三項述語の二重量化「∃xSyT  P(x,y,z)   


【ポイント】

・「xSyT P(x,y,z)は、


  | この《Sに属す対象》を変項xに代入すると、
  |  「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」
  | が真になる

 と言えるSに属す対象》が、最低一個は存在する、

 ないし、

 《Sに属す対象》をうまく選んで変項xに代入することによって

  「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、
    変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」
【詳細】
 ・∃xSyT P(x,y,z):定義/意味/読み
 ・バリエーション:省略形「∃S'(x) ∀yT P(x,y,z)」/x∈内包的に定義された集合 ∀y∈内包的に定義された集合 P(x,y,z)/x∈外延的に定義された集合 ∀y∈外延的に定義された集合 P(x,y,z) 
 ・xSyTの定義に遡った「∃xSyT P(x,y,z)意味

 を成り立たせることができる、
 という主張。

STも特定の対象に固定されている場合、
 「xSyT P(x,y,z)」は、zのみを変項とする1項述語。→詳細

 (例)
  ・ MR  ∀nN  (《数列》の第n M )  

Sは特定の対象に固定、
 Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、
 「xSyT P(x,y,z)」は、z,Tを変項とする2項述語。→詳細

 (例)
  ・ MRxTf(x)≦M
  ・ mRxTmf (x) )
  ・ M∈(0,∞) ∀xT ( | f (x) | ≦ M
  ・ M∈ { 'xRx'>0  } ∀xT ( | f (x) | ≦ M

【詳細】

・∃xSyT P(x,y,z):定義/意味/読み
 ・バリエーション:x∈内包的に定義された集合 ∀y∈内包的に定義された集合 P(x,y,z) 
       x∈外延的に定義された集合 ∀y∈外延的に定義された集合 P(x,y,z)
        省略形「∃S'(x) ∀yT P(x,y,z)」    
 ・xSyTの定義に遡った「∃xSyT P(x,y,z)意味

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 ※総目次


「∃xSyT  P(x,y,z)」 の定義



  要旨

 「xSyT P(x,y,z)は、

  P(x,y,z)普遍量化存在量化した

   「 xS ( yT  P(x,y,z) )

 を表す。



詳細 〜 STも特定の対象に固定されている場合  

・「xSyT P(x,y,z)」とは、

 下記手順でつくった述語・命題関数 

  「 xS ( yT  P(x,y,z) ) 」 

 の略記。

  【step1:普遍量化】  
 
  三項述語P(x,y,z)x,y,zは関係・条件Pを満たす
  の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、





【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74) 
 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∃x∈R ∀y∈R xy=x ; 5.5(pp.176-186)
 ・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(p.9): 「∃yRxR  (x<y) 」
          1.2 例1(5) (p.10): 「∃yZxZ   (xy=x) 」  
 ・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あり:f(x,y)=0,n<p素数自然数、どの人の帽子にもある印がついている
 ・中内『ろんりの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y) 
 ・新井紀子『数学は言葉』∃xNyN xy (p.92);
 ●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。

【関連事項】 
  ・「∃xy  P(x,y)」 の定義 
  ・「∀xS ∀yT P(x,y)の定義/「∃xS ∃yT P(x,y)の定義/「∀xS ∃yT P(x,y)定義 


 

     x,zを変項とする2項述語・2変項命題関数 「yT  P(x,y,z)」  「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす
     をつくる。

     【step2:存在量化】  

     step1で得られた
     2項述語・2変項命題関数yT  P(x,y,z)」 「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 
     の変項xを存在量化子で束縛して存在量化

     得られたzのみを変項とする1項述語が、
        「 xS ( yT  P(x,y,z) ) 」  「『x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす』を成立させるxSの中に存在する」



詳細 〜 Sは特定の対象に固定、Tは変項である場合  

Sは特定の対象に固定、
 Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、

 「xSyT P(x,y,z)」とは、

 下記手順でつくった述語・命題関数 

  「 xS ( yT  P(x,y,z) ) 」 

 の略記。

  【step1:普遍量化】 
 
  三項述語P(x,y,z)x,y,zは関係・条件Pを満たす
  の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、



 【具体例】
  ・ MRxTf(x)≦M
  ・ mRxTmf (x) )
  ・ M∈(0,∞) ∀xT ( | f (x) | ≦ M
  ・ M>0  ∀xT ( | f (x) | ≦ M
  ・ M∈ { 'xRx'>0  } ∀xT ( | f (x) | ≦ M


  T,x,zを変項とする3項述語・3変項命題関数 「yT  P(x,y,z)」  「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす
  をつくる。

  【step2:存在量化】  

  step1で得られた
  3項述語・3変項命題関数 「yT  P(x,y,z)」  「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 
  の変項xを存在量化子で束縛して存在量化

