・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 ・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 ・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 読み下し例 ・∃x∈S ∃y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが内包的に定義された場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが外延的に定義された場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 ※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧 ※論理関連ページ:古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数 ※総目次 |
【要旨】 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」は、 P(x,y)を2回存在量化した 「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」 を表す。 【詳細】 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」とは、 下記手順でつくった命題「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」の略記。 【step1:存在量化1回目】 二項述語P(x,y) 「x,yは関係・条件Pを満たす」 の変項yを存在量化子で束縛して存在量化し、 変項xのみを含む一項述語 ∃y∈T P(x,y) 「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」 をつくる。 |
※関連事項: ・∃x ∃y P(x,y)の定義 ・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」/「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/ 定義「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 定義
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【step2:存在量化2回目】 step1で得られた 変項xのみを含む一項述語 ∃y∈T P(x,y) 「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」 の変項xも存在量化子で束縛して存在量化。 得られた命題が ∃x∈S (∃y∈T P(x,y) ) 「あるyにたいして関係・条件Pを満たすxが存在する。」 【具体例】 →「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」 →「∃x∈S ∃y∈T ( yはxの師匠 )」 →「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」 |
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・ P(x,y)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数 ・ Sは「Xの部分集合」 ・ Tは「Yの部分集合」 とすると、 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 すなわち 「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」 は、 以下を主張する命題。 「《部分集合Sに属す対象》《部分集合Tに属す対象》をそれぞれうまく選んで、 《部分集合Sに属す対象》を変項xへ、 《部分集合Tに属す対象》を変項yへ代入することによって、 x-y間の関係・条件P(x,y) を成り立たせることができる」 ※具体例 →「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」 →「∃x∈S ∃y∈T ( yはxの師匠 )」 →「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」 |
※関連事項: ・∃x ∃y P(x,y)の意味 ・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」/ 意味「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/ 意味「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
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【type1】 ・「ある『Sに属す対象』xとある『Tに属す対象』y を選ぶと、P(x,y)。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.60)] ・「ある『《Sに属す対象》と《Tに属す対象》との組』(x,y)をとれば、P(x,y)が成立する。」 [井関1.2 例1(2) (p.10): 「∃x,y∈Z (x<y) 」] ・「適当な『Sに属す対象』x,『Tに属す対象』y を選ぶと、P(x,y)。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.59)] 【type2】 ・「P(x,y)となるような『Sに属す対象』xと『Tに属す対象』y が存在する。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.61)] 【その他】 ・「ある『Sに属す対象』x0とある『Tに属す対象』y0がとれ、このx0,y0にたいして、P(x,y)が真のとき、このときにかぎって真になる命題を表す 」[井関1.5 (pp.28-29)] ※具体例 ・「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」 ・「∃x∈S ∃y∈T ( yはxの師匠 )」 ・「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」 |
※関連事項: ・∃x ∃y P(x,y)の読み ・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」/ 読み「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」
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・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」 は、 「 ∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) ) 」の省略表現。 ※なぜ?「∃y∈T P(x,y)」「 ∃x∈S Q(x) 」のそもそもの定義に立ち返ると一目瞭然。 【step1】 「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」 ⇔「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」 「y∈T P(x,y)」は「 ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) 」の省略表現であるから、 「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」は、 「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」 の省略表現。 【step2】 「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」⇔「∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」 「 ∃x∈S Q(x) 」は「 ∃ x ( x∈S かつ Q(x) ) 」の省略表現であるから、 Q(x) に「∃y ( y∈TかつP(x,y) )」を代入した 「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」は、 「∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」の省略表現。 【step3】 結論 step1,step2でおこなった考察を合わせると、 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」⇔「∃x∈S ( ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」 ⇔「∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) )」 |
※関連事項: ・∀x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・∃x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・∀x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 |
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・集合Sの内包がS'であるとき、 つまり、 S={ x | S'(x) } であるとき、 集合Tの内包がT'であるとき、 つまり、 T={ y | T'(y) } であるとき、 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」は、 「 ∃x ( S'(x) かつ ∃y ( T'(y) かつP(x,y) ) ) 」 に言い換えてよい。 ※なぜ? ・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」は、 「 ∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) ) 」…(1) の省略表現(∵)。 ・この設定の下では、 S={ x | S'(x) } とされているので、 x∈Sは、x∈{ x | S'(x) }に言い換えてよい。 また、x∈{ x | S'(x) } は、S'(x)に言い換えてよい(∵)。 以上二点より、設定下、x∈Sは、S'(x)に言い換えてよい。…(2) ・この設定の下では、T={ y | T'(y) } とされているので、 y∈Tは、y∈{ y | T'(y) } に言い換えてよい。 また、y∈{ y | T'(y) } は、T'(x)に言い換えてよい(∵)。 以上二点より、設定下、y∈Tは、T'(x) に言い換えてよい。…(3) ・(2)(3)により、 「 ∃x ( x∈S かつ ∃y ( y∈TかつP(x,y) ) ) 」…(1) は、 「 ∃x ( S'(x) かつ ∃y ( T'(y) かつP(x,y) ) ) 」 に言い換えてよい。 |
※関連事項: ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 |
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・S=有限集合 { s1 , s2 , … , sn } T=有限集合 { t1 , t2 , … , tn } であるとき、 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」 は、 「『P( s1 ,t1) または P( s1 ,t2 ) または … または P(s1,tn)』 または 『P( s2 ,t1) または P( s2 ,t2 ) または … または P(s2,tn)』 または : または 『P( sn ,t1) または P( sn ,t2 ) または … または P(sn,tn)』」 に言い換えてよい。 ※なぜ? ・この設定の下では、 T=有限集合 { t1 , t2 , … , tn } とされているので、 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∃y∈T P(x,y) )」 は、 「 ∃x∈S ( P(x,t1) または P(x,t2) または … または P(x,tn) ) 」…(式1) に言い換えてよい。(∵)。 ・この設定の下では、S=有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、 (式1) 「 ∃x∈S ( P(x,t1) または P(x,t2) または … または P(x,tn) ) 」は、 「『P( s1 ,t1) または P( s1 ,t2 ) または … または P(s1,tn)』 または 『P( s2 ,t1) または P( s2 ,t2 ) または … または P(s2,tn)』 または : または 『P( sn ,t1) または P( sn ,t2 ) または … または P(sn,tn)』」…(式2) に言い換えてよい(∵)。 |
※関連事項: ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
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・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 は、 「∃(x,y) ∈S×T P(x,y) 」 と表現してもよい。 ※なぜ? → 2項述語を1項述語として解釈〜順序対 ※具体例 「∃x∈S ∃y∈T ( x loves y )」 「∃n∈S ∃x∈T ( n>x )」 |
※関連:「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」
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