述語、命題関数　　：　トピック一覧

　　　　・普通、我々が具体的な「命題関数」 「述語」を考えるときには、
　　　　　意識してであれ、無意識にであれ、

　　　　　　　「命題関数」「述語」の変項に代入する対象をどこから取ってくるか
　　　　　　　　　〜見方を逆にすると、「命題関数」「述語」の変項がどこを動くのか〜　

　　　　　をあらかじめ頭の中で描いておいたうえで、
　　　　　それを前提として、具体的な「命題関数」「述語」を考えている。



　　　　　具体的な「命題関数」「述語」を考える際に前提となる

　　　　　　　《「命題関数」「述語」の変項に代入する対象をとってくる範囲》
　　　　　　　ないし
　　　　　　　《「命題関数」「述語」の変項が動く範囲》

　　　　　を、その「命題関数」「述語」の

　　　　　　・議論領域 domain of discourse
　　　　　　　　[野矢『論理学』p.96;野矢『入門！論理学』(p.207);戸田山6.1.1(p.134)]
　　　　　　・対象領域 object domain, individual domain
　　　　　　　　[新井p.90-91;前原『記号論理入門』p.70;p.142;『数理論理学序説』�U§1-０(p.149)]
　　　　　　・話題世界　[本橋p.7p.29]
　　　　　　・変域　[中谷p.99)]
　　　　　　・変項の定義域　[松井p.36;p.154]
　　　　　　・全体集合　[中谷p.76] 　

　　　　　等と呼ぶ。
　　　　※「対象object, individual」という表現→前原『数理論理学序説』�U§1-０(p.149)　　
　　　　※「命題関数」「述語」は、議論領域から《命題の集合》への写像。「命題関数」「述語」は、議論領域に属す各対象ごとに、それに対応する命題を一つずつ定めるから。[中谷p.77]

　　　　※ある具体的な「命題関数」「述語」が読まれる際に、その議論領域と解される範囲は、
　　　　　　　その「命題関数」「述語」が書かれた際に、その議論領域として前提された範囲と、
　　　　　一致する必要がある。

　　　　　読まれる際に議論領域と解される範囲が、
　　　　　書かれる際に議論領域として前提された範囲から
　　　　　ズレるおそれがあるなら、
　　　　　議論領域を明示して「命題関数」「述語」を書くべき。
　　　　　

　　　　・なぜ、ある具体的な「命題関数」「述語」について、
　　　　　　読まれる際に議論領域として解される範囲が、
　　　　　　書かれる際に議論領域として前提された範囲と、
　　　　　一致する必要があるのか？

　　　　　→ズレがあると、以下のトラブルを招く場合がある。

　　　　　　　【トラブル−タイプ1】　

　　　　　　　　　書かれる際に議論領域として想定された範囲外から、読者が対象を選び、「命題関数」「述語」の変項に代入すると、
　　　　　　　　　《真の命題》でも《偽の命題》でもない命題ができてしまうことがある。→古典論理の枠組みから逸脱　

　　　　　　　　　・具体例：命題関数・述語「xは偶数」 [松井p.36;p.154]
　　　　　　　　　　　　　・「xは偶数」と述べるとき、普通、xは整数の範囲を動くことを想定している。
　　　　　　　　　　　　　　実際、xが整数の範囲を動く限り、「xは偶数」は、《真の命題》《偽の命題》のいずれかにおさまる。
　　　　　　　　　　　　　・読者が、「xは整数の範囲を動く」との了解のもとで、「xは偶数」を読んだ場合、トラブルは生じない。
　　　　　　　　　　　　　・「xは整数の範囲を動く」という前提を共有せずに、「xは偶数」を読んでしまう読者がいたとする。
　　　　　　　　　　　　　　彼は、整数でない対象をxに代入するかもしれない。
　　　　　　　　　　　　　　　たとえば
　　　　　　　　　　　　　　　・2/3　
　　　　　　　　　　　　　　　・√2　
　　　　　　　　　　　　　　　・さだまさし　
　　　　　　　　　　　　　　　・戸川純　　
　　　　　　　　　　　　　　これらを、命題関数・述語「xは偶数」の変項xに代入すると、
　　　　　　　　　　　　　　　・命題「2/3は偶数」　　
　　　　　　　　　　　　　　　・命題「√2は偶数」　　
　　　　　　　　　　　　　　　・命題「さだまさしは偶数」
　　　　　　　　　　　　　　　・命題「戸川純は偶数」
　　　　　　　　　　　　　　ができるが、
　　　　　　　　　　　　　　これらは、どれも、《真の命題》でも《偽の命題》でもなく、古典論理の枠組みから逸脱している。
　　　　　　　　　　　　　・こうした事態を回避するためには、
　　　　　　　　　　　　　　「変項が整数の範囲を動くこと」を読者に明示して、
　　　　　　　　　　　　　　　「xは偶数」と書かなくてはならない。

