存在記号∃　　：　トピック一覧

【記号∃の説明】
　・論理記号∃の呼称
　・論理記号∃の使用法
　　∃x P(x) / ∃x∈X P(x)
　　∃x P(x,y) / ∃x∈X P(x,y)
　　 ∃x P(x1,…,xn) / ∃x∈X P(x1,…,xn)
　　多重量化　
　・論理記号∃の読み下し方
　・論理記号∃の推論規則
　　論理記号∃の導入則
　　論理記号∃の除去則
【用語別】
　・存在量化記号
　・存在記号
　・特称記号
　・existential quantifier　
　・存在量化子　
　・特称量化子
　・存在作用素
　・特称作用素


・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・存在量化
・存在量化子による量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※１項述語量化関連ページ：1項述語・1変項命題関数/普遍量化・全称量化/範囲を限定した普遍量化・全称量化/範囲を限定した存在量化
※存在量化関連ページ：2項述語存在量化 /N項述語存在量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数/
※総目次 

「∃変項　一項述語」　

　・「∃変項　一項述語」の意味と読み下し方　
　・議論領域が有限集合の場合の「∃変項　一項述語」　　
　・「∃変項　一項述語」の読み下し例一覧　
　・「∃変項　一項述語」の具体的な使用例　
　・「∃変項　一項述語」のなかで用いられる用語
　・「∃変項　一項述語」の集合表現


「∃変項　一項述語」の意味　


・「∃ 変項 　1項述語(1変数命題関数)」というかたち

　　　　　たとえば
　　　　　「 ∃x　P(x)　」というかたち

　は、

　「議論領域Ωのなかには、
　　　性質・条件Pを満たす対象が、　
　　　　　　少なくとも一つは、存在する」
　　　　　　　　　

　という存在命題[→前原p.4;中内p.82]を意味し、

　「Pである/Pという性質をもつ/Pという条件を満たすxが存在する」

　「あるxが存在して 、
　　　　xはPである/Pという性質をもつ/Pという条件を満たす」

　「あるxに対して、
　　　　xはPである/Pという性質をもつ/Pという条件を満たす」


と読み下される。

　→議論領域が有限集合の場合　
　→主要テキストの読み下し例一覧
　→具体的な使用例


・このように、
　1項述語(1変数命題関数)P(x)
　そのものが確定した命題でなくても、
　頭に「 ∃x 」をつけること（「存在量化」）によって、できたものは、
　確定した命題。
　古典論理においては、これは真偽を定められる。
　　[岡田章p.253]
　
・「∃ ＋ 変項(変数) ＋ 1項述語(1変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　「∃ ＋ 変項(変数)」が支配している範囲（スコープ）を明示するために、
　「∃ ＋ 変項(変数)」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。




【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.7-8);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.Quantifier(p.152)
　・中谷『論理』4.2限定命題(pp.78-84)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.7-8);§1.5(pp.26-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　"the existential quantifier","There exists an x such that ...","For at least one x."
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Existential_quantification "existential quantifier", "there exists" or "for some"  
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Uniqueness_quantification　
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58)"there exists x such that"「ある/存在する」「～を満たすxが存在する」;3.2.6(pp.88-100):
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)
　・鹿島亮『数理論理学』1.2(pp.5-6)

【文献－数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』2.4(pp.94-98);
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§３存在量化子(pp.56-61)「Pなるxが存在する」「少なくともひとつのxにたいしてP」
　●本橋『新しい論理序説』3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)


【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・野矢茂樹『論理学』2-2-2(pp.92-96).
　・戸田山『論理学をつくる』5.2.4(p.117):英語の文例が豊富。
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)存在量化記号;∃x「for some x」

【文献－数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3(pp.21-22);
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(pp.5-7)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a(p.8):∃x∈A, s.th P(X)"there is at least one element x of  A such that P(x)is true"

　



　　　【解説】

　　　　・議論領域Ωから何をとってきて変項xに代入するかに応じて、述語・命題関数P(x)が表す命題は、定まる[→述語・命題関数の定義]。
　　　　・古典論理のなかで設定された命題は、命題の真偽が、真か偽のいずれか一方に定まる（ように設定された）[→古典論理-排中律]。
　　　　・だから、議論領域Ωから何をとってきて変項xに代入するかに応じて、
　　　　　　　　述語・命題関数P(x)は、《偽の命題》《真の命題》のいずれか一方に定まる。
　　　　・ということは、
　　　　　議論領域Ωのなかにあるモノは、
　　　　　　type1:「xに代入されると、P(x)を《偽の命題》にする」モノ　
　　　　　　type2:「xに代入されると、P(x)を《真の命題》にする」モノ　
　　　　　の二種類に分けられる。
　　　　・存在命題「 ∃x　P(x)　」とは、
　　　　　　type2:「xに代入されると、P(x)を《真の命題》にする」モノ　
　　　　　が議論領域Ωのなかに少なくとも一個は存在する、議論領域Ωのなかでは皆無でない
　　　　　という主張にほかならない。　


