and Rm(p.49)

・「単調増加列」という用語の両義性を指摘しているテキスト：
　　　・『岩波入門数学辞典』「単調増加列monotone increasing sequence」(p.392).





　

「単調減少列」は両義的
・「単調減少列」とは、

　　狭義単調減少列　
　
　　ないし、

　　広義単調減少列(単調非増加列)

　のこと。


・「単調減少列」という用語は両義的。
 
　狭義単調減少列を指す場合もあれば、
　
　広義単調減少列(単調非増加列)を指す場合もあるので注意。
　

・書き手が「単調減少列」という用語を

　　　狭義単調減少列の意味で使っているのか、
　
　　　広義単調減少列(単調非増加列)の意味で使っているのか、
　
　そこだけでは判断できない。

　前後の文脈、そのテキストの初出箇所での定義等、
　
　要確認。
　




・「単調減少列」という用語が狭義単調減少列を指すテキスト：
 　


　　　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質-b)単調数列(p.37)

・「単調減少列」という用語が広義単調減少列(単調非増加列)を指すテキスト：
　　　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列(p.9);
　　　・赤攝也『実数論講義』§５.4単調数列-定義5.4.1-5.4.2(p.１２6)　
　　　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.2実数列とその収束(p.71)
　　　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.1.1(p.90)
　　　・松坂『解析入門1』
　　　・黒田『微分積分学』2.6.1(p.54)
　　　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義1(p.17):『解析演習』では「広義単調減少列」
　　　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter2§1(p.34)
　　　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.3Sequences in R and Rm(p.49)

・「単調減少列」という用語の両義性を指摘しているテキスト：
　　　・『岩波入門数学辞典』「単調減少列monotone decreasing sequence」(p.392).







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s

定義　：　広義単調列
・広義単調列とは、広義単調増加列と広義単調減少列の総称。




[文献─数学一般]
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目166収束(pp.436).
　・『岩波入門数学辞典』「単調減少列monotone decreasing sequence」「単調増加列monotone increasing sequence」(p.392).


[文献─解析]
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69)
　・小平『解析入門I』§1.5実数の性質-b)単調数列(p.37);
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義1 (p.17);
　・杉浦『解析演習』1.4(p.2):「広義単調増加列」「狭義単調増加列」「広義単調減少列」「狭義単調減少列」
　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2数列(p.9);
　・赤攝也『実数論講義』§５.4単調数列-定義5.4.1-5.4.2(p.１２6)　
　・笠原皓司『微分積分学』定義している箇所見当たらず。
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.1(p.106)。
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(p.17３)「広義の単調増加/減少」
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義2.7(p.１9)
　・小林昭七『微分積分読本:1変数』使用しているが定義が見当たらない。
　・黒田『微分積分学』2.6.1(p.54)

[文献─数理経済]
　　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』2.2実数列とその収束(p.71)




　

定義：狭義単調列 strictly monotone sequence


・狭義単調列とは、狭義単調増加列と狭義単調減少列の総称。

【関連】
　・性質：有界な単調数列は収束する
　・関数に一般化：狭義単調関数  　

定義：単調数列 monotone sequence、monotonic sequence

　・単調数列とは、単調増加列と単調減少列の総称。

　※注意：「単調増加列」「単調減少列」が両義的であることから、「単調数列」という用語も両義的。

　【関連】
　・性質：有界な単調数列は収束する
　・関数に一般化：単調関数  　

　【文献】
　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.3Sequences in R and Rm(p.49):"monotonic"

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