  得られた、T,zを変項とする2項述語が、
   「 xS ( yT  P(x,y,z) ) 」 「『x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす』を成立させるxSの中に存在する」




xSyT P(x,y,z) 
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「∃xSyT  P(x,y,z)」 の意味 



 ・ P(x,y,z)は、変項xの議論領域X, 変項yの議論領域Yとするn項述語・n変数命題関数
 ・ Sは「X部分集合
 ・ Tは「Y部分集合

とすると、 


xSyT P(x,y,z)は、 

  《Sに属す対象》をうまく選んで変項xに代入することによって

  「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、
    変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」

  を成り立たせることができる、





【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74) 
 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∃x∈R ∀y∈R xy=x; 5.5(pp.176-186)
 ・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(p.9): 「∃yRxR  (x<y) 」
          1.2 例1(5) (p.10): 「∃yZxZ   (xy=x) 」    
 ・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あり:f(x,y)=0,n<p素数自然数、どの人の帽子にもある印がついている
 ・中内『ろんりの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y) 
 ・新井紀子『数学は言葉』∃xNyN xy (p.92);


 



 さらに言うと、


  | この《Sに属す対象》を変項xに代入すると、
  |  「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」
  | が真になる

  と言えるSに属す対象》が、最低一個は存在する、
 
  という意味の述語・命題関数

STも特定の対象に固定されている場合、「xSyT P(x,y,z)」は、zのみを変項とする1項述語。→詳細

 例:「《数列》が上に有界」  ∃MR  ∀nN  (《数列》の第n M )  

Sは特定の対象に固定、Tは変項で様々な対象が代入される場合、「xSyT P(x,y,z)」は、z,Tを変項とする2項述語。→詳細

 (例)
  ・ MRxTf(x)≦M
  ・ mRxTmf (x) )
  ・ M∈(0,∞) ∀xT ( | f (x) | ≦ M
  ・ M>0  ∀xT ( | f (x) | ≦ M
  ・ M∈ { 'xRx'>0  } ∀xT ( | f (x) | ≦ M



xSyT P(x,y,z) 
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読み下し例


xSyT P(x,y,z) の読み下し例


【英語】


 There exists xS such that for all yT , P(x,y,z) .
    [新井3.2(p.125)改]

  There exists an element x in S such that for each y in T,
  the tuple (x,y,z) has property P [De La Fuente,p.8改]

【日本語type1】  

(1)

・「ある『Sに属す対象』xが存在して、
   任意の『Tに属す対象』yに対しP(x,y,z)が成り立つ」
    [松井2.6(p.38)改:"∃xRyR xy=x"]

・「ある『Sに属す対象』xが存在し、
   任意の『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)が成り立つ」
    [新井3.2(p.92)改:∃xNyN xy ]
    [新井定義4.1:関数の有界の定義(p.134)]



関連事項: 
  ・「∃xy  P(x,y)」 の読み 
 
具体例

  ・ MRxTf(x)≦M
  ・ mRxTmf (x) )
  ・ M∈(0,∞) ∀xT ( | f (x) | ≦ M
  ・ M>0  ∀xT ( | f (x) | ≦ M
  ・ M∈ { 'xRx'>0  } ∀xT ( | f (x) | ≦ M





【文献】
 ・新井紀子『数学は言葉』定義4.1:関数の有界の定義(p.134));


 


・「ある『Sに属す対象』xが存在して、どの『Tに属す対象』yに対しても、P(x,y,z)が成り立つ」 [新井3.2改(p.125)]

・「まず最初に『Sに属す対象』xが存在する。そしてどんな『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y,z)が成立する。」 [井関(式2.5)(p.9)改: 「∃yRxR (x<y) 」]

・「ある『Sに属す対象』xがあって、すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)である」 [中内『ろんりの練習帳』例2.6.1(p.103)改]

・「ある『Sに属す対象』xがあって、すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)が成り立つ」[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

(2)

・「『Sに属す対象』を一つ凄く上手に選ぶと、実はどんな『Tに属す対象』yをもってきても、P(x,y,z)が成り立つ。」[松井2.6(p.38)改:"∃xRyR xy=x"]

・「ある『Sに属す対象』xを選ぶと、すべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y,z)が成り立つ。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)改]

(3)

・「まずはじめにある『Sに属す対象』xがとれて、つぎにどんな『Tに属す対象』yをとっても、つねにP(x,y,z)が成立する。」[井関1.2例1(5) (p.10)改: 「∃yZxZ  (xy=x) 」]

・「ある『Sに属す対象』xをとると、すべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y,z)が成り立つ。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)改]

(4)

・「ある『Sに属す対象』xについて、すべての『Tに属す対象』yについて、、P(x,y,z)である。」  [中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.143)改 ]


【日本語type2】
 句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

・「"すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y,z)である"を満たす『Sに属す対象』xがある。」  [本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

・「『任意の《Tに属す対象》yについてP(x,y,z)』となる《Sに属す対象》xがある。」   [本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

