多重量化  : トピック一覧

 ・二項述語の二重量化
  ・限定なしの二項述語の二重量化
  ・限定つきの二項 述語の二重量化
 ・三項述語の二重量化
  ・限定なしの三項述語の二重量化
  ・限定つきの三項 述語の二重量化
 ・三項述語の三重量化
  ・限定なしの三項述語の三重量化
  ・限定つきの三項述語の三重量化
 ・四項述語の多重量化 
 ・五項述語の多重量化
 
 ・六項述語の多重量化
 :
 :
 ・n項述語のk重量化(k<nのとき)
  ・限定なし
n項述語のk重量化(k<nのとき)
  ・限定つきn項述語のk重量化(k<nのとき)
 ・n項述語のk重量化(k=nのとき)
  ・限定なし
n項述語のk重量化(k=nのとき)
  ・限定つきn項述語のk重量化(k=nのとき)

量化関連ページ:述語・命題関数//  
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二項述語の二重量化 : 限定なし

(1)「xy  P(x,y)」 「x,y P(x,y)」というかたち

 →全称量化を2回繰り替えした
   「x (y  P(x,y) )
  の略記表現。
 →読み
 →詳細解説  

(2)「xy P(x,y)」「x,y P(x,y)」というかたち

 →存在量化を2回繰り替えした
   「x (y  P(x,y) )
  の略記表現。
 →読み
 →詳細解説    

(3-1)「xy P(x,y)」というかたち
  
 →存在量化に全称量化をネスティングした
   「x (y  P(x,y) )
  の略記表現。

 →読み 
 →詳細解説 

(3-2)「yx P(x,y)」というかたち
  
 →存在量化に全称量化をネスティングした
   「y (x  P(x,y) )
  の略記表現。

 →読み 
 →詳細解説  

(4-1)「xy P(x,y)」というかたち
  
 →全称量化に存在量化をネスティングした
   「x (y P(x,y) )
  の略記表現。

 →読み 
 →詳細解説  

 
(4-2)「yx P(x,y)」というかたち

 →全称量化に存在量化をネスティングした
   「y (x P(x,y) )
  の略記表現。

 →読み 
 →詳細解説
  





【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
             全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
             特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
 ●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀xy",";2.5(pp.100-2):"∃xy";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
 ・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
 ・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-23);§8自由変数束縛変数(pp.23-25)。
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-90);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.90):変則的;∃∈∀∈(p.92);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

 
【文献−分析哲学・論理学】
 ・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-99)
 ・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.168);7.1.5愛の論理学(pp.169-172)「応じて存在」「端的な存在」(p.171)


 


※具体例:n>xの二重量化 /"x loves y"の二重量化 / "yxの師匠"の二重量化 /     





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二項述語の二重量化 : 限定つき



(1)「xSyT  P(x,y) 」というかたち

 →全称量化を2回繰り替えした
   「xS (yT  P(x,y) )
  の略記表現。
 →読み 
 →詳細解説  

(2)「xSyT P(x,y)  」というかたち

 →存在量化を2回繰り替えした
   「xS (yT P(x,y) )
  の略記表現。
 →読み  
 →詳細解説  

(3)「xSyT P(x,y)」というかたち 

 →存在量化に全称量化をネスティングした
   「xS (yT P(x,y) )
  の略記表現。

 →読み  
 →詳細解説 





【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』4.4∀∃文と∃∀文の論理記号による書き方(pp.72-73);
            4.5一般の∀∃文と∃∀文の論理記号の読み方(pp.72-74)

 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38)
 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀xX,∀yY";2.5(pp.100-2):"∃xX,∃yY";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-90);例題3.2.10∀∀∃(p.90):変則的;∃∈∀∈(p.92);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);



 



 →具体例:cRnN  ( c<n ) / MRx ( Mx ) / mRx ( xm ) / nN ∃mN  (mn かつ ω∈Am)   

(4)「xXyY  P(x,y)」というかたち
  
 →全称量化に存在量化をネスティングした
   「xS (yT  P(x,y) )
  の略記表現。

 →読み 
 →詳細解説  
 →具体例:MR ∀xA ( xM ) / mR ∀xAmx ) / M>0 ∀xA ( |x|≦M   




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三項述語の二重量化 : 限定なし


 ・∀x ( ∀y (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) 

 ・∃x ( ∃y (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) 

 ・∀x ( ∃y (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) 

 ・∃x ( ∀y (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) 








【文献−数学一般】
 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)

【文献−数学基礎論】
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-90);例題3.2.10∀∀∃(p.90):変則的;∃∈∀∈(p.92);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);





 






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三項述語の二重量化 : 限定つき

 ・「xSyT x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち

 →詳細解説  
 
  ・「x,yS x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち

 →詳細解説  

 →具体例:
   ・単調数列の定義 
   ・狭義単調増加関数の定義  
   ・狭義単調減少関数の定義
   ・広義単調増加関数の定義
   ・広義単調減少関数の定義 