有限集合が議論領域のときの「∀変項 一項述語」の解釈　

・存在命題「 ∃x　P(x) 」 少なくとも一つのxが存在して 、性質・条件Pを満たす　
　は、
　議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , an } であるとき、

　「 P( a1 )　または　P( a2 )　または　…　または　P( an ) 」

　　　　　a1は性質・条件Pを満たす、
　　　　　または　　
　　　　　a2は性質・条件Pを満たす、
　　　　　または　
　　　　　：
　　　　　または　
　　　　　anは性質・条件Pを満たす。

　に言い換えてよい。
　





【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』6章「世界に三匹のブタしかいなかったら」(pp.203-207)

【文献－数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』注意2.2.4(p.９５)
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§8記号論理へのコメント-有限変域の場合(pp.97-8)

【文献－数理経済】
　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,p.8:∀は、「かつ」の一般化とみなせる。

　







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「∃変項　一項述語」に関わる諸用語　

【存在記号・存在量化記号/存在量化子・存在作用素】

・「∃変項 1項述語」というかたちのなかの、
　「∃」は、

　存在記号　　[『記号論理入門』p.4;中内p.94;斎藤p.56;井関p.7;杉浦p.401]
　特称記号　　[中内p.94]
　存在量化記号　[斎藤p.57;岡田光弘p.30]
　existential quantifier　[斎藤p.57;岡田光弘p.30;De LaFuentep.8]
　Existenzzeichen　　　　[『数理論理学序説』p.152]　　

　などと呼ばれる論理記号。

・「∃変項 1項述語」というかたちのなかの、
　「∃変項」という部分は、　

　　存在作用素 [『記号論理入門』p.4;『数理論理学序説』p.152;松本p.28;中内p.94]　　　
　　特称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.94]　　　
　　存在量化子 [斎藤p.57]　
　　特称量化子 [高崎V-1.1;1.4]
　　existential quantifier

　などと呼ばれる。

　　＊岡田章は、記号「∃」そのものを「存在量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？





【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.Quantifier(p.152)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。

【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

【文献－数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)

【文献－数理経済】
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8):英語での読み下し例。

　


　　　【量化】

　　　・存在作用素・存在量化子「∃変項」を1項述語(1変数命題関数)の前につけて
　　　　「∃変項 1項述語(1変数命題関数)」というかたちにする行為を、
　
　　　　　　存在量化　[野矢 p.213;本橋pp.40-41;]

　　　 　などと呼ぶ。

　　　 　他の文脈で、「束縛bound」と呼ぶこともある(→詳細)。

　　　 　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]

　　　・述語・命題関数を存在量化してできた命題を、
　　　　　　存在命題 [前原p.4;中谷p.80] 　
　　　　　　特称命題 [前原p.4;中谷p.80] 　
　　　　　　特称文　 [本橋p.64]
　　　　などという。


【スコープ】

・「∃変項 1項述語」というかたちのなかで、
　存在量化子・存在作用素「∃変項 」によって量化された
　　「1項述語」
　の部分は、
　存在量化子・存在作用素「∃変項 」の

　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]

　などと呼ばれる。
　
　　※「∃変項 1項述語(1変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　　　「∃変項 」が支配しているのがどこまでかを明示するために、
　　　「∃変項 」の適用範囲に入っている述語を（ ）で括る。





【文献－数学基礎論】
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.5 変数の出現位置と視野
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)

【文献－分析哲学・論理学】
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(p.31)


　


【束縛する/束縛変項/自由変項】

・存在量化子・存在作用素「∃x」を、xの性質・条件P(x)の前につけて、
　「 ∃x P(x) 」とする行為を、
　「変項(変数)xを束縛するbind」と呼ぶ。[井関p.26;前原p.5]　

・「 ∃x P(x) 」において、
　「∃x」のスコープ P(x) のなかに登場する変項x　

　　つまり、
　　「∃x」によって量化された1項述語(1変数命題関数)P(x)　　　　
　　のなかの変項x
　は、
　束縛変数bound variableと呼ばれる。
　　[前原1章§7-8][岡田光弘p.31;][本橋2.4(pp.31-34)]

・存在命題「∃x P(x)」に自由変項（自由変数）free variableは存在しない。　
　　　　　　




【文献－数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・中谷『論理』4.2限定命題(p.81)

【文献－分析哲学・論理学】
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

　



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→[総目次]


