二項述語の二重量化「∃x∈S ∃y∈T  P(x,y)」 　　：　トピック一覧


・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の定義
・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味
・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の読み下し例
・∃x∈S ∃y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　
・集合S,Tが内包的に定義された場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　
・集合S,Tが外延的に定義された場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味
　

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「∃x∈S ∃y∈T  P(x,y)」　の定義



【要旨】

　「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」は、

　 P(x,y)を2回存在量化した
　　　「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」
　を表す。


【詳細】

　「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった命題「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」の略記。


　　【step1:存在量化1回目】　　
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを存在量化子で束縛して存在量化し、

　　変項xのみを含む一項述語　∃y∈T  P(x,y) 　
　　　　　「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。

 ※関連事項：　
　・∃x ∃y P(x,y)の定義　　　
　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の定義/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の定義/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の定義　


【文献−数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3存在量化子による二重量化(pp.60-61)限定なし議論領域設定例あり:x2+y2=1;xn<0
　・中内『ろんりの練習帳』2.5(pp.100-2):"∃x∃y":例2.5.3友人、例2.5.7恋人どおし:
　・新井紀子『数学は言葉』2.3脚注8(p.57);例題3.2.7∃m∈Z ∃n∈N(x=m/n) (pp.81-2);
　・井関『集合と論理』1.2 例1(2) (p.10): 「∃x,y∈Z  (x<y) 」
　　

　


　　【step2:存在量化2回目】　　

　　step1で得られた
　　変項xのみを含む一項述語　∃y∈T  P(x,y)
　　　　　「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xも存在量化子で束縛して存在量化。

　　得られた命題が

　　　∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )　
　　　「あるyにたいして関係・条件Pを満たすxが存在する。」

【具体例】　
　　→「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」
　　→「∃x∈S ∃y∈T ( yはxの師匠 )」
　　→「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」


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「∃x∈S ∃y∈T  P(x,y)」 　の意味



　・　P(x,y)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数
　・　Sは「Xの部分集合」
　・　Tは「Yの部分集合」

　とすると、　

　「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」　すなわち　「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」　は、
　
　以下を主張する命題。
　　　　　　
　「《部分集合Sに属す対象》《部分集合Tに属す対象》をそれぞれうまく選んで、
　　《部分集合Sに属す対象》を変項xへ、
　　《部分集合Tに属す対象》を変項yへ代入することによって、
　　x-y間の関係・条件P(x,y) を成り立たせることができる」


※具体例
　　→「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」
　　→「∃x∈S ∃y∈T ( yはxの師匠 )」
　　→「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」

 ※関連事項：　
　・∃x ∃y P(x,y)の意味　　　
　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献−数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章;§3存在量化子による二重量化(pp.60-61)限定なし議論領域設定例あり
　・中内『ろんりの練習帳』2.5(pp.100-2):"∃x∃y":例2.5.3友人、例2.5.7恋人どおし:
　・井関『集合と論理』1.2 例1(2) (p.10): 「∃x,y∈Z  (x<y) 」

　



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「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の読み下し例


【type1】
　
・「ある『Sに属す対象』xとある『Tに属す対象』y を選ぶと、P(x,y)。」
　　　　　　　　　　　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.60)]　
・「ある『《Sに属す対象》と《Tに属す対象》との組』(x,y)をとれば、P(x,y)が成立する。」
　　　　　　　　　　　　　　　[井関1.2 例1(2) (p.10): 「∃x,y∈Z  (x<y) 」]

・「適当な『Sに属す対象』x,『Tに属す対象』y を選ぶと、P(x,y)。」
　　　　　　　　　　　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.59)]　　


【type2】

・「P(x,y)となるような『Sに属す対象』xと『Tに属す対象』y が存在する。」
　　　　　　　　　　　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.61)]　


【その他】
　
・「ある『Sに属す対象』x0とある『Tに属す対象』y0がとれ、このx0,y0にたいして、P(x,y)が真のとき、このときにかぎって真になる命題を表す 」[井関1.5 (pp.28-29)]


※具体例　

　・「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」
　・「∃x∈S ∃y∈T ( yはxの師匠 )」
　・「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」
　

　　
 ※関連事項：　
　・∃x ∃y P(x,y)の読み　　　
　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の読み/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の読み/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の読み　


【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』2.5(pp.100-2):"∃x∃y":例2.5.3友人、例2.5.7恋人どおし:
　・井関『集合と論理』1.2 例1(2) (p.10): 「∃x,y∈Z  (x<y) 」
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3存在量化子による二重量化(pp.60-61)限定なし議論領域設定例あり

　






