二項述語の二重量化「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」　

・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の定義
・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味
・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の読み下し例
・∀x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　
・集合S,Tが内包的に定義された場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　
・集合S,Tが外延的に定義された場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　
・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の順序対・直積を用いた別表現　

※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数
※総目次

「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」　の定義　

【要旨】

　「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」は、
　 P(x,y)を2回普遍量化した
　　　「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」
　を表す。

【詳細】

　「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」とは、
　下記手順でつくった命題「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」の略記。

　　【step1:普遍量化1回目】　　
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　変項xのみを含む一項述語　 ∀y∈T P(x,y)　
　　　「xは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。

※関連事項：　
　・「∀x ∀y P(x,y)」の定義　
　・「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の定義/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の定義/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の定義　


	【文献－数学】　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∈X,∀y∈Y":例2.3.3友人、例2.3.7大小; 　・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀x∈R ∀y∈R (x+y=y+x) 」「∀x,y∈R (x+y=y+x) 」　　　　　　　　　　　(式2.3)「∀a,b∈R (a≠0⇒∃x∈R(ax+b=0) ) 」(p.8): 　　　　　　　　　　例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54)限定なし議論領域設定例あり:x²+y²=1;∀x∀n(x²ⁿ≧0)

　　【step2:普遍量化2回目】　　

　　step1で得られた
　　変項xのみを含む一項述語　　
　　　　　∀y∈T P(x,y)　　「xは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xも全称量化子で束縛して普遍量化。

　　得られた命題が

　　　∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )　「Sのなかのすべてのxは、Tのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」

　具体例
　　→「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」　　真であればよいが、世の中そんなにハッピーではないみたい。
　　→「∀n∈S ∀x∈T ( n>x )」
　
　　

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「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味

　　・　P(x,y)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数
　　・　Sは「Xの部分集合」
　　・　Tは「Yの部分集合」

　という設定のもと、

　「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」　は、

　　「《変項xの議論領域Xの部分集合》S　
　　　《変項yの議論領域Yの部分集合》T
　　　から、どの対象を選んでも、
　　　《変項xの議論領域Xの部分集合》Sから選んだ対象を変項xへ、
　　　《変項yの議論領域Yの部分集合》Tから選んだ対象を変項yへ
　　　代入すると、
　　　x-y間の関係・条件P(x,y)が成り立つ。」

　と主張する命題を意味する。

　具体例
　　→「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」　
　　→「∀n∈S ∀x∈T ( n>x )」


	【文献－数学一般】　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);議論領域設定例あり　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∈X,∀y∈Y":例2.3.3友人、例2.3.7大小; 　・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀x∈R ∀y∈R (x+y=y+x) 」「∀x,y∈R (x+y=y+x) 」　　　　　　　　　　　(式2.3)「∀a,b∈R (a≠0⇒∃x∈R(ax+b=0) ) 」(p.8): 　　　　　　　　　　例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」

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二重量化「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の読み下し例

・「任意の『Sに属す対象』x、任意の『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1):]
・「xを任意の『Sに属す対象』、yを任意の『Tに属す対象』とすれば、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2 (式2.3)(p.8):]
・「どんな『Sに属す対象』x、『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」]

【具体例】
　
　・「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」
　・「∀n∈S ∀x∈T ( n>x )」
　　


	【文献－数学一般】　・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀x∈R ∀y∈R (x+y=y+x) 」「∀x,y∈R (x+y=y+x) 」　　　　　　　　　　　(式2.3)「∀a,b∈R (a≠0⇒∃x∈R(ax+b=0) ) 」(p.8): 　　　　　　　　　　例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∈X,∀y∈Y":例2.3.3友人、例2.3.7大小; 　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54):限定なし議論領域設定例あり

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∀x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　

・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」とは、

　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」の省略表現。　　

※なぜ？「∀y∈T P(x,y)」「 ∀x∈S Q(x) 」のそもそもの定義に立ち返ると一目瞭然。

【step1】「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」 ⇔「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」　

　　　　「∀y∈T P(x,y)」は「∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) 」の省略表現であるから、