 ・「xSyT x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち

 →詳細解説  





【文献−数学一般】

 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-90);例題3.2.10∀∀∃(p.90):変則的;∃∈∀∈(p.92);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;


 




 →具体例:
   ・ MR  ∀nN  (《数列》の第n M )  / MR  ∀nNm≦ 《数列》の第n項 ) 
   ・ MRxTf(x)≦MmRxTmf (x) ) / M∈(0,∞) ∀xT ( | f (x) | ≦ MM∈ { 'xRx'>0  } ∀xT ( | f (x) | ≦ M

 ・「xSyT x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち
  →詳細解説
  →具体例:Rの部分集合の集積点の定義 /




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三項述語の三重量化 : 限定なし

・∀x ( ∀y ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∀x ( ∀y ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∀x ( ∃y ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃x ( ∀ y ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∀x ( ∃y ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃x ( ∃y ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃x ( ∀ y ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃x ( ∃y  ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 







【文献−数学一般】

 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)
 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀∀∀";2.5(pp.100-2):"∃∃∃";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
 ・前原昭二『記号論理入門』第1章§8自由変数束縛変数(pp.24-25)。
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-90);例題3.2.10∀∀∃(p.90):変則的;∃∈∀∈(p.92);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);


【文献−分析哲学・論理学】
 ・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.168)


 









三項述語の三重量化 : 限定つき


・∀xX ( ∀yY ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∀xX ( ∀yY ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∀xX ( ∃yY ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃xX ( ∀yY ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∀xX ( ∃yY ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃xX ( ∃yY ( ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃xX ( ∀yY ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 

・∃xX ( ∃yY  ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす ) ) ) 








【文献】
 ・井関『集合と論理』1.2 例1(1) (p.10): 「∀x,y,zZ  (x+y=z⇒ y+x=z) 」
          1.2 例1(4) (p.10) 「∀x,yZzZ (xz=y) 」    
          例2(2)(p.11)「∀x∈R ∃y,z∈R (y<x<z )」
          1.3群Gの定義:「∀x,y,z∈G ( x(yz)=(xy)z ) 」

下記未確認

【文献−数学一般】

 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)
 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀∀∀";2.5(pp.100-2):"∃∃∃";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-90);例題3.2.10∀∀∃(p.90):変則的;∃∈∀∈(p.92);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);





 








多重量化トピック一覧 
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4項述語の三重量化 : 限定つき

・「 x1S1x2S2x3S3 x1, x2, x3, x4は関係・条件Pを満たす 」 というかたち

 →詳細解説  

 →具体例:
   ・an→∞ (n→∞) 」の定義






【文献−数学一般】

 ・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.2(pp.138-9)



 








多重量化トピック一覧 
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5項述語の三重量化 : 限定つき

・「 x1S1x2S2x3S3 x1, x2, x3, x4, x5は関係・条件Pを満たす 」 というかたち

 →詳細解説  

 →具体例:
   ・an→α (n→∞) 」の定義  








【文献−数学一般】

 ・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);



 






5項述語の4重量化 : 限定つき

・「 x1S1x2S2x3S3x4S4 x1, x2, x3, x4, x5は関係・条件Pを満たす 」 というかたち

 →詳細解説  

 →具体例:
   ・anは収束列 」の定義  








【文献−数学一般】

 ・新井紀子『数学は言葉』例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);



 








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6項述語の三重量化 : 限定つき

・「 x1S1x2S2x3S3 x1, x2, x3, x4, x5,x6は関係・条件Pを満たす 」 というかたち

 →詳細解説  

 →具体例:
   ・f(x)A (xx0) 」の定義  








【文献−数学一般】

 ・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.2関数の極限の定義:6項述語の三重量化(pp.136-137)
 ・中谷『論理』6.4C極限(p.157-8)
 ・中内『ろんりの練習帳』2.8(2)(pp.118-122)


 








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N項述語のk重量化 










【文献−数学一般】
 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(p.89);2.5(pp.99-100):n変数命題関数の二重量化;
 ●本橋『新しい論理序説』5.3(pp.96-7)5項述語を三重量化した2変数命題関数の具体例としての、一点における関数の連続性の定義。

以下、未確認。

 ●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(pp.73-74):3章§5(pp.141-56)5項述語を三重量化した2変数命題関数の具体例としての、連続と一様連続

【文献−数学基礎論】
 ・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.21-23);§8自由変数束縛変数(pp.23-25)。
 ・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-90);例題3.2.10∀∀∃(p.90):変則的;∃∈∀∈(p.92);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀xy f(x)=y・全射∀yx f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界M ,∀a f(a)M)(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);