二項述語・2変項命題関数" x loves y"  の二重量化


(1)「∀x,y ( x loves y )」「∀x∀y ( x loves y )」の意味・読み
(2)「∃x,y ( x loves y )」「∃x∃y ( x loves y )」 の意味・読み
(3-1) 「∀x∃y ( x loves y )」 の意味・読み
(3-2) 「∀y∃x ( x loves y )」 の意味・読み
(4-1) 「∃x∀y ( x loves y )」 の意味・読み
 (4-2) 「∃y∀x ( x loves y )」 の意味・読み 　
※一階述語論理による表現の応用例
　　・「誰もが誰か愛し愛されて生きるのさ」
※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数
※総目次  　


∀x,y ( x loves y )
∀x∀y ( x loves y )




・「∀x,y ( x loves y )」は、

　変項xのみを含む一項述語　
　　　　「∀y ( x loves y )」
　について、

　変項xも全称量化子で束縛して普遍量化した

　　命題「∀x (∀y  ( x loves y ) )」

　の略記。


・「∀x,y ( x loves y )」は、

　　どの対象を
　　　《変項xの議論領域》《変項yの議論領域》から選んでも、　　

　　　《変項xの議論領域から選んだ対象》と
　　　《変項yの議論領域から選んだ対象》との組は、

　　　　"x loves y"という関係・条件を満たす」

　と主張する命題。

　これを、戸田山は「愛のパラダイス」と呼ぶ。(p.170)

・「∀x,y ( x loves y )」の読み下し例。

　"Everybody loves everybody." (戸田山p.170)
　"Jeder liebt jeden."(wikipedia)
　「すべての人はすべての人を愛する」(戸田山p.170)
　「誰もが誰もを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);
 　・http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik#Quantoren

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)

　




　　


→二項述語"x loves y"の二重量化一覧
→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
→総目次 


∃x,y ( x loves y )
∃x∃y ( x loves y )



・「∃x,y ( x loves y )」は、

　変項xのみを含む一項述語「∃y  ( x loves y )」について、

　変項xも存在量化子で束縛して存在量化した命題

　　　「∃x (∃y  ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「∃x,y ( x loves y )」は、

　　　《変項xの議論領域から選んだ対象》と
　　　《変項yの議論領域から選んだ対象》との組が

　　　"x loves y"という関係・条件を満たすように、

　　　《変項xの議論領域》《変項yの議論領域》の各々から
　　　対象を選ぶことができる

　　と主張する命題。

・「∃x,y ( x loves y )」の読み下し例。

　"Somebody loves somebody" (戸田山p.170)

　"Einer liebt einen."(wikipedia)

　「ある人はある人を愛している」 (戸田山p.170)

　「誰かが誰かを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64）




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);
  　・http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik#Quantoren


【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)

　







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∀x∃y ( x loves y )




・「∀x∃y ( x loves y )」 は、

　変項xのみを含む一項述語「∃y  ( x loves y )」について、

　変項xを全称量化子で束縛して普遍量化した命題

　　　「∀x (∃y  ( x loves y ) ) 」

　の略記。　


・「∀x∃y ( x loves y )」 は、　  

　「《変項xの議論領域》からどの対象を選んでも、

　　　その《変項xの議論領域から選んだ対象》にたいして、
　　　　　《変項yの議論領域》から対象をうまく選んであげると、

　　　《変項xの議論領域から選んだ対象》と
　　　《変項yの議論領域から選んだ対象》との組が

　　　"x loves y"という関係・条件を満たすようにできる」

　と主張する命題。


・「∀x∃y ( x loves y )」の読み下し例。

　"Everybody loves somebody."(戸田山p.171)

　"Jeder liebt jemanden."(wikipedia)

　「誰にでも好きな人がいる」(戸田山p.171)




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);
  　・http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik#Quantoren

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)

　



　「どの人にも、その人に応じて、愛している人が存在する」(戸田山p.171)

　「誰にでも、愛する人がいる」(野矢『論理学』p.98)

　「誰もが誰かを愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64）

　「誰にも好きな人がいる」（本橋『新しい論理序説』p.75）
　　



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 ∀y∃x ( x loves y )