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∃x∈S ∃y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　



・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」　は、

　「 ∃x ( x∈S　かつ　∃y ( y∈TかつP(x,y) ) ) 」の省略表現。　　

　　

※なぜ？「∃y∈T  P(x,y)」「 ∃x∈S Q(x) 」のそもそもの定義に立ち返ると一目瞭然。


【step1】 「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」 ⇔「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」　

　　　　「y∈T  P(x,y)」は「 ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) 」の省略表現であるから、

　　 　　「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」は、
　　　　　　「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」　　
　　　　の省略表現。

【step2】 「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」⇔「∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」

　　　　「 ∃x∈S Q(x) 」は「 ∃ x ( x∈S　かつ　Q(x) ) 」の省略表現であるから、
　　　　　　
 　　　　Q(x) に「∃y ( y∈TかつP(x,y) )」を代入した　　　

　　　　「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」は、
　
　　　　「∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」の省略表現。

【step3】　結論
　
　　　　step1,step2でおこなった考察を合わせると、
　　　　「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」⇔「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」
　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」
 
※関連事項：
　・∀x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∃x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∀x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　




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集合S,Tが内包的に定義された場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　


・集合Sの内包がS'であるとき、　つまり、 S＝{ x | S'(x) } であるとき、　
　集合Tの内包がT'であるとき、　つまり、 T＝{ y | T'(y) } であるとき、　

　「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」は、

　「 ∃x ( S'(x) かつ　∃y ( T'(y) かつP(x,y) ) ) 」
　　 
　に言い換えてよい。

※なぜ？

　・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」は、
　　　「 ∃x ( x∈S　かつ　∃y ( y∈TかつP(x,y) ) ) 」…(1)
　　の省略表現（∵）。　

　・この設定の下では、 S＝{ x | S'(x) } とされているので、　
　　　x∈Sは、x∈{ x | S'(x) }に言い換えてよい。
　　また、x∈{ x | S'(x) }　は、S'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、x∈Sは、S'(x)に言い換えてよい。…(2)

　・この設定の下では、T＝{ y | T'(y) } とされているので、　
　　　y∈Tは、y∈{ y | T'(y) } に言い換えてよい。
　　また、y∈{ y | T'(y) } は、T'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、y∈Tは、T'(x)　に言い換えてよい。…(3)

　・(2)(3)により、
　　「 ∃x ( x∈S　かつ　∃y ( y∈TかつP(x,y) ) ) 」…(1)
　　は、
　　「 ∃x ( S'(x) かつ　∃y ( T'(y) かつP(x,y) ) ) 」
　　に言い換えてよい。

 ※関連事項：
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　





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集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　


・S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn }
　T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn }
　であるとき、　

　「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」　は、

　「『P( s1 ,t1) または　 P( s1 ,t2 ) または　 … または P(s1,tn)』
　　または　
　　『P( s2 ,t1) または　 P( s2 ,t2 ) または　 … または  P(s2,tn)』
　　または　　
　　：
　　または　　
　　『P( sn ,t1) または  P( sn ,t2 )  または  …  または  P(sn,tn)』」

　に言い換えてよい。


※なぜ？

　・この設定の下では、 T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn } とされているので、
　　
　　「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T  P(x,y) )」 は、
　　
　　　「　∃x∈S ( P(x,t1) または P(x,t2) または … または P(x,tn) )　」…(式1)

　　　に言い換えてよい。（∵）。　

　・この設定の下では、S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、
　　
　　(式1)　「　∃x∈S ( P(x,t1) または P(x,t2) または … または P(x,tn) )　」は、
　　　
　　　「『P( s1 ,t1) または　 P( s1 ,t2 ) または　 … または P(s1,tn)』
　　　または　
　　　『P( s2 ,t1) または　 P( s2 ,t2 ) または　 … または  P(s2,tn)』
　　　または　　
　　　：
　　　または　　
　　　『P( sn ,t1) または  P( sn ,t2 )  または  …  または  P(sn,tn)』」…(式2)

　　　に言い換えてよい（∵）。　
※関連事項：
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』定理2.5.4証明のなかを参照(p.101); 注意2.4.4(p.95)

　





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「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の別表現　　〜　順序対・直積を用いて。　



・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 　は、

　「∃(x,y) ∈S×T  P(x,y) 」

　と表現してもよい。

※なぜ？　→　2項述語を1項述語として解釈〜順序対　　　　


※具体例
　「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」　
　「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」
※関連：「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」のケース　　　　


【文献】

　・井関『集合と論理』1.2 例1(2) (p.10): 「∃x,y∈Z  (x<y) 」