存在記号∃　　：　トピック一覧

【記号∃の説明】
　・論理記号∃の呼称
　・論理記号∃の使用法
　　∃x P(x) / ∃x∈X P(x)
　　∃x P(x,y) / ∃x∈X P(x,y)
　　∃x P(x₁,…,x_n) / ∃x∈X P(x₁,…,x_n)　
　　多重量化　
　・論理記号∃の読み下し方
　・論理記号∃の推論規則
　　論理記号∃の導入則
　　論理記号∃の除去則　

【用語別】
　・存在量化記号
　・存在記号
　・特称記号
　・existential quantifier　
　・存在量化子　
　・特称量化子
　・存在作用素
　・特称作用素

・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・存在量化
・存在量化子による量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※二項述語量化関連ページ：二項述語・二変項命題関数/∀x P(x,y)/∀x∈X P(x,y)/∃x∈X P(x,y)/二重量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数　
※総目次

二項述語・2変項命題関数の存在量化　∃x P(x,y)　

　・「∃ 変項　二項述語」の意味と読み下し方　
　・議論領域が有限集合の場合の「∃ 変項　二項述語」　　
　・「∃ 変項　二項述語」の読み下し例一覧　
　・「∃ 変項　二項述語」の具体的な使用例　
　・「∃ 変項　二項述語」のなかで用いられる用語
　・「∃ 変項　二項述語」の集合表現

∃x P(x,y) の意味　

【ざっくり】

　「∃ x 『x,yは関係Pにある・条件Pを満たす』」は、

　　「yとの関係Pを満たす対象が、少なくとも一つは、存在する」

　という一変項yの命題関数(一項述語)を意味し、　

　　　「あるxが存在して、x,yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「あるxに対して、x,yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「yとの関係P/条件Pを満たすxが存在する」

　と読み下される。

【きっちり】

　P(x,y)を、
　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数
　とすると、　

　「 ∃ x P(x,y) 」は、

　　「『議論領域Yに属す対象y』との関係Pを満たす対象が、
　　　　議論領域Xのなかに少なくとも一つは存在する」

　という議論領域をYとする1変項yの命題関数 Q(y)を意味し、　

　　　「あるxが存在して、x,yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「あるxに対して、x,yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　　　「yとの関係P/条件Pを満たすxが存在する」

　と読み下される。

　[→主要テキストの読み下し例一覧]
　[→具体的な使用例]

　※関連事項：∃x∈X P(x,y)の意味 / ∀x P(x,y)の意味 / ∀x∈X P(x,y)の意味　　
　※関連事項－二項述語の二重量化：「∀x∀y P(x,y)」の意味/「∃x∀y P(x,y)」の意味/「∀x∃y P(x,y)」の意味 / 「∃x∃y P(x,y)」の意味　


	【文献－数学基礎論】　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.3～3.4(pp.152-3) 　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.141) 【文献－数学一般】　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3存在量化子(pp.56-7) 　・中内『ろんりの練習帳』2.5存在命題関数(pp.99-102):n変数命題関数を存在量化したn-1変数面だいかん数。; 　●本橋『新しい論理序説』3.2例3;問題4-5(pp.42-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6例題3.2.10(p.90):3項述語の存在量化;例題3.2.15(p.98)(p.100);4.1(p.124);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9) 　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.38-41):多重量化。　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402) 【文献－数理経済】　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。【文献－分析哲学・論理学】　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(pp.167-9) 　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９) 　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.218-222)∀x∃y P(x,y).∃y∀x P(x,y).

　　　・このように、二項述語・2変数命題関数 P(x,y)の頭に「 ∃x 」をつけると、　1項述語(1変数命題関数)Q(y)　になる。
　
　　　＊「 ∃＋変項(変数) ＋ 2項述語(2変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　　　　「 ∃ ＋変項 (変数)」が支配している範囲（スコープ）を明示するために、
　　　　「 ∃ ＋変項(変数)」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。

	有限集合が議論領域のときの「∀変項二項述語」の解釈　　1変項yの命題関数・一項述語　　　 ∃x P(x,y) 　「yとの関係Pを満たすxが存在する」　は、　束縛変項xの議論領域が有限集合 { a₁ , a₂ , … , a_n } であるとき、　1変項yの命題関数・一項述語
	P(a₁,y) または P(a₂,y) または … または P(a_n,y) 　　　「yは、a₁と関係Pにあり、または、a₂と関係Pにあり、または…または、a_nと関係Pにある」　に言い換えてよい。