・「 ∀y∃x ( x loves y )  」 は、　  

　変項yのみを含む一項述語「∃x  ( x loves y )」について、

　変項yを全称量化子で束縛して普遍量化した命題

　　「∀y (∃x  ( x loves y ) ) 」

　の略記。　

・「 ∀y∃x ( x loves y )  」 は、　  

　「《yの議論領域》からどの対象yを選んでも、

　　　その対象yにたいして、
　　　《xの議論領域》から対象xをうまく選んであげると、

　　　対象x,yの組が"x loves y"という関係・条件を満たすようにできる」

　と「非モテへの福音(戸田山p.170)」を主張する命題。

・「 ∀y∃x ( x loves y )  」の読み下し例。

　"Everyone is loved by somebody." (戸田山p.170)

　"Jeder wird von jemandem geliebt."(wikipedia)

　「どんな人にもそのひとを愛してくれる人がいる」(戸田山p.170)

　「どの人にもそのひとに応じてそれぞれ愛してくれる人がいる」(戸田山p.170)

　「誰でも誰かに愛されている」(野矢『論理学』問題44(2)p.98;232)

　「誰もが誰かに愛されている」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);
  　・http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik#Quantoren

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　





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→二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
→総目次 

∃x∀y ( x loves y )




・「∃x∀y ( x loves y )」 は、　  

　変項xのみを含む一項述語

　　　「∀y  ( x loves y )」

　について、

　変項xを存在量化子で束縛して存在量化した

　命題「∃x (∀y  ( x loves y ) )」

　の略記。　

・「∃x∀y ( x loves y )」 は、　  

　　《xの議論領域》から対象xをうまく選んであげると、

　　　　その対象xに、どの対象yを組み合わせても、

　　　　対象x,yの組が
　　　　"x loves y"という関係・条件を
　　　　満たす
　
　　　　ようにできる

　と「博愛主義者の存在(戸田山p.170)」を主張する命題。

・「∃x∀y ( x loves y )」の読み下し例。

　　"Someone loves everyone"(戸田山p.170)

　　"Jemand liebt alle."(wikipedia)




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);
  　・http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik#Quantoren

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　



　　「すべての人を愛するような人がいる」(戸田山p.170)

　　「すべての人を愛する人がいる」(野矢『論理学』問題44(1)p.98;232)

　　「誰かが誰をも愛している」（本橋『新しい論理序説』p.64を参考に自作。）

　　「誰をも好きになる人がいる」（本橋『新しい論理序説』p.76を参考に自作。）
　  


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→総目次 

∃y∀x ( x loves y )



・「∃y∀x ( x loves y )  」 は、

　変項yのみを含む一項述語
　　　「∀x  ( x loves y )」
　について、

　変項xを存在量化子で束縛して存在量化した

　　　命題「∃y (∀x  ( x loves y ) )」

　の略記。　


・「∃y∀x ( x loves y )  」 は、　  

　　《yの議論領域》から対象yをうまく選んであげると、

　　　　その対象yに、どの対象xを組み合わせても、

　　　　対象x,yの組が
　　　　"x loves y"という関係・条件を
　　　　満たすようにできる

　と「アイドルの存在」(戸田山p.17１)を主張する命題。　


・「∃y∀x ( x loves y )  」の読み下し例。

　"There is someone whom everyone loves"

　"Jemand wird von allen geliebt"(wikipedia)




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);
  　・http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik#Quantoren

【文献−分析哲学・論理学】
　●戸田山『論理学をつくる』7.1.5愛の論理学(pp.169-172)

　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)


　「誰からも愛される人がいる」(戸田山p.171)

　「誰もが愛する、そういう人がいる」(野矢『論理学』p.98)

　「すべての人から愛される人がいる」(野矢『論理学』問題43(2)p.98;232)

　「誰からも好かれる人がいる」（本橋『新しい論理序説』p.76）
　
　　


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【応用例】

・誰もが誰か愛し愛されて生きるのさ

　　「　∀x (　∃y( x loves y )　  )　かつ　∀y (　∃x ( x loves y )　  )　」