【ポイント】 ・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」 は、 どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、 その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が 少なくとも一個は存在するので、 その《S1に属す対象》に応じて、 相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって 「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、 変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」 を成り立たせることができる という主張。 ・S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合、 「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」は、 x4, x5 を変項とする2項述語。→詳細 (例) |
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・「 ∀ε>0 ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N⇒| 《数列》の第n項 −α |<ε) 」 ・ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D ( | x−x0|<δ ⇒ | f (x)−f (x0)|<ε) 【詳細】 ・ ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5) :/意味/読み/∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 の定義に遡って |
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要旨
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x1, x2, x4, x5を変項とする4項述語・4変項命題関数 「 ∀x3∈S3 P(x1, x2, x3, x4, x5) 」 どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす をつくる。 【step2:存在量化】 step1で得られた 4項述語・4変項命題関数「 ∀x3∈S3 P(x1, x2, x3, x4, x5) 」 どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす の変項x2を存在量化子で束縛して存在量化し、 x1, x4, x5を変項とする3項述語・3変項命題関数 「 ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) 」 x2に代入すると、 『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』 を成立させる《S2に属す対象》が存在する をつくる。 【step3:普遍量化】 step2で得られた 3項述語・3変項命題関数「 ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) 」 x2に代入すると、 『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』 を成立させる《S2に属す対象》が存在する の変項x1を全称量化子で束縛して普遍量化して得られる x4, x5を変項とする2項述語・2変項命題関数が、 「 ∀x1∈S1 ( ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」 どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、 「x2に代入すると、 『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』 を成立させる《S2に属す対象》が存在する」 |
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・ P ( x1, x2, x3, x4, x5 )は、 変項x1の議論領域をX1, 変項x2の議論領域をX2, 変項x3の議論領域をX3, 変項x4の議論領域をX4, 変項x5の議論領域をX5, とするn項述語・n変数命題関数 ・ S1は「X1の部分集合」 ・ S2は「X2の部分集合」 ・ S3は「X3の部分集合」 ・ S4は「X4の部分集合」 ・ S5は「X5の部分集合」 とすると、 「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」は、 どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、 その《S1に属す対象》に応じて、 《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって 「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、 変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」 を成り立たせることができる という意味の述語・命題関数。 ・S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合、 「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」は、 x4, x5 を変項とする2項述語。→詳細 (例) ・「 an→α (n→∞) 」の定義 ・∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈I ( | x−x0|<δ ⇒ | f (x)−f (x0)|<ε) |
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→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5) →三項述語二重量化一覧 →論理記号一覧/述語・命題関数 →総目次 |
