三項述語の二重量化「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」 　


・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」の定義 
・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」の意味
・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」の読み下し例
・∀x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の意味　
・集合S,Tが内包的に定義された場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の意味　
・集合S,Tが外延的に定義された場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の意味　
・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の順序対・直積を用いた別表現　


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※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数
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「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」 　の定義　



【要旨】

　「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」 は、
　 P(x,y,z)を2回普遍量化した
 ※関連事項：「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」の定義  　

　　　「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」　「zは、Sのなかのすべてのx、Tのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」
　を表す。

　※ 「∀x∈S ∀y∈S  P(x,y,z)」 は、
　　 　「∀x,y∈S  P(x,y,z)」 と略記されることがある。


【詳細】

　「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」 とは、
　下記手順でつくった命題関数「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」の略記。

　　【step1:普遍量化1回目】　　
　
　　三項述語P(x,y,z)
　　　　「x,y,zは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　変項x,zのみを含む二項述語　∀y∈T  P(x,y,z)　
　　　「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。　　【step2:普遍量化2回目】　　

　　step1で得られた
　　変項x,zのみを含む二項述語　
　　　　　∀y∈T  P(x,y,z)　「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」　
　　の変項xも全称量化子で束縛して普遍量化。

　　得られた変項zのみを含む一項述語・一変数命題関数が

　　　「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」　「zは、Sのなかのすべてのx、Tのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」



【具体例】
　　→
　　　・単調数列の定義　
　　　・狭義単調増加関数の定義 　
　　　・狭義単調減少関数の定義
　　　・広義単調増加関数の定義
　　　・広義単調減少関数の定義　
　　→
　　→
　
　　


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「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」 の意味



　　・　P(x,y,z)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとするn項述語・n変数命題関数
　　・　Sは「Xの部分集合」
　　・　Tは「Yの部分集合」

　という設定のもと、

　 「∀x∈S ∀y∈T 　P(x,y,z)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」　とは、

　　「《変項xの議論領域Xの部分集合》S　
　　　《変項yの議論領域Yの部分集合》T
　　　から、どの対象を選んでも、
　　　《変項xの議論領域Xの部分集合》Sから選んだ対象を変項xへ、
　　　《変項yの議論領域Yの部分集合》Tから選んだ対象を変項yへ
　　　代入すると、
　　　変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす。」

　を意味する《zを変項とする一項述語・一変数命題関数》。

【具体例】
　　　・単調数列の定義　
　　　・狭義単調増加関数の定義 　
　　　・狭義単調減少関数の定義
　　　・広義単調増加関数の定義
　　　・広義単調減少関数の定義　
　　→
　
※関連事項：「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」の意味  　

※関連事項：　
　・「∀x ∀y  P(x,y)」 の意味
　・「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献−数学一般】
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);議論領域設定例あり
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∈X,∀y∈Y":例2.3.3友人、例2.3.7大小;
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀x∈R ∀y∈R (x+y=y+x) 」「∀x,y∈R (x+y=y+x) 」
　　　　　　　　　　　(式2.3)「∀a,b∈R (a≠0⇒∃x∈R(ax+b=0) ) 」(p.8):
　　　　　　　　　　例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」

　




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3項述語二重量化「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y,z)」の読み下し例


 ・「すべての『Sに属す対象』xとすべての『Tに属す対象』yが、関係Pにある」
　　　　　[野矢『論理学』2-2-2-多重量化(p.98)]

・「すべての『Sに属す対象』xとすべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)」
　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(p.54)]

・「任意の『Sに属す対象』x、任意の『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1)]

・「任意の『Sに属す対象』xと任意の『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)」
　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(pp.52-53)]

・「xを任意の『Sに属す対象』、yを任意の『Tに属す対象』とすれば、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2 (式2.3)(p.8):]

・「どんな『Sに属す対象』x、『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y)」
　　　　　[井関『集合と論理』1.2例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」]

・「どんな『Sに属す対象』xと『Tに属す対象』どんなyをとっても、
　　　　　　　P(x,y)が真のとき、このときに限って真になる命題」
　　　　　[井関『集合と論理』1.5 (p.28)]


【具体例】
　
　　→
　　　・単調数列の定義　
　　　・狭義単調増加関数の定義 　
　　　・狭義単調減少関数の定義
　　　・広義単調増加関数の定義
　　　・広義単調減少関数の定義　
　　
※関連事項：「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」の読み下し例  　

※関連事項：　
　・「∀x ∀y  P(x,y)」 の読み
　・「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の読み/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の読み/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の読み　


【文献−数学一般】
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀x∈R ∀y∈R (x+y=y+x) 」「∀x,y∈R (x+y=y+x) 」
　　　　　　　　　　　(式2.3)「∀a,b∈R (a≠0⇒∃x∈R(ax+b=0) ) 」(p.8):
　　　　　　　　　　例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∈X,∀y∈Y":例2.3.3友人、例2.3.7大小;
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54):限定なし議論領域設定例あり









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∀x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の意味　



