二項述語の二重量化「∃x∀y P(x,y)」　　：　トピック一覧


　・「∃x∀y P(x,y)」の定義

　・「∃x∀y P(x,y)」の意味

　・「∃x∀y P(x,y)」の読み下し例


※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数
※総目次


「∃x∀y  P(x,y)」 の定義




【要旨】

　「∃x∀y P(x,y)」は、

　 P(x,y)の普遍量化を存在量化した

　　　「∃x (∀y  P(x,y) )」

　を表す。


【詳細】

　「∃x∀y P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった命題「∃x (∀y  P(x,y) )」の略記。


　　【step1:普遍量化】　　
　
　　二項述語P(x,y)

　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」

　　の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　変項xのみを含む一項述語　∀y  P(x,y)

　　　　　「xは、すべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」

　　をつくる。

　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　変項xのみを含む一項述語　　
 ※関連事項：　
　　・「∃x∈S ∀y∈T  P(x,y)」 の定義　
　　・「∀x∀y P(x,y)」の定義/「∃x∃y P(x,y)」の定義/「∀x∃y P(x,y)」の定義


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　



　　　　∀y  P(x,y) 　　「xは、すべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」　　
　　の変項xを存在量化子で束縛して存在量化。

　　得られた命題が

　　　∃x (∀y  P(x,y) )　 「あるxは、すべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」

　具体例
　　→ 「∃x∀y ( x loves y )」/「∃y∀x ( x loves y )」　
　　→ 「∃x∀y ( yはxの師匠 )」/「∃y∀x ( yはxの師匠 )」　
　　→ 「∃n∀x ( n>x )」  / 「∃x∀n ( n>x )」　 

※「∃x∀y P(x,y)」⇒「∀y∃x P(x,y)」[井関『集合と論理』1.5(p.28)]


→∃x∀y  P(x,y)　
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「∃x∀y  P(x,y)」 の意味　


・P(x,y)を、
　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数とすると、　

　「∃x∀y P(x,y)」　すなわち　「 ∃x (∀y  P(x,y) ) 」　は、


　　　「《議論領域Xに属す対象》をうまく選んで変項xへ代入してあげることによって、

　　　　　いかなる《議論領域Yに属す対象》を変項yへ代入しようとも、
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」

　と主張する命題を意味する。


※具体例
　　→ 「∃x∀y ( x loves y )」/「∃y∀x ( x loves y )」　
　　→ 「∃x∀y ( yはxの師匠 )」/「∃y∀x ( yはxの師匠 )」　
　　→ 「∃n∀x ( n>x )」  / 「∃x∀n ( n>x )」　 


※関連事項：　
　　・「∃x∈S ∀y∈T  P(x,y)」 の意味　
　　・「∀x∀y P(x,y)」の意味/「∃x∃y P(x,y)」の意味/「∀x∃y P(x,y)」の意味


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　



→∃x∀y  P(x,y)　
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読み下し例


「∃x∀y P(x,y)」の読み下し例

※具体例
　　→ 「∃x∀y ( x loves y )」
　　→ 「∃x∀y ( yはxの師匠 )」　
　　→ 「∃n∀x ( n>x )」 　

【英語】

・There exists x such that for all y , P(x,y) . [新井３.２(p.125)]

【日本語type1】 　

(1)

・「あるxが存在して、任意のyに対しP(x,y)が成り立つ」
　　　　[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「あるxが存在し、任意のyについてP(x,y)が成り立つ」
　　　　[新井３.２(p.９2)∃x∈N ∀y∈N x≦y ]
　　　　[新井定義4.1関数の有界の定義(p.134)]

・「あるxが存在して、どのyに対しても、P(x,y)が成り立つ」
　　　　[新井３.２(p.125)]

・「あるx0が存在して、どんなyをとっても、P(x0,y)は真になる。」
　　　　　[井関『集合と論理』1.5(p.28)]
 ※関連事項：　
　　・「∃x∈S ∀y∈T  P(x,y)」 の読み　
　　・「∀x∀y P(x,y)」の読み/「∃x∃y P(x,y)」の読み/「∀x∃y P(x,y)」の読み


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∈∀∈(p.９2)(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;
　
【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　



・「まず最初にxが存在する。そしてどんなyをとっても、P(x,y)が成立する。」　[井関(式2.5)(p.9): 「∃y∈R ∀x∈R (x<y) 」]

・「あるxがあって、すべてのyについてp(x,y)である」　[中内『ろんりの練習帳』例2.6.1(p.103)]

・「あるxがあって、すべてのyについてP(x,y)が成り立つ」[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

(2)

・「xを一つ凄く上手に選ぶと、どんなyをもってきても、P(x,y)が成り立つ。」[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「あるxを選ぶと、すべてのyに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(3)

・「まずはじめにあるxがとれて、つぎにどんなyをとっても、つねにP(x,y)が成立する。」[井関1.2例1(5) (p.10): 「∃y∈Z ∀x∈Z  (x＋y=x) 」]

・「あるxをとると、すべてのyに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(4)

・「あるxについて、すべてのyについて、P(x,y)である。」　　[中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.143) ]


【日本語type2】　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

・「『すべてのyについてP(x,y)である』を満たすxがある。」　　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

・「『任意のyについてP(x,y)』となるxがある。」　　　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

　＊「任意のyについて、P(x,y)となるxがある」だと「∀y∃x P(x,y) 」の意味になるので注意。　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]


 
 
「∃y∀x P(x,y)」の読み下し例

※具体例：「∃y∀x ( x loves y )」 / 「∃y∀x ( yはxの師匠 )」 / 「∃x∀n ( n>x )」　 


【英語】

・There exists y such that for all x , P(x,y) . [新井３.２(p.125)]

【日本語type1】 　

(1)

・「あるyが存在して、任意のxに対しP(x,y)が成り立つ」[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「あるyが存在し、任意のxについてP(x,y)が成り立つ」[新井３.２(p.９2)∃x∈N ∀y∈N x≦y ][新井定義4.1関数の有界の定義(p.134)]

・「あるyが存在して、どのxに対しても、P(x,y)が成り立つ」[新井３.２(p.125)]

・「まず最初にyが存在する。そしてどんなxをとっても、P(x,y)が成立する。」 　[井関(式2.5)(p.9): 「∃y∈R ∀x∈R (x<y) 」]

・「あるyがあって、すべてのxについてp(x,y)である」[中内『ろんりの練習帳』例2.6.1(p.103)]

・「あるyがあって、すべてのxについてP(x,y)が成り立つ」　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

(2)

・「yを一つ凄く上手に選ぶと、実はどんなxをもってきても、P(x,y)が成り立つ。」[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「あるyを選ぶと、すべてのxに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(3)

・「まずはじめにあるyがとれて、つぎにどんなxをとっても、つねにP(x,y)が成立する。」　[井関1.2例1(5) (p.10): 「∃y∈Z ∀x∈Z  (x＋y=x) 」]

・「あるyをとると、すべてのxに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(4)

・「あるyについて、すべてのxについて、P(x,y)である。」　　[中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.143) ]


【日本語type2】　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

・「"すべてのxについてP(x,y)である"を満たすyがある。」　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

・「『任意のxについてP(x,y)』となるyがある。」　　　　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

　＊「任意のxについて、P(x,y)となるyがある」だと「∀x∃y P(x,y) 」の意味になるので注意。　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]




→∃x∀y  P(x,y)　
→二項述語二重量化一覧　
→論理記号一覧/述語・命題関数
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