厳密な「an→α(n→∞)」定義の考え方・アイデアのみを、ざっくり述べると、 「 数列 { an } は実数αに収束する」 "{ an } converges to α" 「『数列 { an } の極限値』は実数αである」 " { an } has limit α"
とは、 εに設定した距離を変更して、 《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅を変えるたびに、 その時εに設定した距離に応じて、 |
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《しきい値》Nに代入すると「項番号nが《しきい値》Nを突破すると、anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」を実現する項番号 が、実在すると確認できるので、 εに設定した距離を変更して、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時εに設定した距離に応じた項番号を《しきい値》Nにセットし直していくことで 「nが《しきい値》Nを突破すると、anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」を実現し続けることを保証できる ということ。 [ → イメージトレーニング : ε-N 論法による「数列の極限値」定義 ] ・論理記号を用いて、全体を表すと、「 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒ α−ε< an<α+ε ) 」となる。 [→厳密な極限定義] |
どこをどのように明確化して、このような定義が出てきたのか? 以下は、そのプロセスの再構築の試み。(もちろん史的経緯を追ったのではない。ビギナー向け定義のどこをどう明確化すると、厳密な定義になるのかを指摘したいだけ) |
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→厳密な「数列の極限値」定義の考え方 →数列の収束・極限値の定義 【見取り図】 |
ビギナー向け「 an→α(n→∞) 」定義: 「項番号nが限りなく大きくなると、anが実数αに限りなく近づく ということ」 【改良1】→↓ 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《距離ε》まで近づく」(*) ──《距離ε》の限りないバリエーションの一つ一つに応じて、好都合な《項番号N》がそれぞれ実在して、(*)を実現するということ。 【改良2】→↓ 厳密な「 an→α(n→∞) 」定義: 「nが大きくなって《しきい値N》を突破すると、anが《αからの距離ε以内のゾーン》へ突入」(**) ──《距離ε》の限りないバリエーションの一つ一つに応じて、《閾値N》がそれぞれ実在して、(**)を実現するということ。 |
→厳密な「数列の極限値」定義:ビギナー向けのどこを明確化? →厳密な「数列の極限値」定義の考え方 →数列の収束・極限値の定義 【ビギナー向け定義の限界】 |
→厳密な「数列の極限値」定義:ビギナー向けのどこを明確化? →厳密な「数列の極限値」定義の考え方 →数列の収束・極限値の定義 【定義の明確化ーステップ1−失敗】 |
・ビギナー向け定義では、 「 an→α (n→∞) 」とは 「項番号nが限りなく大きくなると、anが実数αに限りなく近づく 」ということ だと言うが、 そもそも、はっきりしないのは、 1. 項番号nが限りなく大きくなるとは、項番号nがどの項番号まで大きくなることなのか? 2. anが実数αに限りなく近づくとは、anが実数αにどれだけの距離まで近づくということなのか? の二点。 この二点を確定できれば、 3. 「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととが、いかなる関係にあるのか? も、自動的に確定しそうだ。 この線で、「 an→α (n→∞) 」を明確化できそうではないか! ・ところが、 1. 項番号nが限りなく大きくなるとは、項番号nがどの項番号まで大きくなることなのか? 2. anが実数αに限りなく近づくとは、anが実数αにどれだけの距離まで近づくということなのか? に直接正面から答えるのは、困難。 「 項番号nが限りなく大きくなった」と言える項番号を具体的に明示した途端、 それは、限りある大きさになってしまうのではないか? 「anが実数αに限りなく近づいた」と言える距離を具体的に明示した途端、 それは、限りある近さになってしまうのではないか? 等々、難問頻出となる。 というわけで、 1. 項番号nが限りなく大きくなるとは、項番号nがどの項番号まで大きくなることなのか? 2. anが実数αに限りなく近づくとは、anが実数αにどれだけの距離まで近づくということなのか? を確定した上で、 3. 「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととが、いかなる関係にあるのか? を確定するという「 an→α (n→∞) 」明確化戦略は、失敗。 |
→厳密な「数列の極限値」定義:ビギナー向けのどこを明確化? →厳密な「数列の極限値」定義の考え方 →数列の収束・極限値の定義 【定義の明確化ーステップ1−成功】 |