→[トピック一覧：論理記号∃]
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「 ∃+変項+二項述語」に関わる諸用語　

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∃ 変項　2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∃」は、　
　　存在記号　　[前原p.4;中内p.94;斎藤p.56;井関p.7;杉浦p.401]
　　特称記号　　[中内p.94]
　　存在量化記号　[斎藤p.57;岡田光弘p.30]
　　existential quantifier　[斎藤p.57;岡田光弘p.30;De LaFuentep.8]
　などと呼ばれる論理記号。

・「∃ 変項　2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∃変項」という部分は、　
　　存在作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.94]　　　
　　特称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.94]　　　
　　存在量化子 [斎藤p.57]　
　　特称量化子 [高崎V-1.1;1.4]
　　existential quantifier
　と呼ばれる。
　　＊岡田章は、記号「∃」そのものを「存在量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？

【量化】

・存在量化子・全称作用素「∃変項」を
　 2項述語(2変数命題関数)の前につけて
　「∃ 変項　2項述語」というかたちにする行為を、
　
　　　存在量化　[野矢 p.213;本橋pp.40-41;]
　　　
　などと呼ぶ。
　別の文脈で、「《変項》の束縛bound」と呼ぶこともある[→詳細]。

　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]

　　　　　　

【スコープ】

・「∃ 変項　2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかで、

　存在量化子・作用素「∃変項」によって量化された

　　「2項述語(2変数命題関数)」

　の範囲は、

　存在量化子・作用素「∃変項」の

　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]
　　作用範囲[前原1章§8(p.24)]

　などと呼ばれる。
　
※「∃ 変項　2項述語(2変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　どこまでが「∃変項」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。
　そういうときは、
　「∃変項」のスコープがどこまでかを明示するために、
　「∃変項」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。
　　　　　　

【束縛する/束縛変項/自由変項】

・ ∃x を、x,yの関係・条件P(x,y)の前につける行為を、
　「変項(変数)xを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26]　

・「 ∃ x (　P(x,y)　) 」において、

　「∃x 」のスコープにある変項x　

　　つまり、
　　　「 ∃ x 」によって量化された2項述語(2変数命題関数)　
　　　　P(x,y)　　　　
　　　のなかの変項x

　は、
　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable
　と呼ばれる。[斎藤p.50;前原1章§7-8][岡田光弘p.31;]
　　　　　　　[本橋2.4(pp.31-34))]

・「 ∃ x (　P(x,y)　) 」において、

　「 ∃ x」のスコープにあるが、
　「 ∃ x 」によって束縛されていない変項y　

　　つまり、
　　　「 ∃ x 」によって量化された2項述語(2変数命題関数)　
　　　　　P(x,y)　　　　
　　　のなかの変項y

　は、
　自由変項 （自由変数）　free variable
　と呼ばれる。[岡田光弘p.31;井関p.2９;前原1章§8(p.24)]　　


	【文献－数学基礎論】　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野【文献－分析哲学・論理学】　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.167) 【文献－数学一般】　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。

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「∃x P(x,y) 」の読み下し例：一覧　　

【英語】

・there exists x such that P(x,y) . [新井4.1p.124]

・ there exists an element x such that the pair (x,y) has property P."
　　　　　　　　　　　　　　　[De La Fuente,p.8]
・for some x, P(x,y) [岡田光弘p.30]

【日本語type1】

（１）

・「　あるxについて、P(x,y)　」　[中谷p.141;本橋p.70]　

・「　少なくともひとつのxに対して、P(x,y)　」 [斎藤p.56]

(2)

・「あるxが存在し、P(x,y)　」　[野矢『入門！論理学』p.218]

【日本語type2】

・「　P(x,y)となるxがある　」　[本橋p.70 ; p.42]　

・「　P(x,y)なるxが存在する　」[斎藤p.56]

　※関連事項：∃x∈X P(x,y)の読み / ∀x P(x,y)の読み / ∀x∈X P(x,y)の読み　　
　※関連事項－二項述語の二重量化：「∀x∀y P(x,y)」の読み/「∃x∀y P(x,y)」の読み/「∀x∃y P(x,y)」の読み / 「∃x∃y P(x,y)」の読み　


	【文献】　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.141) 　●本橋『新しい論理序説』3.2例3;問題4-5(pp.42-43);4.1(p.64): 　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3存在量化子(pp.56-7) 　・新井紀子『数学は言葉』4.1(p.124);4.2(p.128) 　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.218-222)∀x∃y P(x,y).∃y∀x P(x,y). 　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(pp.167-9)
	・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理脚注3(p.30):