　　　　「　∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )　」は、
　　　　　　「　∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )　」　　
　　　　の省略表現。

【step2】「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」⇔「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」

　　　　「 ∀x∈S Q(x) 」は「∀x ( x∈S⇒Q(x) )」の省略表現であるから、

　　　　「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」は、
　
　　　　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」の省略表現。

【step3】　結論
　
　　　　step1,step2でおこなった考察を合わせると、
　　　　「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」⇔「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」
　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」

※関連事項：
　・∃x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∃x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∀x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


	【文献】　・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀x∈R ∀y∈R (x+y=y+x) 」「∀x,y∈R (x+y=y+x) 」　　　　　　　　　　　(式2.3)「∀a,b∈R (a≠0⇒∃x∈R(ax+b=0) ) 」(p.8): 下記未確認　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

※井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1):「∀x,y∈S P(x,y)」は、「∀x,y ( x∈S かつy∈S ⇒ P(x,y) ) 」の省略表現。　　

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集合S,Tが内包的に定義された場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　

　集合Sの内包がS'であるとき、　つまり、 S＝{ x | S'(x) } であるとき、　
　集合Tの内包がT'であるとき、　つまり、 T＝{ y | T '(y) } であるとき、　

　「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」　は、

　「∀x ( S'(x) ⇒ ∀y ( T'(y) ⇒ P(x,y) ) )」
　
　に言い換えてよい。

※なぜ？

　・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」は、
　　　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」…(1)
　　の省略表現（∵）。　

　・この設定の下では、 S＝{ x | S'(x) } とされているので、　
　　　x∈Sは、x∈{ x | S'(x) }に言い換えてよい。
　　また、x∈{ x | S'(x) }　は、S'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、x∈Sは、S'(x)に言い換えてよい。…(2)

　・この設定の下では、T＝{ y | T '(y) } とされているので、　
　　　y∈Tは、y∈{ y | T '(y) } に言い換えてよい。
　　また、y∈{ y | T '(y) } は、T'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、y∈Tは、T'(x)　に言い換えてよい。…(3)

　・(2)(3)により、
　　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」…(1)
　　は、
　　「∀x ( S'(x) ⇒ ∀y ( T'(y) ⇒ P(x,y) ) )」
　　に言い換えてよい。


	【文献－数学一般】　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)

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集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　

　S＝有限集合 { s₁ , s₂ , … , s_n }
　T＝有限集合 { t₁ , t₂ , … , t_n }
　であるとき、　

　「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」　は、

　「『P( s₁ ,t₁) かつ P( s₁ ,t₂ ) かつ … かつ P(s₁,t_n)』
　　かつ
　　『P( s₂ ,t₁) かつ P( s₂ ,t₂ ) かつ … かつ P(s₂,t_n)』
　　かつ　
　　：
　　かつ　
　　『P( s_n ,t₁) かつ P( s_n ,t₂ ) かつ … かつ P(s_n,t_n)』」

　に言い換えてよい。

※なぜ？

　・この設定の下では、 T＝有限集合 { t₁ , t₂ , … , t_n } とされているので、
　　
　　「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」は、
　　
　　　「　∀x∈S ( P(x,t₁) かつ P(x,t₂) かつ … かつ P(x,t_n) )　」…(式1)

　　　に言い換えてよい。（∵）。　

　・この設定の下では、S＝有限集合 { s₁ , s₂ , … , s_n } とされているので、
　　
　　(式1)　「　∀x∈S ( P(x,t₁) かつ P(x,t₂) かつ … かつ P(x,t_n) )　」は、
　　　
　　「『P( s₁ ,t₁) かつ P( s₁ ,t₂ ) かつ … かつ P(s₁,t_n)』
　　　かつ
　　　『P( s₂ ,t₁) かつ P( s₂ ,t₂ ) かつ … かつ P(s₂,t_n)』
　　　かつ　
　　　：
　　　かつ　
　　　『P( s_n ,t₁) かつ P( s_n ,t₂ ) かつ … かつ P(s_n,t_n)』」…(式2)

　　　に言い換えてよい。（∵）。　