述語、命題関数　　　：　トピック一覧

　・1項述語・1変項(1変数)命題関数の定義　/　1項述語・1変項命題関数の具体例　　

　　　　　　　　　　　→集合表現：一項述語・1変数命題関数の真理集合 　　　　
　　　　　　　　　　　→量化：普遍量化・全称量化/範囲を限定した普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在量化

　・2項述語・2変項(2変数)命題関数の定義　/　2項述語・2変項命題関数の具体例　

　　　　　　　　　　　→集合表現：二項述語・2変数命題関数の真理集合 　　　　
　　　　　　　　　　　→量化：普遍量化・全称量化/範囲を限定した普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在 量化/二重量化　

　・n項述語・n変項(n変数)命題関数の定義　/　n項述語・n変項命題関数の具体例

　　　　　　　　　　　→集合表現：n項述語・n変数命題関数の真理集合 　　　　
　　　　　　　　　　　→量化：普遍量化・全称量化/範囲を限定した普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在 量化/二重量化　

　　
※論理関連ページ：古典論理/論理記号
※総目次


n変項の命題関数 propositional function , n項述語 predicate ,　n項関係　


 →n項述語・n変項命題関数とは？　　
→n項述語・n変項命題関数を表す記号　：　文から記号への翻訳　
→n項述語・n変項命題関数を表す記号　：　記号から文への翻訳　
→n項述語・n変項命題関数の具体例

n変項命題関数・n項述語とは？

【命題関数・述語のかたち】

・「n変項(n変数)の命題関数propositional function」
　「n項述語n-place predicate,n-ary predicate」[高 崎V-1;戸田山;古森小野]
　「n項関係n-ary relation」[井関p.25;戸田山]
　とは、
　様々な対象を代入できる変項(変数)をn個組み込んだ
　　　「《変項1》《変項2》…《変項n》は～の関係にある」
　　　「《変項1》《変項2》…《変項n》は～という条件を満たす」
　というかたちの文のこと。

・「n変項命題関数」「n項述語」の変項は、通常、
　アルファベット小文字で表す。
　変項を x1, x2, …, xnで表した場合、
　「n変項命題関数」「n項述語」は、
　　　「 x1, x2, …, xnは～の関係にある」
　　　「 x1, x2, …, xnは～という条件を満たす」
　という形になる。

【命題関数・述語と命題】

・様々な対象を変項(変数)へ代入するに応じて、
　「命題関数」「述語」は、様々な命題を表す。[井関　p.24]

　　※「命題関数」「述語」そのものは命題ではない。
　　　「命題関数」「述語」の変項に対象を代入して、
　　　はじめて，命題になる。




【関連項目】

　・n項述語の量化：普遍量化・全称量化/範囲を限定した普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在 量化/
　・n項述語の具体例
　・n項述語の真理集合/n項述後の各変項に対象を代入してつくった命題の集合表現　　　　

【文献－数学】

　・前原昭二『記号論理入 門』§7多変数(pp.20-21);§9(pp.26-32)。
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題 関数０-１(pp.149-151)
　・井関清志『集合と論理』§1.5(pp.24-30)n項。
　・中内『ろん りの練習帳』2.1(pp.77-80):n項
　・http://cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/logic/pred_logic/predicate /pred_intro.html:3項の例
　・新井紀子『数学は言葉』2.2性質の表現(pp.44-49): 対象が一個だと性質、対象が複数だと関係…。
　・http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik
　・古森小野『現代数理論理学序説』2.1.1第一階述語論理の言語(p.59)「n-ary predicate symbol」
【文献－分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.3(p.166): "n-place predicate", "n-ary relation" 
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-33)
　・野矢茂樹『入門！論理学』 6章.「述語」(p.200);「領域」(p.207);「変項」(p.208);「多重量化」(p.2１９) 　　

　・高崎金久『数理論理学入門』Ⅴ. 述語論理の意味論-1.2「n項述語」;Ⅷ. 自然演繹(その2)-2.述語論理の形式化


　　　　・古典論理は、（たとえ我々に現在把握できていないとしても）どの命題も真偽いずれかに定まっているという設定だから、
　　　　　古典論理において「命題関数」「述語」は、
　　　　　　変項に何が入るか決まると、
　　　　　　《真の命題》《偽の命題》のいずれか一方に定まることが要請される。

　　　　※「命題関数」「述語」そのものは、《真の命題》でも《偽の命題》でもない（そもそも命題ですらないのだから）。
　　　　　「命題関数」「述語」の変項に対象を代入して、
　　　　　はじめて，《真の命題》《偽の命題》のいずれか一方に定まる[中谷『論理』(p.7８)]。

