【ポイント】 ・「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」は、 |
| と言える《Sに属す対象》が、最低一個は存在する、 ないし、 《Sに属す対象》をうまく選んで変項xに代入することによって 「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、 変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」 |
【詳細】 ・∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)：/意味/読み ・バリエーション：省略形「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y,z)」/∃x∈内包的に定義された集合 ∀y∈内包的に定義された集合 P(x,y,z)/∃x∈外延的に定義された集合 ∀y∈外延的に定義された集合 P(x,y,z) ・∃x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」意味 |
| を成り立たせることができる、 という主張。 ・SもTも特定の対象に固定されている場合、 「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」は、zのみを変項とする1項述語。→詳細 （例） ・ ∃M∈R ∀n∈N (《数列》の第n項 ≦ M ) ・Sは特定の対象に固定、 Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、 「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」は、z,Tを変項とする2項述語。→詳細 （例） ・ ∃M∈R ∀x∈T （ f(x)≦M ） ・ ∃m∈R ∀x∈T （m≦ f (x) ） ・ ∃M∈(0,∞) ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） ・ ∃M∈ { 'x∈R | x'>0 } ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） 【詳細】 ・∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)：/意味/読み |
| ※三項述語二重量化一覧/多重量化一覧 ※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数 ※総目次 |
要旨
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詳細 〜 Sは特定の対象に固定、Tは変項である場合・Sは特定の対象に固定、 Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、 「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」とは、 下記手順でつくった述語・命題関数 「 ∃x∈S ( ∀y∈T P(x,y,z) ) 」 の略記。 【step1:普遍量化】 三項述語P(x,y,z)「x,y,zは関係・条件Pを満たす」 の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、 |
【具体例】 ・ ∃M∈R ∀x∈T （ f(x)≦M ） ・ ∃m∈R ∀x∈T （m≦ f (x) ） ・ ∃M∈(0,∞) ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） ・ ∃M＞０ ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） ・ ∃M∈ { 'x∈R | x'>0 } ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） |
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T,x,zを変項とする3項述語・3変項命題関数 「∀y∈T P(x,y,z)」 「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 をつくる。 【step2:存在量化】 step1で得られた 3項述語・3変項命題関数 「∀y∈T P(x,y,z)」 「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 の変項xを存在量化子で束縛して存在量化。 得られた、T,zを変項とする2項述語が、 「 ∃x∈S ( ∀y∈T P(x,y,z) ) 」 「『x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす』を成立させるxがSの中に存在する」 |
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・ P(x,y,z)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとするn項述語・n変数命題関数 ・ Sは「Xの部分集合」 ・ Tは「Yの部分集合」 とすると、 「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」は、 《Sに属す対象》をうまく選んで変項xに代入することによって 「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、 変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」 を成り立たせることができる、 |
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∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z) の読み下し例【英語】 There exists x∈S such that for all y∈T , P(x,y,z) . [新井３.２(p.125)改] There exists an element x in S such that for each y in T, the tuple (x,y,z) has property P. [De La Fuente,p.8改] 【日本語type1】 (1) ・「ある『Sに属す対象』xが存在して、 任意の『Tに属す対象』yに対しP(x,y,z)が成り立つ」 [松井2.6(p.38)改:"∃x∈R ∀y∈R xy=x"] ・「ある『Sに属す対象』xが存在し、 任意の『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)が成り立つ」 [新井３.２(p.９2)改：∃x∈N ∀y∈N x≦y ] [新井定義4.1：関数の有界の定義(p.134)] |
※関連事項： ・「∃x ∀y P(x,y)」 の読み ※具体例 ・ ∃M∈R ∀x∈T （ f(x)≦M ） ・ ∃m∈R ∀x∈T （m≦ f (x) ） ・ ∃M∈(0,∞) ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） ・ ∃M＞０ ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） ・ ∃M∈ { 'x∈R | x'>0 } ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ）
