| ・「数列c,c,c,c,…」「数列an=c」について, ・数列の項のつくる集合 ・単調性/有界性/上限sup下限inf/最大値max最小値min ・極限値/上極限・下極限 →関連ページ： ・数列：数列の定義/数列の極限の定義 数列の上限sup下限infの性質/数列の極限の性質 ・類似：定数値関数 →総目次 |
説明・cを実数とする設定のもと、「数列 c,c,c,c,c,c,…」 「an=c としたときの数列 {an} 」 「数列 {an=c} 」 「数列{c} 」 「数列 an=c 」 とは、 項の番号に関係なく、どの項も実数cに定まっている数列 つまり、(∀n∈N)( an=c )を満たす数列 のこと、 すなわち、 自然数1に対して実数 a1＝c 自然数2に対して実数 a2＝c 自然数3に対して実数 a3＝c ： ： 自然数nに対して実数 an＝c ： ： と定めた数列のこと。 |
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数列 an=c のビジュアル化
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・実数cに対して、 「数列 c,c,c,c,c,c,… の項のつくる集合」 「数列an=cの項のつくる集合」 は、 1元集合 { c } となる。 |
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・cを実数とする設定のもと、 「数列 c,c,c,c,c,c,…」 「数列an=c」 は、 狭義単調増加列でも狭義単調減少列でもないが、 広義単調増加列（単調非減少列）の定義を満たし、 広義単調減少列（単調非増加列）の定義も満たす。 |
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cを実数とする設定のもと、 ・「数列 c,c,c,c,c,c,…」「数列an=c」 は、有界数列。 ・「数列 c,c,c,c,c,c,…」「数列an=c」の上限は、c。 つまり、 an=cにたいして、sup an = c . ・「数列 c,c,c,c,c,c,…」「数列an=c」の下限は、c。 つまり、 an=cにたいして、inf an =c . ・「数列 c,c,c,c,c,c,…」「数列an=c」の最大値は、c。 つまり、 an=cにたいして、max an = c . ・「数列 c,c,c,c,c,c,…」「数列an=c」の最小値は、c。 つまり、 an=cにたいして、min an = c . |
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・cを実数とする設定のもと、 「数列 c,c,c,c,c,c,…」は、実数cに収束する。 つまり、 数列an=cについて、 an→c (n→∞)
なぜ？ 〜はじめに読むべき理由「数列 c,c,c,c,c,c,…」では、すべての項が実数cだから、 「数列 c,c,c,c,c,c,…」において「項の番号」nを限りなく大きくしても、 anの値は、実数cのまま変わらない。 だから、 「数列 c,c,c,c,c,c,…」において「項の番号」nを限りなく大きくするとき、 anの値が実数αに限りなく近づく と言ってよいので、 「an→c (n→∞) 」の定義を満たす。 ※しかし、「変わらない」のを、「限りなく近づく」などと言ってよいのだろうか。 このあたり、もやもやする。 もやもやした感じが残るのは、 この「an→c (n→∞) 」の定義が曖昧だから。 そこで、 「an→c (n→∞) 」の厳密な定義に照らし合わせてみることにしよう。 |
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なぜ？ 〜厳密な定義との照合・「an→c (n→∞) 」 とは、 任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、 「 n≧Nならば、 |an−c|＜ε 」 が成り立つということ。 論理記号で表すと、 (∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒|an−c|＜ε) ・数列an=cは、(∀n∈N)( an=c )を満たすので、 (∀n∈N)(|an−c|＝０＜ε ) も満たす。 ・だから、 任意の正の実数εに対して、どの自然数Nをとっても、 「 n≧Nならば、 |an−c|＜ε 」 が成り立つ (∀ε>0) (∀N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒|an−c|＜ε) ・したがって、 任意の正の実数εに対して、ある自然数Nが存在して、 「 n≧Nならば、 |an−c|＜ε 」 が成り立つ (∀ε>0) (∃N∈N) (∀n∈N) ( n≧N⇒|an−c|＜ε) は満たされており、 「an→c (n→∞) 」である。 |
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数列の収束・極限値のビジュアル化
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