・「∀x∈S ∀y∈T 　P(x,y,z)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」とは、

　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」の省略表現。　　


※なぜ？「∀y∈T  P(x,y,z)」「 ∀x∈S  Q(x,z) 」のそもそもの定義に立ち返ると一目瞭然。

【step1】「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」 ⇔「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」　

　　　　「∀y∈T  P(x,y,z)」は「∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) )」の省略表現であるから、

　　 　　「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」は、
　　　　　　「　∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )　」　　
　　　　の省略表現。

【step2】 「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」⇔「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」

　　　　「∀x∈S  Q(x,z)」は「∀x ( x∈S⇒Q(x,z) )」の省略表現であるから、

　　　　「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」は、
　
　　　　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」の省略表現。

【step3】　結論
　
　　　　step1,step2でおこなった考察を合わせると、
　　　　「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」 ⇔「∀x∈S ( ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」
　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y,z) ) )」
 

※関連事項：∀x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　  　

※関連事項：
　・∃x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∃x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∀x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献】
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀x∈R ∀y∈R (x+y=y+x) 」「∀x,y∈R (x+y=y+x) 」
　　　　　　　　　　　(式2.3)「∀a,b∈R (a≠0⇒∃x∈R(ax+b=0) ) 」(p.8):


下記未確認

　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;
　

　



※井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1):「∀x,y∈S  P(x,y)」は、「∀x,y ( x∈S かつy∈S ⇒ P(x,y) ) 」の省略表現。　　


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集合S,Tが内包的に定義された場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の意味　


　集合Sの内包がS'であるとき、　つまり、 S＝{ x | S'(x) } であるとき、　
　集合Tの内包がT'であるとき、　つまり、 T＝{ y | T'(y) } であるとき、　

　 「∀x∈S ∀y∈T 　P(x,y,z)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y,z) )」　は、

　「∀x ( S'(x) ⇒ ∀y ( T'(y) ⇒ P(x,y,z) ) )」

　に言い換えてよい。

※なぜ？

　・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」は、
　　　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」…(1)
　　の省略表現（∵）。　

　・この設定の下では、 S＝{ x | S'(x) } とされているので、　
　　　x∈Sは、x∈{ x | S'(x) }に言い換えてよい。
　　また、x∈{ x | S'(x) }　は、S'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、x∈Sは、S'(x)に言い換えてよい。…(2)

　・この設定の下では、T＝{ y | T'(y) } とされているので、　
　　　y∈Tは、y∈{ y | T'(y) } に言い換えてよい。
　　また、y∈{ y | T'(y) } は、T'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、y∈Tは、T'(x)　に言い換えてよい。…(3)

　・(2)(3)により、
　　「∀x ( x∈S⇒ ∀y ( y∈T ⇒ P(x,y) ) )」…(1)
　　は、
　　「∀x ( S'(x) ⇒ ∀y ( T'(y) ⇒ P(x,y) ) )」
　　に言い換えてよい。

 ※関連事項：
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　





【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　

　





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集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の意味　


　S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn }
　T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn }
　であるとき、　

　「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」　は、

　「『P( s1 ,t1) かつ P( s1 ,t2 ) かつ … かつ P(s1,tn)』
　　かつ
　　『P( s2 ,t1) かつ P( s2 ,t2 ) かつ … かつ P(s2,tn)』
　　かつ　
　　：
　　かつ　
　　『P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2 ) かつ … かつ P(sn,tn)』」

　に言い換えてよい。


※なぜ？

　・この設定の下では、 T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn } とされているので、
　　
　　「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」 は、
　　
　　　「　∀x∈S ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつ … かつ P(x,tn) )　」…(式1)

　　　に言い換えてよい。（∵）。　

　・この設定の下では、S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、
　　
　　(式1)　「　∀x∈S ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつ … かつ P(x,tn) )　」は、
　　　
　　「『P( s1 ,t1) かつ P( s1 ,t2 ) かつ … かつ P(s1,tn)』
　　　かつ
　　　『P( s2 ,t1) かつ P( s2 ,t2 ) かつ … かつ P(s2,tn)』
　　　かつ　
　　　：
　　　かつ　
　　　『P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2 ) かつ … かつ P(sn,tn)』」…(式2)

　　　に言い換えてよい。（∵）。　
※関連事項：
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　




【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』定理2.3.4の証明のなかを参照(p.90)；注意2.2.4(p.83)

　

※関連事項：
　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・　
　・




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「∀x∈S ∀y∈T P(x,y,z)」の別表現　　〜　順序対・直積を用いて。　



・「∀x∈S ∀y∈T  P(x,y)」 　は、

　「∀(x,y) ∈S×T  P(x,y) 」

　と表現してもよい。

※なぜ？　→　2項述語を1項述語として解釈〜順序対　　　　


※具体例
　「∀x∈S ∀y∈T ( x loves y )」　
　「∀n∈S ∀x∈T ( n>x )」
※関連：「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」のケース


【文献】

　 　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』5.１(pp.143-4)




　
　　


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