　　　　　　　　【トラブル−タイプ2】
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　《書かれる際に議論領域として前提された範囲》から、《読まれる際に議論領域として解される範囲》がズレると、
　　　　　　　　　　「命題関数」「述語」の変項を量化子で束縛してつくった命題の真偽もズレてしまう場合がある。 [戸田山6.1.1(p.134);野矢『論理学』(p.103) ]

　　　　　　　　　・具体例： [戸田山6.1.1(p.134)]
　　　　　　　　　　　・議論領域を自然数の範囲に限定して、命題関数・述語「x<0」を考えて、
　　　　　　　　　　　　《偽の命題》として「∃x (x<0)」すなわち「0より小さいxが存在する」を書いたとする。
　　　　　　　　　　　・読者が、「xは自然数の範囲を動く」との了解のもとで、「∃x (x<0)」を読んだ場合、
　　　　　　　　　　　　「∃x (x<0)」は、《偽の命題》だから、トラブルは生じない。
　　　　　　　　　　　・「xは自然数の範囲を動く」という前提を共有せずに、「∃x (x<0)」を読んでしまう読者がいたとする。
　　　　　　　　　　　　彼は、「xは整数の範囲を動く」という前提で、「∃x (x<0)」を読むかもしれない。
　　　　　　　　　　　　このとき、整数の範囲を議論領域とすると、「∃x (x<0)」は《真の命題》となって、「∃x (x<0)」を書いた側の意図からズレてしまう。
　　　　　　　　　　　・このような誤読を避けるためには、
　　　　　　　　　　　　議論領域を自然数の範囲に限定していることを、読者に明示して、
　　　　　　　　　　　　「∃x (x<0)」と書かなくてはならない。

　　　　　　　　　・具体例： [野矢『論理学』(p.103)]
　　　　　　　　　　　・議論領域を「人」に限定して、命題関数・述語「xは二本足」を考えて、
　　　　　　　　　　　　《真の命題》として「∀x (xは二本足)」を書いたとする。
　　　　　　　　　　　・「人」が議論領域だと了解した読者が「∀x (xは二本足)」を読んだ場合、
　　　　　　　　　　　　「∀x (xは二本足)」は、《真の命題》だから、トラブルは生じない。
　　　　　　　　　　　・「人」が議論領域だという前提を共有せずに、「∀x (xは二本足)」を読んでしまう読者がいたとする。
　　　　　　　　　　　　彼は、「哺乳類」全体が議論領域だという前提で、「∀x (xは二本足)」を読むかもしれない。
　　　　　　　　　　　　このとき、「∀x (xは二本足)」は《偽の命題》となって、「∀x (xは二本足)」を書いた側の意図からズレてしまう。
　　　　　　　　　　　・「人」が議論領域だという前提を共有せずに、「∀x (xは二本足)」を読んでしまう読者がいたとする。
　　　　　　　　　　　　彼は、「鳥」全体が議論領域だという前提で、「∀x (xは二本足)」を読むかもしれない。
　　　　　　　　　　　　このとき、「∀x (xは二本足)」はたまたま《真の命題》となるが、「∀x (xは二本足)」を書いた側の意図からはズレている。
　　　　　　　　　　　・このような読者の恣意的な解釈を避けるためには、
　　　　　　　　　　　　議論領域を「人」に限定していることを、読者に明示して、
　　　　　　　　　　　　「∀x (xは二本足)」と書かなくてはならない。

	【文献−数学】 　・前原昭二『記号論理入門』第3章§6(p.70)第8章§2(pp.141-2)。 　・前原昭二『数理論理学序説』�U述語論理§1命題関数０(p.149) 　・中谷『論理』(p.76);5.1真理集合(p.99) 　・新井紀子『数学は言葉』3.2.6(pp.90-91) 　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』(p.36;p.154) 　・竹内外史『現代集合論入門』2章1(p.140) 　・本橋『新しい論理序説』1.2(p.7);2.3(p.29)　 【文献−分析哲学・論理学】 　・戸田山『論理学をつくる』6.1.1(p.134) 　・野矢『論理学』2-2-2-用語と記号-(10)(p.96);2-3-解釈(p.103)
	・野矢『入門！論理学』「領域」(p.207)