「∃変項　一項述語」の読み下し例：一覧　　


議論領域Ωにおける「∃x P(x)」　読み下し例

【かたい:　「Pな変項」型】

　・P(x)が真な命題となるxが存在する[前原p.4;　]　

　・P(x)というxが存在する[前原p.4;　]　
　・P(x)となるxが存在する[中内p.94;本橋p.40;杉浦p.400]　
　・P(x)であるようなxが存在する[杉浦p.400]
　・P(x)であるようなxが少なくとも一つ存在する。[中谷p.80 ]
　・P(x)であるようなものxが(少なくとも一つ)存在する。[戸田山p.117:]


　・P(x)という性質を満たすxが存在する[新井p.91;]
　・P(x)という条件を満たすxが存在する[鹿島p.5;　]　
　・P(x)を満たすxが存在する[杉浦p.402]　
　・P(x)という条件を満たすxが少なくとも一つ存在する[鹿島p.5;本橋p.40　]　

【かたい:「ついてP」型】

　・或るxに対して、P(x) [前原p.７;　]　
　・あるxについて、P(x)である [中内p.94;;中谷p.80;鹿島p.5;本橋p.40 ]　
　・適当なxについて、P(x)である [鹿島p.5 ]　

【かたい:「存在してP」型】

　・あるxが存在してP(x) だ/である。[中内p.94;神谷浦井p.21;岡田p.252;
　　　　　　　入谷久我p.6;野矢2006p.213;227;238;野矢1994p.92]　
　・あるxが一つ以上存在し、P(x)だ [野矢2006p.214]　
　・あるxが少なくとも一つ存在し、P(x)だ [野矢2006p.214]　
　・あるxがあって、P(x)である [中内p.94;]　
　・あるxがΩ中に存在して、P(x)。[松井p.37]
　・あるxがΩ中に存在して、P(x)が成り立つ。[松井p.37]
　・ある「Ωの元」xが存在して、P(x)。[松井p.38]
　・あるものxが存在してP(x)。[戸田山p.117:]

【柔らかい】

　以下の「Ωの元」には、Ωに応じた具体的な言葉がはいる。
　たとえば.Ω＝Rならば、「Ωの元」には「実数」を入れる。
　たとえば.Ω＝「全人類」ならば、「Ωの元」には「人間」を入れる。

　・P というものがある/存在する[前原p.７;　]　

　・ある「Ωの元」はP（だ/である)。[中谷p.80;野矢1994p.93;岡田光弘p.30]

　・Pな「Ωの元」が少なくとも一人存在する。[中谷p.80 ]
　・Pな「Ωの元」が少なくとも一つ存在する。[中谷p.80 ]
　　　　　　（ex.Ω＝Rならば、「Ωの元」は「実数」になる）

　・Pであるような「Ωの元」xが存在する[斎藤p.57;]
　　　　　　（ex.Ω＝Rならば、「Ωの元」は「実数」になる）
　・Ωには少なくともひとつPなxがある[斎藤p.57;]　
　・Ωには少なくともひとりPなxがいる　[斎藤p.57;]

　・Pという性質を満たすようなxが存在する[新井p.57;]

　・Pであるものが存在する[野矢p.198]
　・Pであるものがいる[野矢p.197]
　・Pであるものがある[野矢p.197]

【英語で】

　"there is at least one element x of Ω such that P(x) is true"[DeLaFuentep.8]
　"There exists an x such that P(x) "[en.wikipedia.org;新井p.58;]
　"There exists x such that P(x) "[新井p.58;]

　"There exists P ". [戸田山p.118]

　"Something is  P ". [戸田山p.118]

　"For some x, P(x)"[岡田光弘p.30]
　"For some 「Ωの元」x, P(x)"[en.wikipedia.org;]
　"For at least one x, P(x) "[en.wikipedia.org;]

※関連事項：∃x∈X P(x)の読み/　∃x P(x,y)の読み / ∃x∈X P(x,y)の読み
　　　　　　∀x P(x)の読み　/ ∀x∈X P(x)の読み　　


【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(p.4);§4(pp.7)
　・中谷『論理』4.2限定命題(pp.78-84)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.7-8):「一元一次方程式が解ける」を記号化。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　"the existential quantifier","There exists an x such that ...","For at least one x."
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Existential_quantification "existential quantifier", "there exists" or "for some"  
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Uniqueness_quantification　
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58)"there exists x such that"「ある/存在する」「～を満たすxが存在する」;3.2.6(pp.88-100):
　・鹿島亮『数理論理学』1.2(pp.5-6)

【文献－数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』2.4(pp.94-98);
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§３存在量化子(pp.56-61)「Pなるxが存在する」「少なくともひとつのxにたいしてP」
　●本橋『新しい論理序説』3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)

