多重量化　　：　トピック一覧

　・二項述語の二重量化
　　・限定なしの二項述語の二重量化
　　・限定つきの二項 述語の二重量化
　・三項述語の二重量化
　　・限定なしの三項述語の二重量化
　　・限定つきの三項 述語の二重量化
　・三項述語の三重量化
　　・限定なしの三項述語の三重量化
　　・限定つきの三項述語の三重量化
　・四項述語の多重量化　
　・五項述語の多重量化　
　・六項述語の多重量化
　：
　：
 　・n項述語のk重量化(k<nのとき)
　　・限定なしのn項述語のk重量化(k<nのとき)
　　・限定つきのn項述語のk重量化(k<nのとき)
　・n項述語のk重量化(k=nのとき)
　　・限定なしのn項述語のk重量化(k=nのとき)
　　・限定つきのn項述語のk重量化(k=nのとき)
※量化関連ページ：述語・命題関数/∀/∃　　
※総目次 


二項述語の二重量化　：　限定なし

(1)「∀x∀y  P(x,y)」 「∀x,y P(x,y)」というかたち

　→全称量化を2回繰り替えした
　　　「∀x (∀y  P(x,y) )」
　　の略記表現。
　→読み
　→詳細解説　　

(2)「∃x∃y P(x,y)」「∃x,y P(x,y)」というかたち

　→存在量化を2回繰り替えした
　　　「∃x (∃y  P(x,y) )」
　　の略記表現。
　→読み
　→詳細解説　　　　

(3-1)「∀x∃y P(x,y)」というかたち
　　
　→存在量化に全称量化をネスティングした
　　　「∀x (∃y  P(x,y) )」
　　の略記表現。

　→読み 
　→詳細解説　

(3-2)「∀y∃x P(x,y)」というかたち
　　
　→存在量化に全称量化をネスティングした
　　　「∀y (∃x  P(x,y) )」
　　の略記表現。

　→読み 
　→詳細解説　　

(4-1)「∃x∀y P(x,y)」というかたち
　　
　→全称量化に存在量化をネスティングした
　　　「∃x (∀y P(x,y) )」
　　の略記表現。

　→読み 
　→詳細解説　　

 
(4-2)「∃y∀x P(x,y)」というかたち

　→全称量化に存在量化をネスティングした
　　　「∃y (∀x P(x,y) )」
　　の略記表現。

　→読み 
　→詳細解説
　　




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　
【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.168);7.1.5愛の論理学(pp.169-172)「応じて存在」「端的な存在」(p.171)

　


※具体例：n>xの二重量化 /"x loves y"の二重量化 / "yはxの師匠"の二重量化 /  　　　



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→総目次  　


二項述語の二重量化　：　限定つき



(1)「∀x∈S ∀y∈T　 P(x,y) 」というかたち

　→全称量化を2回繰り替えした
　　　「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」
　　の略記表現。
　→読み　
　→詳細解説　　

(2)「∃x∈S ∃y∈T　P(x,y)  」というかたち

　→存在量化を2回繰り替えした
　　　「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」
　　の略記表現。
　→読み　　
　→詳細解説　　

(3)「∀x∈S ∃y∈T　P(x,y)」というかたち　

　→存在量化に全称量化をネスティングした
　　　「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」
　　の略記表現。

　→読み　　
　→詳細解説　




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.4∀∃文と∃∀文の論理記号による書き方(pp.72-73);
　　　　　　　　　　　　4.5一般の∀∃文と∃∀文の論理記号の読み方(pp.72-74)

　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38)
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∈X,∀y∈Y";2.5(pp.100-2):"∃x∈X,∃y∈Y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀∃(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　



　→具体例：∀c∈R ∃n∈N  ( c<n ) / ∀M∈R ∃x∈A  ( M＜x ) / ∀m∈R ∃x∈A  ( x＜m ) / ∀n∈N　∃m∈N　 (m≧n　かつ ω∈Am)　　　

(4)「∃x∈X ∀y∈Y　 P(x,y)」というかたち
　　
　→全称量化に存在量化をネスティングした
　　　「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」
　　の略記表現。

　→読み　
　→詳細解説　　
　→具体例：∃M∈R　∀x∈A ( x≦M ) / ∃m∈R　∀x∈A ( m≦x ) / ∃M＞０　∀x∈A　（ ｜x｜≦M ）  　


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→総目次  　



三項述語の二重量化　：　限定なし


 ・∀x （ ∀y (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　）　

 ・∃x （ ∃y (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　）　

 ・∀x （ ∃y (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　）　

 ・∃x （ ∀y (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　）　




【文献−数学一般】
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)

【文献−数学基礎論】
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀∃(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　





