5項述語の4重量化「∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」　


【ポイント】

・「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　」 は、


　集合S1から対象をうまく選んで変項x1へ代入すると、

　　どの《S2に属す対象》を変項x2に代入しても、

　　　その《S2に属す対象》に相応しい《S3に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S2に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S3に属す対象》をうまく選んで変項x3に代入することによって

　　　　「どの《S4に属す対象》を変項 x4 に代入しても、
　　　　　　変項 x5 は、x1, x2, x3,x4とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という主張。
　　　
・S1もS2もS3もS4も特定の対象に固定されている場合、
　「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　」 は、
　x5 のみを変項とする1項述語。→詳細

　（例）
　　　・「 anは収束列 」の定義　　

【詳細】

・  ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P(x1,x2,x3,x4,x5)　：定義/意味/読み/∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 の定義に遡って
 ・バリエーション：∃x1∈S1 ∀x2∈内包的に定義された集合 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P(x1,x2,x3,x4,x5)　
　　　　　　　　省略形「∃x1∈S1 ∀S'2(x2) ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P(x1,x2,x3,x4,x5)」　　　　
 
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「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4   P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」　の定義



  要旨

　「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　」は、

　 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )の普遍量化を存在量化して普遍量化して存在量化した

　　　「∃x1∈S1 ( ∀x2∈S2 （ ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ） )」

　を表す。


詳細　〜　S1もS2もS3もS4特定の対象に固定されている場合　　

・「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　」 とは、

　下記手順でつくった1項述語　

　　　「∃x1∈S1 ( ∀x2∈S2 （ ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ） )」

　の略記。

　　【step1:普遍量化】　　
　
　　5項述語 P(x1, x2, x3, x4, x5) 「x1, x2, x3, x4, x5は関係・条件Pを満たす」
　　の変項x4を全称量化子で束縛して普遍量化し、




【文献−数学一般】
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【関連事項】　
　　・

　


　　　　　x1, x2, x3, x5を変項とする4項述語・4変項命題関数　
　　　　　　　「 ∀x4∈S4 P(x1, x2, x3, x4, x5) 」　どの《S4に属す対象》を変項x4に代入しても、変項 x1, x2, x3, x5 は、x4とのあいだの関係・条件Pを満たす　
　　　　　をつくる。

　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　4項述語・4変項命題関数「 ∀x4∈S4 P(x1, x2, x3, x4, x5) 」
　　　　　　　　　　どの《S4に属す対象》を変項x4に代入しても、変項 x1, x2, x3, x5 は、x4とのあいだの関係・条件Pを満たす
　　の変項x3を存在量化子で束縛して存在量化し、

　　x1, x2, x5を変項とする3項述語・3変項命題関数
　　　　「 ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) 」
　　　　　　　　　　x3に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『どの《S4に属す対象》を変項x4に代入しても、変項 x1, x2, x3, x5 は、x4とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S3に属す対象》が存在する
　　をつくる。

　　【step3:普遍量化】　　

　　step2で得られた
　　3項述語・3変項命題関数「 ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) 」
　　　　　　　　　　x3に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『どの《S4に属す対象》を変項x4に代入しても、変項 x1, x2, x3, x5 は、x4とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S3に属す対象》が存在する
　　の変項x2を全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　x1, x5を変項とする2項述語・2変項命題関数

　　　　 　「 ∀x2∈S2 （  ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ） 」
　　　　　　　　　どの《S2に属す対象》を変項x2に代入しても、
　　　　　　　　　　　「x3に代入すると、
　　　　　　　　　　　　『どの《S4に属す対象》を変項x4に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 は、x4とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　　　を成立させる《S3に属す対象》が存在する」
　　をつくる。

　　【step4:存在量化】　　

　　step3で得られた
　　2項述語・2変項命題関数「 ∀x2∈S2 （  ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ） 」
　　の変項x1を存在量化子で束縛して存在量化し、

　　x5を変項とする1項述語・一変項命題関数

　　　　 　「∃x1∈S1 ( ∀x2∈S2 （ ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ） )」

　　を得る。
　（例）「 anは収束列 」の定義
→∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)　
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「　 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 　」 の意味　



　・　P ( x1, x2, x3, x4, x5 )は、
　　　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　　　変項x3の議論領域をX3,
　　　　　変項x4の議論領域をX4,
　　　　　変項x5の議論領域をX5,
　　とするn項述語・n変数命題関数

　・　S1は「X1の部分集合」
　・　S２は「X2の部分集合」
　・　S3は「X3の部分集合」
　・　S4は「X4の部分集合」
　・　S5は「X5の部分集合」

　とすると、　

　「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4   P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　」は、　

