【要旨】 「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」 は、 P(x,y,z)を2回普遍量化した |
※関連事項:「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の定義 |
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「∀x∈S
(∀y∈T P(x,y,z)
)」 「zは、Sのなかのすべてのx、Tのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」 を表す。 ※ 「∀x∈S ∀y∈S P(x,y,z)」 は、 「∀x,y∈S P(x,y,z)」 と略記されることがある。 【詳細】 「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」 とは、 下記手順でつくった命題関数「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」の略記。 【step1:普遍量化1回目】 三項述語P(x,y,z) 「x,y,zは関係・条件Pを満たす」 の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、 変項x,zのみを含む二項述語 ∀y∈T P(x,y,z) 「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 をつくる。 【step2:普遍量化2回目】 step1で得られた 変項x,zのみを含む二項述語 ∀y∈T P(x,y,z) 「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 の変項xも全称量化子で束縛して普遍量化。 得られた変項zのみを含む一項述語・一変数命題関数が 「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」 「zは、Sのなかのすべてのx、Tのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」 【具体例】 → ・単調数列の定義 ・狭義単調増加関数の定義 ・狭義単調減少関数の定義 ・広義単調増加関数の定義 ・広義単調減少関数の定義 → → |
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・ P(x,y,z)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとするn項述語・n変数命題関数 ・ Sは「Xの部分集合」 ・ Tは「Yの部分集合」 という設定のもと、 「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」 とは、 「《変項xの議論領域Xの部分集合》S 《変項yの議論領域Yの部分集合》T から、どの対象を選んでも、 《変項xの議論領域Xの部分集合》Sから選んだ対象を変項xへ、 《変項yの議論領域Yの部分集合》Tから選んだ対象を変項yへ 代入すると、 変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす。」 を意味する《zを変項とする一項述語・一変数命題関数》。 【具体例】 ・単調数列の定義 ・狭義単調増加関数の定義 ・狭義単調減少関数の定義 ・広義単調増加関数の定義 ・広義単調減少関数の定義 → |
※関連事項:「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味 ※関連事項: ・「∀x ∀y P(x,y)」 の意味 ・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」/ 意味「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/ 意味「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
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・「すべての『Sに属す対象』xとすべての『Tに属す対象』yが、関係Pにある」 [野矢『論理学』2-2-2-多重量化(p.98)] ・「すべての『Sに属す対象』xとすべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(p.54)] ・「任意の『Sに属す対象』x、任意の『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)」 [井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1)] ・「任意の『Sに属す対象』xと任意の『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)」 [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(pp.52-53)] ・「xを任意の『Sに属す対象』、yを任意の『Tに属す対象』とすれば、P(x,y)」 [井関『集合と論理』1.2 (式2.3)(p.8):] ・「どんな『Sに属す対象』x、『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y)」 [井関『集合と論理』1.2例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」] ・「どんな『Sに属す対象』xと『Tに属す対象』どんなyをとっても、 P(x,y)が真のとき、このときに限って真になる命題」 [井関『集合と論理』1.5 (p.28)] 【具体例】 → ・単調数列の定義 ・狭義単調増加関数の定義 ・狭義単調減少関数の定義 ・広義単調増加関数の定義 ・広義単調減少関数の定義 |
※関連事項:「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の読み下し例 ※関連事項: ・「∀x ∀y P(x,y)」 の読み ・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」/「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」
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・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」とは、 「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」の省略表現。 ※なぜ?「∀y∈T P(x,y,z)」「 ∀x∈S Q(x,z) 」のそもそもの定義に立ち返ると一目瞭然。 【step1】「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」 ⇔「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」 「∀y∈T P(x,y,z)」は「∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) )」の省略表現であるから、 「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」は、 「 ∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) ) 」 の省略表現。 【step2】 「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」⇔「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」 「∀x∈S Q(x,z)」は「∀x ( x∈S⇒Q(x,z) )」の省略表現であるから、 「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」は、 「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」の省略表現。 【step3】 結論 step1,step2でおこなった考察を合わせると、 「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」 ⇔「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」 ⇔「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」 |
※関連事項:∀x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ※関連事項: ・∃x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・∃x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・∀x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
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※井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1):「∀x,y∈S P(x,y)」は、「∀x,y ( x∈S かつy∈S ⇒ P(x,y) ) 」の省略表現。 |
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集合Sの内包がS'であるとき、 つまり、 S={ x | S'(x) } であるとき、 集合Tの内包がT'であるとき、 つまり、 T={ y | T'(y) } であるとき、 「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y,z) )」 は、 「∀x ( S'(x) ⇒ ∀y ( T'(y) ⇒ P(x,y,z) ) )」 に言い換えてよい。 ※なぜ? ・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」は、 「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」…(1) の省略表現(∵)。 ・この設定の下では、 S={ x | S'(x) } とされているので、 x∈Sは、x∈{ x | S'(x) }に言い換えてよい。 また、x∈{ x | S'(x) } は、S'(x)に言い換えてよい(∵)。 以上二点より、設定下、x∈Sは、S'(x)に言い換えてよい。…(2) ・この設定の下では、T={ y | T'(y) } とされているので、 y∈Tは、y∈{ y | T'(y) } に言い換えてよい。 また、y∈{ y | T'(y) } は、T'(x)に言い換えてよい(∵)。 以上二点より、設定下、y∈Tは、T'(x) に言い換えてよい。…(3) ・(2)(3)により、 「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」…(1) は、 「∀x ( S'(x) ⇒ ∀y ( T'(y) ⇒ P(x,y) ) )」 に言い換えてよい。 |
※関連事項: ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
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S=有限集合 { s1 , s2 , … , sn } T=有限集合 { t1 , t2 , … , tn } であるとき、 「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」 は、 「『P( s1 ,t1) かつ P( s1 ,t2 ) かつ … かつ P(s1,tn)』 かつ 『P( s2 ,t1) かつ P( s2 ,t2 ) かつ … かつ P(s2,tn)』 かつ : かつ 『P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2 ) かつ … かつ P(sn,tn)』」 に言い換えてよい。 ※なぜ? ・この設定の下では、 T=有限集合 { t1 , t2 , … , tn } とされているので、 「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T P(x,y) )」 は、 「 ∀x∈S ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつ … かつ P(x,tn) ) 」…(式1) に言い換えてよい。(∵)。 ・この設定の下では、S=有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、 (式1) 「 ∀x∈S ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつ … かつ P(x,tn) ) 」は、 「『P( s1 ,t1) かつ P( s1 ,t2 ) かつ … かつ P(s1,tn)』 かつ 『P( s2 ,t1) かつ P( s2 ,t2 ) かつ … かつ P(s2,tn)』 かつ : かつ 『P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2 ) かつ … かつ P(sn,tn)』」…(式2) に言い換えてよい。(∵)。 |
※関連事項: ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
※関連事項: ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・ ・ |
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・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」 は、 「∀(x,y) ∈S×T P(x,y) 」 と表現してもよい。 ※なぜ? → 2項述語を1項述語として解釈〜順序対 ※具体例 「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」 「∀n∈S ∀x∈T ( n>x )」 |
※関連:「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」
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