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| ・「ある『Sに属す対象』xが存在して、どの『Tに属す対象』yに対しても、P(x,y,z)が成り立つ」 [新井３.２改(p.125)] ・「まず最初に『Sに属す対象』xが存在する。そしてどんな『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y,z)が成立する。」 [井関(式2.5)(p.9)改: 「∃y∈R ∀x∈R (x<y) 」] ・「ある『Sに属す対象』xがあって、すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)である」 [中内『ろんりの練習帳』例2.6.1(p.103)改] ・「ある『Sに属す対象』xがあって、すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)が成り立つ」[本橋4.3p.70 をカスタマイズ] (2) ・「『Sに属す対象』を一つ凄く上手に選ぶと、実はどんな『Tに属す対象』yをもってきても、P(x,y,z)が成り立つ。」[松井2.6(p.38)改:"∃x∈R ∀y∈R xy=x"] ・「ある『Sに属す対象』xを選ぶと、すべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y,z)が成り立つ。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)改] (3) ・「まずはじめにある『Sに属す対象』xがとれて、つぎにどんな『Tに属す対象』yをとっても、つねにP(x,y,z)が成立する。」[井関1.2例1(5) (p.10)改: 「∃y∈Z ∀x∈Z (x＋y=x) 」] ・「ある『Sに属す対象』xをとると、すべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y,z)が成り立つ。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)改] (4) ・「ある『Sに属す対象』xについて、すべての『Tに属す対象』yについて、、P(x,y,z)である。」 [中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.143)改 ] 【日本語type2】 句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。 ・「"すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)である"を満たす『Sに属す対象』xがある。」 [本橋4.3p.70 をカスタマイズ] ・「『任意の《Tに属す対象》yについてP(x,y,z)』となる《Sに属す対象》xがある。」 [本橋4.3p.70 をカスタマイズ] ＊「任意の『Tに属す対象』yについて、P(x,y,z)となる『Sに属す対象』xがある」だと「∀y∈T ∃x∈S P(x,y,z) 」の意味になるので注意。 [本橋4.3p.70 をカスタマイズ] |
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・「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」 すなわち 「 ∃x∈S ( ∀y∈T P(x,y,z) ) 」 とは、 「 ∃ x ( x∈S かつ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) ) 」の省略表現。 |
※関連事項： ・∀x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」意味 ・∃x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」意味 ・∀x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」意味 |
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| 集合Sの内包がS'、 つまり、 S＝{ x | S'(x) } 、 集合Tの内包がT'、 つまり、 T＝{ y | T'(y) } 、 との設定のもと、 「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」すなわち「 ∃x∈S ( ∀y∈T P(x,y,z) ) 」 は、 「 ∃ x ( S'(x) かつ ∀y∈T P(x,y,z) ) 」 さらには、 「 ∃ x ( S'(x) かつ ∀y ( T'(y) ⇒P(x,y) ) ) 」 "性質・条件T'を満たすすべてのyについてP(x,y,z)が成り立つ" という条件を満たすxが、S'(x)を満たすxのなかに存在する [本橋『新しい論理序説』4.5(p.74)] に言い換えてよい。 |
※関連事項： ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」意味
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| ・S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn } T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn } であるとき、 「∃x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」すなわち「 ∃x∈S ( ∀y∈T P(x,y,z) ) 」 は、 「『 P(s1,t1,z) かつ P(s1,t2,z) かつ … かつ P(sn,tn,z) 』 または 『 P(s2,t1,z) かつ P(s2,t2,z) かつ … かつ P(s2,tn,z) 』 または ： または 『 P( sn ,t1,z) かつ P( sn ,t2,z) かつ … かつ P(sn,tn,z)』」 に言い換えてよい。 ・つまり、 ∃x∈{ s1, s2, …, sn } ∀y∈ { t1, t2, … , tn } P(x,y,z) ⇔ （ P(s1,t1,z) ∧ P(s1,t2,z) ∧ … ∧ P(sn,tn,z)） ∨（ P(s2,t1,z) ∧ P(s2,t2,z) ∧ … ∧ P(s2,tn,z)）∨… …∨（ P( sn ,t1,z) ∧ P( sn ,t2,z) ∧ … ∧ P(sn,tn,z)） |
※関連事項： ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」意味 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」意味 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」意味
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| 【設定】 ・P(x,y,z)は 変項xの議論領域をX , 変項yの議論領域をY , 変項zの議論領域をZ とする3項述語・3変数命題関数 【本題】 ・「 ∃ S'(x) ∀y∈T P(x,y,z)」 たとえば、 Rを変項xの議論領域とした際の「∃ x>0 ∀y∈T P(x,y,z)」 は、 下記表現aないし表現bのの省略表現。 |
※基礎 ・「∃ 条件式 n項述語」 ※具体例： ・ ∃M＞０ ∀x∈T （ | f (x) | ≦ M ） ※類似例： ・省略形「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y)」 |
【表現a】 ∃ x∈ { x∈X | S'(x) } ∀y∈T P(x,y,z) ｜ この《S'(x)の真理集合に属す対象》を変項xに代入すると、 ｜ 「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」 ｜ が真になる と言える《S'(x)の真理集合に属す対象》が、最低一個は存在する、 上記の例では、 「∃ x∈ { x∈R | x>0 } ∀y∈T P(x,y,z)」 ｜ この《「x>0」の真理集合に属す対象》を変項xに代入すると、 ｜ 「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」 ｜ が真になる と言える《「x>0」の真理集合に属す対象》が、最低一個は存在する、 【表現b】 ∃x ( S'(x) かつ ∀y∈T P(x,y,z) ) 少なくとも一つの対象が、xの議論領域Xのなかには存在し、 その対象は、xに代入されると、 条件S'を成り立たせ、 かつ 「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」を成り立たせる。 上記の例では、 「∃x ( x>0 かつ ∀y∈T P(x,y,z) )」 xに代入されると、 《x>0を満たし、かつ、「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」と言える》対象が、 xの議論領域Xのなかに少なくとも一つは存在する |
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