　　　【変項が動く範囲】

　　　　・普通、我々が具体的な 「n項述語」 「n変項命題関数」 を考えるときには、
　　　　　意識してであれ、無意識にであれ、

　　　　　　　n個の変項に代入する対象を
　　　　　　　どこから取ってくるのか？
　　　　　　　　～見方を逆にすると、n個の変項がどこを動くのか～　

　　　　　をあらかじめ頭の中で描いておいたうえで、
　　　　　それを前提として、具体的な 「n項述語」 「n変項命題関数」 を考えている。

　　　　・具体的な 「n項述語」 「n変項命題関数」 を考える際に前提となる

　　　　　　　《変項に代入する対象をとってくる範囲》
　　　　　　　ないし
　　　　　　　《変項が動く範囲》

　　　　　を、その変項の

　　　　　　・議論領域 domain of discourse
　　　　　　　　[野矢『論理学』p.96;野矢『入門！論理学』(p.207);戸田山6.1.1(p.134)]
　　　　　　・対象領域　[新井p.90-91;前原p.70;p.142]
　　　　　　・話題世界　[本橋p.7p.29]
　　　　　　・変域　[中谷p.99;中内p.77脚注;]
　　　　　　・変項の定義域　[松井p.36;p.154;中内p.77脚注]
　　　　　　・全体集合　[中谷p.76] 　

　　　　　等と呼ぶ。

　　　　・ n変項命題関数・n項述語「x1, x2, …, xnは～の関係にある」「x1, x2, …, xnは～という条件を満たす」では、
　　　　　　　　変項x1の議論領域X1　（変項x1に代入される対象の集合X1）
　　　　　　　　変項x2の議論領域X2　（変項x2に代入される対象の集合X2）
　　　　　　　　　　　：　　　　　　：
　　　　　　　　変項xnの議論領域Xn　（変項xnに代入される対象の集合Xn）
　　　　　というn個の議論領域が、あらかじめ設定されていなければならない。　　

　　　　・n変項命題関数・n項述語「x1, x2, …, xnは～の関係にある」「x1, x2, …, xnは～という条件を満たす」でやっている手続きを見直すと、
　　　　　　　Step1:議論領域X1から、そこに属す対象を一個選んで、変項x1に代入、
　　　　　　　　　　　議論領域X2から、そこに属す対象を一個選んで、変項x2に代入、
　　　　　　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　議論領域Xnから、そこに属す対象を一個選んで、変項xnに代入することで、
　　　　　　　　　　　《議論領域X1に属す対象》《議論領域X2に属す対象》…《議論領域Xnに属す対象》の組(x1, x2, …, xn)をつくる。　
　　　　　　　Step2:組(x1, x2, …, xn)に、一個の命題「x1, x2, …, xnは～という関係・条件を満たす」を対応づける。　
　　　　　という風になっている。

　　　　　だから、
　　　　　n変項命題関数・n項述語「x1, x2, …, xnは～という関係・条件を満たす」とは、
　　　　　　　《議論領域X1に属す対象》《議論領域X2に属す対象》…《議論領域Xnに属す対象》の組(x1, x2, …, xn)としてつくれるものすべてをあつめた集合
　　　　　　　　　　X1×X2×…×Xn ＝ { (x1, x2, …, xn) | x1∈X1 かつ x2∈X2 かつ … かつ xn∈Xn }
　　　　　　　から、　　　　
　　　　　　　《命題の集合》
　　　　　　　への写像　　　　　　　　　　　
　　　　　とみなしてよい。
　　　
　　　　・この意味で、
　　　　　「X1, X2, …, Xnを議論領域とするn変項命題関数・n項述語」は、
　　　　　「X1×X2×…×Xn上で定義されているn変項命題関数・n項述語」　　　　　　　　
　　　　　「X1×X2×…×Xn上のn変項命題関数・n項述語」
　　　　　とも表現される。　　[中谷p.77;p.135;p.137]　



→[n項述語・n変項命題関数：冒頭]
→[述語・命題関数：トピック一覧]
→[総目次]　


n変項命題関数・n項述語を表す記号：文から記号への翻訳

・n項述語・命題関数
　　　「x1, x2, …, xnは～の関係にある」
　　　「x1, x2, …, xnは～という条件を満たす」
　を記号に置き換えて表すときには、
　以下の手順に従う。




　【step1】
　　「x1, x2, …, xnは～の関係にある」の「～」
　　「x1, x2, …, xnは～という条件を満たす」の「～」
　　をPなどの《アルファベット大文字》に置き換えて、
　　　「x1, x2, …, xnはPの関係にある」[前原p.20;岡田光弘2008定義4.1脚注(p.30)]
　　　「x1, x2, …, xnは条件Pを満たす」[前原p.21?]
　　などと表す。

