【ポイント】 「∀x∃y P(x,y)」は、 「どの《議論領域Xに属す対象》を選んで変項xへ代入しても、 その《議論領域Xに属す対象》に応じて、 《議論領域Yに属す対象》をうまく選んで 変項yへ代入してあげることによって、 x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」 という主張。 【詳細】 ・「∀x∃y P(x,y)」 ・「∀x∃y P(x,y)」 意味 ・「∀x∃y P(x,y)」 読み下し例 ※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧 ※論理関連ページ:古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数 ※総目次 |
【要旨】 「∀x∃y P(x,y)」は、 P(x,y)の存在量化を普遍量化した 「∀x (∃y P(x,y) )」 を表す。 【詳細】 「∀x∃y P(x,y)」とは、 下記手順でつくった命題「∀x (∃y P(x,y) )」の略記。 【step1:存在量化】 二項述語P(x,y) 「x,yは関係・条件Pを満たす」 の変項yを存在量化子で束縛して存在量化し、 変項xのみを含む一項述語 ∃y P(x,y) 「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」 をつくる。 |
※関連事項: ・「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の定義 ・「∀x∀y P(x,y)」/「∃x∀y P(x,y)」/「∃x∃y P(x,y)」
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【step2:普遍量化】 step1で得られた 変項xのみを含む一項述語 ∃y P(x,y) 「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」 の変項xを全称量化子で束縛して普遍量化。 得られた命題が ∀x (∃y P(x,y) ) 「すべてのxは、あるyにたいして、関係・条件Pを満たす。」 ※具体例 → 「∀x∃y ( x loves y )」 / 「∀y∃x ( x loves y )」 → 「∀x∃y ( yはxの師匠 )」 / 「∀y∃x ( yはxの師匠 )」 →「∀n∃x ( n>x )」/「∀x∃n ( n>x )」 |
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P(x,y)を、 変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数とすると、 「∀x∃y P(x,y)」すなわち「∀x (∃y P(x,y) )」は、 「どの《議論領域Xに属す対象》を選んで変項xへ代入しても、 その《議論領域Xに属す対象》に応じて、 《議論領域Yに属す対象》をうまく選んで変項yへ代入してあげることによって、 x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」 と主張する命題を意味する。 ※具体例 → 「∀x∃y ( x loves y )」 / 「∀y∃x ( x loves y )」 → 「∀x∃y ( yはxの師匠 )」 / 「∀y∃x ( yはxの師匠 )」 →「∀n∃x ( n>x )」/「∀x∃n ( n>x )」 |
※関連事項: ・「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味 ・「∀x∀y P(x,y)」/ 意味「∃x∀y P(x,y)」/ 意味「∃x∃y P(x,y)」 意味
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「∀x∃y P(x,y)」というかたち※具体例 → 「∀x∃y ( x loves y )」 → 「∀x∃y ( yはxの師匠)」 →「∀n∃x ( n>x )」 【英語】 ・For all x, there exists y such that P(x,y). [新井4.1p.124] ・For all x, there exists an element y such that the pair (x,y) has property P." [De La Fuente,p.8] 【日本語type1】 句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。 ・「任意の(それぞれの)xにたいして、P(x,y)となるようなyが存在する。」 [新井4.1p.124] [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)] ・「任意のxにたいして、P(x,y)となるようなyをみつけることができる。」[新井4.2p.128] ・「任意のxについて、P(x,y)となるyがある」 [本橋4.3(p.70)] *句読点の位置が違う 「任意のxについてP(x,y)、となるyがある」は、 「∃y∀x P(x,y)」になってしまうので注意。[本橋4.3(p.70)] ・「どんなxについても、P(x,y)となるyがある」 [本橋4.3(p.70)] |
※関連事項: ・「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の読み下し例 ・「∀x∀y P(x,y)」/ 読み「∃x∀y P(x,y)」/「∃x∃y P(x,y)」 読み
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・「どんなxをとっても、P(x,y)を満たすyの存在を主張」 [井関1.2 (式2.4)(p.9): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」;例1(5) (p.10): 「∀x∈Z ∃y∈Z (x+y=x) 」] ・「どんなxをとっても、P(x,y)を満たすyがとれる(存在する)」 [井関(式2.4)(p.8): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」] ・「すべてのxにたいして、P(x,y)となるyが存在する。」 [新井4.2p.128] ・「すべてのxについて、あるyでP(x,y)となるyがある」 [本橋4.3(p.70)] ・「すべてのxについて、P(x,y)となるようなyがある」 [中谷p.142] ・「どんなxをとっても、(それぞれのxに応じて)P(x,y)が真になるようにyが存在するとき、このときにかぎって真になる命題」[井関『集合と論理』1.5 (p.28)] 【日本語type2】 ・「任意に与えられたxに対して、あるyを選ぶと、p(x,y)成り立つ。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)] ・「任意のxにおいて、xに対応した上手なyの選び方があって、必ずP(x,y)にできる」 [松井2.6(p.38)] ・「すべてのxについて、あるyがあってp(x,y)である。」 [中内例2.6.1(p.103)] ・「どんなxをとっても、あるy0をとればP(x,y0)は真になる」 [井関『集合と論理』1.5(p.28)] 【日本語type3】 ・「『P(x,y)を満たすyがある』がすべてのxについて成り立つ」 [本橋4.3(p.70)] 「∀y∃x P(x,y)」というかたち【英語】 ・For all y, there exists x such that P(x,y) [新井4.1p.124] 【日本語type1】 句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。 ・「任意の(それぞれの)yにたいして、P(x,y)となるようなxが存在する。」[新井4.1p.124][齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)] ・「任意のyにたいして、P(x,y)となるようなxをみつけることができる。」[新井4.2p.128] ・「任意のyについて、P(x,y)となるxがある」 [本橋4.3(p.70)] *句読点の位置が違う「任意のyについてP(x,y)、となるxがある」は、「∃x∀y P(x,y)」になってしまうので注意。 ・「どんなyについても、P(x,y)となるxがある」 [本橋4.3(p.70)] ・「どんなyをとっても、P(x,y)を満たすxの存在を主張」 [井関1.2 (式2.4)(p.9): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」;例1(5) (p.10): 「∀x∈Z ∃y∈Z (x+y=x) 」] ・「どんなyをとっても、P(x,y)を満たすxがとれる(存在する)」 [井関(式2.4)(p.8): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」] ・「すべてのyにたいして、P(x,y)となるxが存在する。」 [新井4.2p.128] ・「すべてのyについて、あるyでP(x,y)となるxがある」 [本橋4.3(p.70)] ・「すべてのyについて、P(x,y)となるようなxがある」 [中谷p.142] ・「どんなyをとっても、(それぞれのyに応じて)P(x,y)が真になるようにxが存在するとき、このときにかぎって真になる命題」[井関『集合と論理』1.5 (p.28)] 【日本語type2】 ・「任意に与えられたyに対して、あるxを選ぶと、p(x,y)成り立つ。」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)] ・「任意のyにおいて、yに対応した上手なxの選び方があって、必ずP(x,y)にできる」 [松井2.6(p.38)] ・「すべてのyについて、あるxがあってp(x,y)である。」 [中内例2.6.1(p.103)] ・「どんなyをとっても、あるx0をとればP(x0,y)は真になる」 [井関『集合と論理』1.5(p.28)] 【日本語type3】 ・「『P(x,y)を満たすxがある』がすべてのyについて成り立つ」 [本橋4.3(p.70)] ※具体例 : 「∀y∃x ( x loves y )」 /「∀y∃x ( yはxの師匠 )」 /「∀x∃n ( n>x )」 |
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