・そこで、逆に、 「nが限りなく大きくなると、anがαに限りなく近づく」という表現に込められた 3. 「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととの関係性 を明示的な関係に再定式化することから着手し、 そのなかで、 1. 項番号nが限りなく大きくなるとは、項番号nがどの項番号まで大きくなることなのか? 2. anが実数αに限りなく近づくとは、anが実数αにどれだけの距離まで近づくということなのか? を明確化する という戦略がとられることになる。 ・では、 「nが限りなく大きくなると、anが実数αに限りなく近づく」 という表現に込められた 「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととの関係性は、 いかなる明示的な関係に再定式化されるのだろうか。 数学者は、これを下記のいささか奇妙な関係に再定式化した。 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《距離ε》まで近づく」(*) ──《距離ε》に設定した距離を変えるたびに、 その時《距離ε》に設定した距離に応じて、「《項番号N》に代入すると(*)を実現する項番号」が実在する と確認できるので、 《距離ε》に設定した距離をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時《距離ε》に設定した距離に応じた項番号を《項番号N》にセットし直していくことで (*)を実現し続けることを保証できる …そんな「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととの関係 ・この関係性のなかで、 「数列 { an } において項番号nが限りなく大きくなると、anが実数αに限りなく近づく」と言ったとき、 1. 項番号nが限りなく大きくなるとは、項番号nがどの項番号まで大きくなることなのか? 2. anが実数αに限りなく近づくとは、anが実数αにどれだけの距離まで近づくということなのか? という点も明確化されている。 2. 曖昧だった「anが実数αに限りなく近づく」は、 「anが実数αに《距離ε》まで近づく」 ただし、《距離ε》はあらかじめ確定した一つの距離を表すのではなく、 任意の距離、距離の無限のバリエーションを表す という形で明確化、 1.曖昧だった「項番号nが限りなく大きくなる」は 「項番号nが《項番号N》まで大きくなる」 ただし、 《項番号N》はあらかじめ確定した一つの項番号を表すのではなく、 距離の無限のバリエーションから一つの距離を選択して《距離ε》にセットし直すたびに、 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《距離ε》まで近づく」の実現という基準で 《距離ε》にセットされた距離に応じて決定し直される各々の《項番号N》を表す という形で明確化されている。 ・ビギナー向け「 an→α(n→∞) 」定義 「項番号nが限りなく大きくなると、anが実数αに限りなく近づく 」 の「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととの関係を、 上記で再定式化した関係に更新すると、 「 an→α (n→∞) 」の定義は、以下のようになる。 「 an→α (n→∞) 」とは、 《αからの距離ε》に設定した距離を変えるたびに、 その時《αからの距離ε》に設定した距離に応じて、 《項番号N》に代入すると「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《αからの距離ε》まで近づく」を実現する項番号 が、実在すると確認できるので、 《αからの距離ε》に設定した距離をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時《αからの距離ε》に設定した距離に応じた項番号を《項番号N》にセットし直していくことで 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《αからの距離ε》まで近づく」を実現し続けることを保証できる ということ。 |
→厳密な「数列の極限値」定義:ビギナー向けのどこを明確化? →厳密な「数列の極限値」定義の考え方 →数列の収束・極限値の定義 【定義の明確化ーステップ2 量的操作化】 |
・しかし、上記で示された「 an→α (n→∞) 」定義には、まだ不明確な点が残されている。 《αからの距離ε》に設定した距離をどのように変えていっても、 《αからの距離ε》に設定した距離各々に応じて都合のよい《項番号》がその時その時実在するので、 《αからの距離ε》に設定した距離をどのように変えていっても、 《αからの距離ε》の設定ごとに都合のよい《項番号》を《項番号N》にセットすることで 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《αからの距離ε》まで近づく」を実現できるのだが、 nが《項番号N》を通過して、きわめて大きくなったときに、 anが実数αから《αからの距離ε》よりも遠方へ離れていくこともある という数列は、 「 an→α (n→∞) 」と呼ぶべきではないが、 上記の定義に従うと、これも「 an→α (n→∞) 」してると解釈できなくもない。 ・たとえば、数列 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,… は、9に収束するか? を検討してみよう。 (もちろん、収束しないのだが、上記の定義の不備をチェックするために検討する) 《αからの距離ε》に5を設定する。 このとき、 第五項までいくと、数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…はα=9に《αからの距離ε》=5まで近づいたと言えるので、 《項番号N》に代入すると「nが《項番号N》まで大きくなると、anがα=9に《αからの距離ε》=5まで近づく」を実現する項番号 として、項番号5が、実在すると確認できる。 《αからの距離ε》に3を設定する。 このとき、 第7項までいくと、数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…はα=9に《αからの距離ε》=3まで近づいたと言えるので、 《項番号N》に代入すると「nが《項番号N》まで大きくなると、anがα=9に《αからの距離ε》=3まで近づく」を実現する項番号 として、項番号7が、実在すると確認できる。 