【英文読み下し】 ・for any (every) x1∈S1 , there exists x2∈S2 such that P(x1,x2,x3,x4,x5) for all x3∈S3 . [小林p.15] ・for every x1∈S1, there exists x2∈S2 such that for every x3∈S3 we have P(x1,x2,x3,x4,x5) . [http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence] ・given an arbitrary x1∈S1, we can always find some x2∈S2 (which will in general depend on the chosen x1) such that all x3∈S3 will P(x1,x2,x3,x4,x5) [deLaFuente,pp.46-47改 ] 【邦文読み下しtype1】 「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」を、 修飾関係にしたがわず、 記号の順序に読み下して行く作法。 ・「∀x1∈S1」の部分は、 ・すべての/任意の『S1に属す対象』 x1に対し(て)、 ・どんな『S1に属す対象』 x1に対しても、 ・任意の『S1に属す対象』 x1を一つ定めたとき、 ・任意の『S1に属す対象』 x1が与えられたとき、 などと読み下す。 ・「∃x2∈S2」の部分は、 ・(それに対して/対応して)、(ある)『S2に属す対象』 x2が存在し/あって、 ・(それに対して/対応して)、 (ある)『S2に属す対象』 x2を 選べば/適当に選んで/とれば/とると/うまく定めると/見つけることができて、 などと読み下す。 ・「∀x3∈S3」の部分は、 ・すべての/任意の『S3に属す対象』 x3に対し(て)、 ・どんな『S3に属す対象』 x3に対しても、 のいずれかに読み下す。 ・「P ( x1, x2, x3, x4, x5 )」の部分は、 ・ P(x1,x2,x3,x4,x5) が成り立つ/となる/になる ・ P(x1,x2,x3,x4,x5) にすることができる などと呼んで締めくくる。 |
※関連事項: ・「∃x ∀y P(x,y)」 の読み ※具体例
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(以下サンプル) ・すべての/任意の『S1に属す対象』 x1に対し(て)、(ある)『S2に属す対象』 x2が存在し/あって、すべての/任意の『S3に属す対象』 x3に対し(て)、 P(x1,x2,x3,x4,x5) が成り立つ。[中内p.116;小林p.15改;黒田p.42改] ・すべての/任意の『S1に属す対象』 x1に対し(て)、『S2に属す対象』 x2を適当に選んで、すべての/任意の『S3に属す対象』 x3に対し(て)、 P(x1,x2,x3,x4,x5) が成り立つようにできる。[黒田p.44] ・どんな『S1に属す対象』 x1に対しても、ある『S2に属す対象』 x2が存在して、すべての『S3に属す対象』 x3に対して、P(x1,x2,x3,x4,x5)となる[杉浦p.12改] ・すべての(任意の)『S1に属す対象』 x1に対し(て)、(ある)『S2に属す対象』 x2をとれば、すべての『S3に属す対象』 x3に対し、 P(x1,x2,x3,x4,x5) となる。[小林p.15改] ・どんな『S1に属す対象』 x1に対しても、『S2に属す対象』 x2をうまく定めると、どんな『S3に属す対象』 x3にたいしても、P(x1,x2,x3,x4,x5) となっている。[細井p.13;15;21] ・任意の『S1に属す対象』 x1にたいして、ある『S2に属す対象』 x2をとると、P(x1,x2,x3,x4,x5)(x3はS3に属す)が成り立つ。[吹田新保(p.6] ・どんな『S1に属す対象』 x1に対しても、『S2に属す対象』 x2を見つけることができて、『S3に属す対象』 x3においては必ず、P(x1,x2,x3,x4,x5)になる[松井p.187:改] ・敵がどんな『S1に属す対象』 x1を持って来ても、それに対応して自分が巧妙に『S2に属す対象』 x2を選べば、その後に敵がどんな『S3に属す対象』 x3を選ぼうとも、|P(x1,x2,x3,x4,x5)にすることができる[松井p.41:改] ・「任意の『S1に属す対象』 x1を一つ定めたとき、それにたいして、ある『S2に属す対象』 x2が存在して、すべての『S3に属す対象』 x3にたいして、P(x1,x2,x3,x4,x5)が成立する。」[神谷浦井p.68] 【邦文読み下しtype2】 「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」を、 記号の順序にしたがわず、 修飾関係にしたがおうとする読み下し。 文才がない限り、誤読のもとになるので、推奨されない[→黒田『微分積分学』§2.5.2補足説明2(p.44)]。 ・すべての/任意の『S1に属す対象』 x1に対し(て)『x3がS3に属すならば、P(x1,x2,x3,x4,x5)』となるような『S2に属す対象』 x2が存在する[和達p.9] *右記誤読発生のおそれ:「すべての/任意の『S1に属す対象』 x1に対し(て)『x3がS3に属すならば、P(x1,x2,x3,x4,x5)』となる」ような『S2に属す対象』 x2が存在する ・すべての/任意の『S1に属す対象』 x1に対し(て)、『x3がS3に属すならば、P(x1,x2,x3,x4,x5)』 が成り立つように、『S2に属す対象』 x2をとることができる[杉浦p.1] *右記誤読発生のおそれ:「すべての/任意の『S1に属す対象』 x1に対し(て)『x3がS3に属すならば、P(x1,x2,x3,x4,x5)』が成り立つ」ように、『S2に属す対象』 x2をとることができる ・任意の『S1に属す対象』 x1が与えられたとき、一つの『S2に属す対象』 x2が、『x3がS3に属すときP(x1,x2,x3,x4,x5)』なるように定められる[高木p.6] |
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・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」 すなわち 「 ∀x1∈S1 ( ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」 とは、 |
●本橋『新しい論理序説』5.3例5(pp.93-97):fは〜で連続 |
「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x3 ( x3∈S3 ⇒ P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) ) 」の省略表現。 ・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」 すなわち 「 ∀x1∈S1 ( ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」 は、 「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」 の省略表現(∵)。 ・「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」は、 「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」 の省略表現(∵)。 ・「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」は、 「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x3 ( x3∈S3 ⇒ P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) ) 」 の省略表現(∵)。 |