　【step2】
　　「x1, x2, …, xnはPの関係にある」の「はPの関係にある」の部分
　　「x1, x2, …, xnは条件Pを満たす」の「は条件Pを満たす」の部分
　　を
　　　P(　,　, … ,　)
　　などと表す。
　　　※　P(　,　,…,　)こそが、述語predicateと呼ぶにふさわしいので[前原p.５]、
　　　　　n項述語記号と呼ぶ。[岡田光弘2008定義4.1脚注(p.30)]。

　【step3】
　・n項述語・命題関数
　　「x1, x2, …, xnはPの関係にある」
　　「x1, x2, …, xnは条件Pを満たす」
　　は、
　　その変項x1, x2, …, xnを
　　その「はPの関係にある」「は条件Pを満たす」の部分を表す記号
　　　 P (　,　, … ,　)
　　の(　)内に入れて、　　　
　　　P(x1, x2, …, xn)
　　と表す。

→[n項述語・n変項命題関数：冒頭]
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→[総目次]　





n変項命題関数・n項述語を表す記号　：　記号から文への翻訳

・n項述語・命題関数を表す記号
　　P(x1, x2, …, xn)
　が、いきなりでてきたときは、
　これを、
　　「x1, x2, …, xnはPの関係にある」
　　「x1, x2, …, xnは条件Pを満たす」[前原p.21?]
　などと読む。




【文献】
　・前原昭二『記号論理入門』§7多変数(p.20;p.21?)

　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』定義4.1脚注(p.30)
　


n項述語・命題関数の具体例


【　n=1 のとき具体例　】

　→　1項述語・1変数命題関数の具体例　

【　n=2 のとき具体例　】

　→　2項述語・2変数命題関数の具体例　

【　n=３ のとき具体例　】

いろいろ文献を漁ってみたものの、
具体例は下記しか見当たらなかった。

【具体例1】
・「xはzの父親で、yはzの母親である」は、
  「xとyとzは、『xはzの父親で、yはzの母親であるという関係』にある」
　ということだから、
　三変項の命題関数・三項述語の一例。

【具体例2】
・「x gives y to z」は、
  「xとyとzは、『"x gives y to z"という関係』にある」
　ということだから、
　三変項の命題関数・三項述語の一例。





【文献】
　・前原昭二『記号論理入門』§7多変数(p.20)　　　　　　　

　・http://cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/logic/pred_logic/predicate/pred_intro.html:3項の例



・様々な対象を変項x,y,zへ代入するに応じて、
　三項述語・命題関数 「xとyとzは、『"x gives y to z"という関係』にある」は、様々な命題を表す。　
　　・変項xがNocchi,変項yがthe book,変項zがA-chanのとき、
　　　　三項述語・命題関数「xとyとzは、『"x gives y to z"という関係』にある」は、「Nocchiとthe bookとA-chanは、『"Nocchi gives the book to A-chan"という関係』にある」という命題を表す。　　　　　
　　・変項xがKashiyuka,変項yがa loaf of bread,変項zがNocchiのとき、
　　　　三項述語・命題関数「xとyとzは、『"x gives y to z"という関係』にある」は、「Kashiyukaとa loaf of breadとNocchiは、『"Kashiyuka gives a loaf of bread to Nocchi"という関係』にある」という命題を表す。　　　　　
　　・変項xがMikiko,変項yがa lecture,変項zがNocchiのとき、
　　　　三項述語・命題関数「xとyとzは、『"x gives y to z"という関係』にある」は、「Mikikoとa lectureとNocchiは、『"Mikiko gives a lecture to Nocchi"という関係』にある」という命題を表す。　
・三項述語・命題関数 「xとyとzは、『"x gives y to z"という関係』にある」の『"x gives y to z"という関係』を記号Pで表すことにすると、
　三項述語・命題関数 「xとyとzは、『"x gives y to z"という関係』にある」は、
　　「x,y,zはPの関係にある」
　となって、
　　記号「P(x,y,z)」で表せる。
　この記法に従うと、
　　P(Nocchi, the book, A-chan) は、「Nocchiとthe bookとA-chanは、『"Nocchi gives the book to A-chan"という関係』にある」という命題を表す。
　　P(Kashiyuka, a loaf of bread, Nocchi)は、「Kashiyukaとa loaf of breadとNocchiは、『"Kashiyuka gives a loaf of bread to Nocchi"という関係』にある」という命題を表す。
　　P(Nocchi, a lecture, A-chan) は、「Nocchiとa lectureとA-chanは、『"Nocchi gives a lecture to A-chan"という関係』にある」という命題を表す。


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