 *「任意の『Tに属す対象』yについて、P(x,y,z)となる『Sに属す対象』xがある」だと「yTxS P(x,y,z) 」の意味になるので注意。 [本橋4.3p.70 をカスタマイズ]



xSyT P(x,y,z) 
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xSyTの定義に遡った「∃xSyT P(x,y,z)意味 



・「xSyT P(x,y,z)

 すなわち
 「 xS ( yT  P(x,y,z) )


 とは、

 「 x ( xS かつ y ( yT P(x,y,z) ) ) 」の省略表現。  


          

関連事項:
 ・xS,∀yTの定義に遡った「∀xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・xS,∃yTの定義に遡った「∃xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・xS,∃yTの定義に遡った「∀xS ∃yT P(x,y)意味 








xSyT P(x,y,z) 
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集合S,Tが内包的に定義された場合の「∃xSyT P(x,y,z)意味 


 集合Sの内包S'、 つまり、 S{ x | S'(x) } 、 
 集合Tの内包T'、 つまり、 T{ y | T'(y) }
 との設定のもと、 

 「xSyT P(x,y,z)すなわち「 xS ( yT  P(x,y,z) )

 は、

 「 x ( S'(x) かつ yT  P(x,y,z) ) 」 

 さらには、

 「 x ( S'(x) かつ y ( T'(y) P(x,y) ) ) 」 

   "性質・条件T'を満たすすべてのyについてP(x,y,z)が成り立つ"
   という条件を満たすxが、S'(x)を満たすxのなかに存在する
    [本橋『新しい論理序説』4.5(p.74)]    

 に言い換えてよい。

  
関連事項:
 
 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃xS ∃yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀xS ∃yT P(x,y)意味 







【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74) 


 




xSyT P(x,y,z) 
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集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃xSyT P(x,y,z)意味 


S有限集合 { s1 , s2 , … , sn }
 T有限集合 { t1 , t2 , … , tn }
 であるとき、 

 「xSyT P(x,y,z)すなわち「 xS ( yT  P(x,y,z) )

 は、

 「『 P(s1,t1,z) かつ P(s1,t2,z) かつかつ P(sn,tn,z)
   または  
  『 P(s2,t1,z) かつ P(s2,t2,z) かつかつ P(s2,tn,z)
   または 
    : 
   または 
  『 P( sn ,t1,z) かつ P( sn ,t2,z) かつかつ P(sn,tn,z)』」

 に言い換えてよい。

・つまり、
 x∈{ s1, s2, …, sn } ∀y∈ { t1, t2, … , tn  } P(x,y,z)
 
   ( P(s1,t1,z) P(s1,t2,z)  P(sn,tn,z)
      P(s2,t1,z) P(s2,t2,z) P(s2,tn,z)
     …( P( sn ,t1,z)   P( sn ,t2,z)  P(sn,tn,z)


※関連事項:
 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃xS ∃yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀xS ∃yT P(x,y)意味 





【文献−数学一般】

 ・中内『ろんりの練習帳』定理2.6.3の証明のなかを参照(pp.105): 


 





xSyT P(x,y,z) 
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省略形「∃ S(x) ∀yT P(x,y,z) 


【設定】

 ・P(x,y,z)
  変項xの議論領域X ,
  変項yの議論領域Y ,
  変項zの議論領域Z
  とする3項述語・3変数命題関数 

【本題】

・「 S'(x) yT P(x,y,z)

  たとえば、
   R変項xの議論領域とした際の x>0 yT P(x,y,z)

 は、

 下記表現aないし表現bのの省略表現。

※基礎

 ・「∃ 条件式 n項述語

※具体例:
  ・ M>0  ∀xT ( | f (x) | ≦ M


※類似例:
  ・省略形「∃S'(x) ∀yT P(x,y)」 


 【表現a  x { xX | S'(x) }  yT P(x,y,z)   

             | この《S'(x)真理集合に属す対象》を変項xに代入すると、
             |  「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」
             | が真になる

          と言えるS'(x)真理集合に属す対象》が、最低一個は存在する、

        上記の例では、 x { xR |  x>0  } yT P(x,y,z) 


             | この《x>0」の真理集合に属す対象》を変項xに代入すると、
             |  「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」
             | が真になる

          と言えるx>0」の真理集合に属す対象》が、最低一個は存在する、


 【表現b  x ( S'(x) かつ yT  P(x,y,z)  )  

        少なくとも一つの対象が、xの議論領域Xのなかには存在し、
        その対象は、xに代入されると、
         条件S'を成り立たせ
         かつ  
         「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」を成り立たせる。
 
       上記の例では、 x ( x>0 かつ yT  P(x,y,z) )   
           xに代入されると、
            《x>0を満たしかつ、「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」と言える》対象が、
             xの議論領域Xのなかに少なくとも一つは存在する



xSyT P(x,y,z) 
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