　集合S1から対象をうまく選んで変項x1へ代入すると、

　　どの《S2に属す対象》を変項x2に代入しても、

　　　その《S2に属す対象》に相応しい《S3に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S2に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S3に属す対象》をうまく選んで変項x3に代入することによって

　　　　「どの《S4に属す対象》を変項 x4 に代入しても、
　　　　　　変項 x5 は、x1, x2, x3,x4とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という意味の述語・命題関数。

・S1もS2もS3もS4も特定の対象に固定されている場合、
　「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　」 は、
　x5 のみを変項とする1項述語。→詳細

　（例）「 anは収束列 」の定義




【文献−数学一般】
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　





→∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)　
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読み下し例
∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　の読み下し例

文献調査中

【英語】



【日本語type1】 　




【日本語type2】　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

→∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)　
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∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 の定義に遡った「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)」の意味　










→∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)　
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集合S2が内包的に定義された場合の「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)」の意味　


　集合S2の内包がS2'、　つまり、 S2＝{ x | S2'(x) }
　との設定のもと、　


　「 ∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　」
　すなわち
　「∃x1∈S1 ( ∀x2∈S2 （ ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ） )」
　は、

　「∃x1∈S1 ( ∀x2 ( S2'(x) ⇒ ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) )  ) )」

　に言い換えてよい。

　　

→∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)　
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省略形

　　

省略形「∃x1∈S1∀S'2(x2) ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)」


∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4
【設定】

・P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) は、
　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　変項x3の議論領域をX3,
　　　変項x4の議論領域をX4,
　　　変項x5の議論領域をX5とするn項述語・n変数命題関数

・S1は「X1の部分集合」
・S3は「X3の部分集合」
・S4は「X4の部分集合」

・S'2(x2)は、「x2についての条件」（つまり、x2を変項とする一項述語）。
　　　　　ただし、x2を先頭に表されているとする。

【本題】

　上記設定のもと、

　「 ∃x1∈S1 ∀S'2(x2) ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」は、

　下記表現aないし表現bの略記。


【基礎事項】
　・「∃ 条件式　n項述語」
　・「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y)」　

【使用例】
　・「 anは収束列 」の定義　　










【表現a】　

  ∃x1∈S1 ∀x2∈ { x∈X2 | S'2(x) }  ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P ( x1, x2, x3, x4, x5 )


　《S1に属す対象》をうまく選んで変項x1へ代入すると、

　　どの《S'2(x)の真理集合に属す対象》を変項 x2 に代入しても、

　　その《S'2(x)の真理集合に属す対象》に相応しい《S3に属す対象》が
　　　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　その《S'2(x)の真理集合に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S3に属す対象》をうまく選んで変項 x3 に代入することによって、

　　「どの《S4に属す対象》を変項 x4 に代入しても、
　　　　　変項 x5 は、x1, x2, x3,x4とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　を成り立たせることができる




【具体例】
　・Rを変項x1の議論領域とした際の「∀x1>0 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」　は、

　　「∀x1∈ { x∈R |  x>0 }  ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )  」　
　　　　どの《「x>0」の真理集合に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　　　その《「x>0」の真理集合に属す対象》に応じて、《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって
　　　　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」
　　　　を成り立たせることができる
　　の省略形。
　・「x>0」の真理集合とは、(0,∞)のことだから、これは、 「∀x1∈ (0,∞)  ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )  」　ともかける。

【使用例】
　・ 「 ∀ε>0　∃N∈N　∀n∈N　( n≧N⇒|  《数列》の第n項 −α |＜ε) 」　



【表現b】　

　∃x1∈S1 ( ∀x2 ( S'2(x) ⇒ ∃x3∈S3 ( ∀x4∈S4 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) )  )


　《S1に属す対象》をうまく選んで変項x1へ代入すると、
　　どの《議論領域X2に属す対象》を変項x2に代入しても、
　　その《X2に属す対象》が条件S'2を満たすならば、
　　その《X2に属す対象》に相応しい《S3に属す対象》が
　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　その《X2に属す対象》に応じて、
　　　　相応しい《S3に属す対象》をうまく選んで変項x3に代入することによって

　　　　「どの《S4に属す対象》を変項 x4 に代入しても、
　　　　　　　変項 x5 は、x1, x2, x3,x4とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　を成り立たせることができる




【具体例】

　　Rを変項x1の議論領域とした際の「∀x1>0 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」　は、

　　「∀x1 ( x1>0 ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」　
　　　どの実数を変項x1に代入しても、その実数が条件x1>0を満たすならば、
　　　その実数に応じて、相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって
　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」
　　　を成り立たせることができる

　　の省略形。






→∃x1∈S1 ∀x2∈S2 ∃x3∈S3 ∀x4∈S4  P(x1,x2,x3,x4,x5)　
→多重量化一覧　
→論理記号一覧/述語・命題関数
→総目次