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集合S1の内包がS1'、 つまり、 S1={ x | S1'(x) } との設定のもと、 「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」 すなわち 「 ∀x1∈S1 ( ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」 は、 「 ∀x1 ( S1'(x) ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 」 に言い換えてよい。 |
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省略形「∀S'1(x1) ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5)」【設定】 ・P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) は、 変項x1の議論領域をX1, 変項x2の議論領域をX2, 変項x3の議論領域をX3, 変項x4の議論領域をX4, 変項x5の議論領域をX5とするn項述語・n変数命題関数 ・S2は「X2の部分集合」 ・S3は「X3の部分集合」 ・S'1(x1)は、「x1についての条件」(つまり、x1を変項とする一項述語)。 ただし、x1を先頭に表されているとする。 【本題】 上記設定のもと、 「 ∀S'1(x1) ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」は、 下記表現aないし表現bの略記。 |
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【表現a】 ∀x1∈ { x∈X1 | S'1(x) } ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) どの《S'1(x)の真理集合に属す対象》を変項 x1 に代入しても、 その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が 少なくとも一個は存在するので、 その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に応じて、 相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項 x2 に代入することによって、 「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、 変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」 を成り立たせることができる |
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【表現b】 ∀x1 ( S'1(x) ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) どの《議論領域X1に属す対象》を変項x1に代入しても、 その《X1に属す対象》が条件S1'を満たすならば、 その《X1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が 少なくとも一個は存在するので、 その《X1に属す対象》に応じて、 相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって 「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、 変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」 を成り立たせることができる |
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省略形「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2) ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5) 」【設定】 ・P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) は、 変項x1の議論領域をX1, 変項x2の議論領域をX2, 変項x3の議論領域をX3, 変項x4の議論領域をX4, 変項x5の議論領域をX5とするn項述語・n変数命題関数 ・S3は「X3の部分集合」 ・S'1(x1)は、x1についての条件(つまり、x1を変項とする一項述語)。 ただし、x1を先頭に表されているとする。 ・S'2(x2)は、x2についての条件(つまり、x2を変項とする一項述語)。 ただし、x2を先頭に表されているとする。 【本題】 上記設定のもと、 「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2) ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」 |
活用例: ・∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D ( | x−x0|<δ ⇒ | f (x)−f (x0)|<ε) |
は、 下記表現aないし表現bのの略記。 |
【表現a】 ∀x1∈ { x∈X1 | S'1(x) } ∃x2∈ { x∈X2 | S'2(x) } ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) どの《S'1(x)の真理集合に属す対象》を変項 x1 に代入しても、 その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に相応しい《S'2(x)の真理集合に属す対象》が 少なくとも一個は存在するので、 その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に応じて、 相応しい《S'2(x)の真理集合に属す対象》をうまく選んで変項 x2 に代入することによって 「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、 変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」 を成り立たせることができる |
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【表現b】 ∀x1 ( S'1(x) ⇒ ∃x2 ( S'2(x) かつ ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) どの《議論領域X1に属す対象》を変項x1に代入しても、 その《X1に属す対象》が条件S1'を満たすならば、 その《X1に属す対象》に相応しい《X2に属す対象》が 少なくとも一個は存在するので、 その《X1に属す対象》に応じて、 相応しい《X2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって 「変項 x2 は、条件S2'を満たす」 「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、 変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」 を同時に成り立たせることができる |
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