【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・野矢茂樹『論理学』2-2-2(pp.92-96).
　・戸田山『論理学をつくる』5.2.4(p.117):英語の文例が豊富。
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)存在量化記号;∃x「for some x」

【文献－数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3(pp.21-22);
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』付録論理3(pp.252-3);
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(pp.5-7)
　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a(p.8):∃x∈A, s.th P(X)"there is at least one element x of  A such that P(x)is true"

　




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「∃変項　一項述語」の具体例　

【例1】

　議論領域Rにおいて、 ∃x( x2≦1 ）　　[斎藤p.57;]　

　・解釈：

　　「 ∃x P(x) 」というかたち において、
　　　1項述語 P(x) を x2≦1 としたもの。
　
　・意味：
　　「xに代入すると、性質・条件『 x2≦1 』を満たす実数が、　
　　　議論領域Rのなかに、少なくとも一個は存在する」
　　と主張する存在命題。

　・読み下し例：　
　　　　x2≦1 であるような実数xが存在する　
　　
　・Rを議論領域とする1項述語(1変数命題関数)
　　　「x2≦1」
　　は、
　　xにどの実数を入れるかに依存して、様々な命題を表すが、
　　∃x( x2≦1 ）は、何にも依存しない確定した命題。　

　・用語：
　　・「 ∃x( x2≦1 ） 」の「∃」は、存在記号とよばれる論理記号。
　　・「 ∃x( x2≦1 ） 」の「∃x」は、存在量化子・存在作用素とよばれる。
　　・存在量化子・存在作用素「∃x」を「 x2≦1 」の前につけて
　　　 「 ∃x( x2≦1 ） 」 　
　　　をつくることは、
　　　存在量化とよばれる




【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.7-8);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・中谷『論理』4.2限定命題(pp.78-84)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.7-8):「一元一次方程式が解ける」を記号化。;§1.5(pp.26-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　"the existential quantifier","There exists an x such that ...","For at least one x."
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Existential_quantification "existential quantifier", "there exists" or "for some"  
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Uniqueness_quantification　
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58)2項述語;3.2.6(pp.88-100):

【文献－数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』2.4(pp.94-98);
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§３存在量化子(pp.57-60) ∃x(x2≦1), ∃x(x2<0), ∃x「xは女性」,∃x「xは赤い」,∃x(x2+y2=1),。
　●本橋『新しい論理序説』3.2(pp.40-43):2次方程式の解の存在の記号化。;4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について(特に二重量化)豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46):「∃x(x2=2)」は議論領域Zで偽、議論領域Rで真(p.38)

【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・野矢茂樹『論理学』2-2-2(pp.92-96).
　・戸田山『論理学をつくる』5.2.4(p.117):英語の文例が豊富。
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)存在量化記号;∃x「for some x」

【文献－数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3(p.21)　
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(pp.5-7):二重量化の例。ことばで。

　


　　・「 ∃x( x2≦1 ） 」　というかたちのなかで、
　　　存在量化子・存在作用素「∃x」によって量化された
　　　　「x2≦1」
　　　の範囲は、
　　　存在量化子・存在作用素「∃x」のスコープscope適用範囲,視野,作用域 などと呼ばれる。　
　　・「 ∃x( x2≦1 ） 」において、「∃x」によって量化された「x2≦1」のなかの変数xは、
　　　束縛変数とよばれる。
　　・「 ∃x( x2≦1 ） 」には、自由変数は存在しない。

　

　　【例】議論領域によって、真偽が変わる具体例　[戸田山6.1.1(p.134)]
　
　　　・議論領域Rにおいて、 ∃x( x<0 ）　
　　　・議論領域Nにおいて、 ∃x( x<0 ）　

　　【例】議論領域によって、真偽が変わる具体例　[神谷浦井p.21]　
　
　　　・議論領域Rにおいて、 ∃x( x+1＝0 ）　「ある実数xが存在して　x+1＝0」真。
　　　・議論領域Nにおいて、 ∃x( x+1＝0 ）　「ある自然数xが存在して　 x+1＝0」偽。

　　【例】議論領域によって、真偽が変わる具体例[中谷p.80 ]　　
　
　　　・議論領域Rにおいて、 ∃x( x2＋１＝0 ）　
　　　・議論領域Cにおいて、 ∃x(  x2＋１＝0 ）　
　　　　　　　　　

　　【例】議論領域によって、真偽が変わる具体例[松井p.38 ]　　
　
　　　・議論領域Rにおいて、 ∃x( x2＝2 ）　「ある実数xが存在してx2=2」真。
　　　・議論領域Zにおいて、 ∃x(  x2＝2 ）　「ある整数xが存在してx2=2」偽。
　　　　　　　　　



　　


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