《αからの距離ε》に1を設定する。 このとき、 第9項までいくと、数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…はα=9に《αからの距離ε》=1まで近づいたと言えるので、 《項番号N》に代入すると「nが《項番号N》まで大きくなると、anがα=9に《αからの距離ε》=1まで近づく」を実現する項番号 として、項番号9が、実在すると確認できる。 《αからの距離ε》に0.1を設定する。 このとき、 第9項までいくと、数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…はα=9に《αからの距離ε》=0.1まで近づいたと言えるので、 《項番号N》に代入すると「nが《項番号N》まで大きくなると、anがα=9に《αからの距離ε》=0.1まで近づく」を実現する項番号 として、項番号9が、実在すると確認できる。 《αからの距離ε》に0.01を設定する。 このとき、 第9項までいくと、数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…はα=9に《αからの距離ε》=0.01まで近づいたと言えるので、 《項番号N》に代入すると「nが《項番号N》まで大きくなると、anがα=9に《αからの距離ε》=0.01まで近づく」を実現する項番号 として、項番号9が、実在すると確認できる。 : : このように、 《αからの距離ε》に設定した距離をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時《距離ε》に設定した距離に応じた項番号を《項番号N》にセットし直していくことで 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《αからの距離ε》まで近づく」を実現し続けることを保証できるので、 数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…は、9に収束する?! ・どうして、このようなトラブルが生じるのかといえば、 上記の「 an→α (n→∞) 」定義では、 1. 「nが《項番号N》まで大きくなる」が指す《nの挙動》 2. 「anが実数αに《αからの距離ε》まで近づく」が指す《anの挙動》 が不明確だからだ。 ・そこで数学者は、 1. 《項番号N》を《しきい値》Nに明確化したうえで、 「nが《項番号N》まで大きくなる」を 「nが《しきい値》Nを突破する」という《nの挙動》として明確化 2.「anが実数αに《αからの距離ε》まで近づく」が指す挙動・操作を 「anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」という《anの挙動》として明確化 した。 ・この適用によって、 「 an→α (n→∞) 」に込められた「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととの関係性は、 「nが《項番号N》まで大きくなると、anが実数αに《距離ε》まで近づく」(*) ──《距離ε》に設定した距離を変えるたびに、 その時《距離ε》に設定した距離に応じて、 「《項番号N》に代入すると(*)を実現する項番号」が実在する と確認できるので、 《距離ε》に設定した距離をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時《距離ε》に設定した距離に応じた項番号を《項番号N》にセットし直していくことで (*)を実現し続けることを保証できる …そんな「nが大きくなる」ことと「anが実数αに近づく」こととの関係 から、 「nが《しきい値》Nを突破すると、anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」(**) ──εに設定した距離を変更して、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅を変えるたびに、 その時εに設定した距離に応じて、「《しきい値》Nに代入すると(**)を実現する項番号」が実在する と確認できるので、 εに設定した距離を変更して、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時εに設定した距離に応じた項番号を《しきい値》Nにセットし直していくことで (**)を実現し続けることを保証できる …そんな《nの挙動》と《anの挙動》の関係 へ明確化される。 ・これらの明確化の結果、 下記の厳密な「 an→α (n→∞) 」定義が得られる。 「 an→α (n→∞) 」とは、 εに設定した距離を変更して、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅を変えるたびに、 その時εに設定した距離に応じて、 《しきい値》Nに代入すると「項番号nが《しきい値》Nを突破すると、anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」を実現する項番号 が、実在すると確認できるので、 εに設定した距離を変更して、《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》の幅をどのように変えていっても、 その設定変更のたびに、その時εに設定した距離に応じた項番号を《しきい値》Nにセットし直していくことで 「nが《しきい値》Nを突破すると、anが《αからの距離ε以内の目標接近ゾーン》へ 突入する」を実現し続けることを保証できる ということ。 |
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