→多重量化トピック一覧　
→総目次  　



三項述語の二重量化　：　限定つき

 ・「∀x∈S ∀y∈T x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち

　→詳細解説　　
　
  ・「∀x,y∈S x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち

　→詳細解説　　

　→具体例：
　　　・単調数列の定義　
　　　・狭義単調増加関数の定義 　
　　　・狭義単調減少関数の定義
　　　・広義単調増加関数の定義
　　　・広義単調減少関数の定義　

 ・「∃x∈S ∀y∈T x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち

　→詳細解説　　




【文献−数学一般】

　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀∃(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;

　




　→具体例：
　　　・ ∃M∈R  ∀n∈N  (《数列》の第n項  ≦ M ) 　/ ∃M∈R 　∀n∈N （ m≦ 《数列》の第n項 ）　
　　　・ ∃M∈R ∀x∈T （ f(x)≦M ） /  ∃m∈R ∀x∈T （m≦ f (x) ） / ∃M∈(0,∞) ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） /  ∃M∈ { 'x∈R |  x'>0  }　∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ）

 ・「∀x∈S ∃y∈T x,y,zは関係・条件Pを満たす 」というかたち
　　→詳細解説
　　→具体例：Rの部分集合の集積点の定義 /



→多重量化トピック一覧　
→総目次  　



三項述語の三重量化　：　限定なし

・∀x （ ∀y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∀x （ ∀y （ ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∀x （ ∃y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x （ ∀ y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∀x （ ∃y （ ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x （ ∃y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x （ ∀ y （ ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x （ ∃y  ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) ）　




【文献−数学一般】

　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀∀∀";2.5(pp.100-2):"∃∃∃";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§8自由変数束縛変数(pp.24-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀∃(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);


【文献−分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.168)

　









三項述語の三重量化　：　限定つき


・∀x∈X （ ∀y∈Y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∀x∈X （ ∀y∈Y （ ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∀x∈X （ ∃y∈Y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x∈X （ ∀y∈Y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∀x∈X （ ∃y∈Y （ ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x∈X （ ∃y∈Y （ ∀z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x∈X （ ∀y∈Y （ ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) )　

・∃x∈X （ ∃y∈Y  ( ∃z (x,y,zは関係・条件Pを満たす )　) ）　




【文献】
　・井関『集合と論理』1.2 例1(1) (p.10): 「∀x,y,z∈Z  (x+y=z⇒ y+x=z) 」
　　　　　　　　　　1.2 例1(4) (p.10) 「∀x,y∈Z ∃z∈Z (xz=y) 」　　　　
　　　　　　　　　　例2(２)(p.11)「∀x∈R ∃y,z∈R (y<x<z )」
　　　　　　　　　　1.3群Gの定義：「∀x,y,z∈G ( x(yz)=(xy)z ) 」

下記未確認

【文献−数学一般】

　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41)
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀∀∀";2.5(pp.100-2):"∃∃∃";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀∃(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　







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→総目次  　



4項述語の三重量化　：　限定つき

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 x1, x2, x3, x4は関係・条件Pを満たす　」 というかたち

　→詳細解説　　

　→具体例：
　　　・「 an→∞ (n→∞) 」の定義




【文献−数学一般】

　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.2(pp.138-9)

　







→多重量化トピック一覧　
→総目次  　



5項述語の三重量化　：　限定つき

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 x1, x2, x3, x4, x5は関係・条件Pを満たす　」 というかたち

　→詳細解説　　

　→具体例：
　　　・「 an→α (n→∞) 」の定義　　




【文献−数学一般】

　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　






5項述語の４重量化　：　限定つき

・「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 x1, x2, x3, x4, x5は関係・条件Pを満たす　」 というかたち

　→詳細解説　　

　→具体例：
　　　・「 anは収束列 」の定義　　




【文献−数学一般】

　・新井紀子『数学は言葉』例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　







→多重量化トピック一覧　
→総目次  　



6項述語の三重量化　：　限定つき

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 x1, x2, x3, x4, x5,x6は関係・条件Pを満たす　」 というかたち

　→詳細解説　　

　→具体例：
　　　・「 f(x)→A (x→x0) 」の定義　　




【文献−数学一般】

　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.2関数の極限の定義:6項述語の三重量化(pp.136-137)
　・中谷『論理』6.4C極限(p.157-8)
　・中内『ろんりの練習帳』2.8(2)(pp.118-122)


　







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→総目次  　



N項述語のk重量化　




【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(p.89);2.5(pp.99-100):n変数命題関数の二重量化;
　●本橋『新しい論理序説』5.3(pp.96-7)5項述語を三重量化した2変数命題関数の具体例としての、一点における関数の連続性の定義。

以下、未確認。

　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(pp.73-74):3章§5(pp.141-56)5項述語を三重量化した2変数命題関数の具体例としての、連続と一様連続

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀∃(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);