三項述語の二重量化「∀xSyT  P(x,y,z)」  


「∀xSyT  P(x,y,z)」の定義 
「∀xSyT  P(x,y,z)」の意味
「∀xSyT  P(x,y,z)」の読み下し例
xSyTの定義に遡った「∀xSyT P(x,y,z)意味 
集合S,Tが内包的に定義された場合の「∀xSyT P(x,y,z)意味 
集合S,Tが外延的に定義された場合の「∀xSyT P(x,y,z)意味 
「∀xSyT P(x,y,z)順序対・直積を用いた別表現 



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「∀xSyT  P(x,y,z)」  の定義 



【要旨】

 「xS yT  P(x,y,z)」 は、
  P(x,y,z)を2回普遍量化した
関連事項:「∀xSyT  P(x,y)」の定義   



   「xS (yT  P(x,y,z) )」 「zは、SのなかのすべてのxTのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」
 を表す。

 ※ 「xS yS  P(x,y,z)」 は、
    「x,yS  P(x,y,z)」 と略記されることがある。


【詳細】

 「xS yT  P(x,y,z)」 とは、
 下記手順でつくった命題関数「xS (yT  P(x,y,z) )」の略記。

  【step1:普遍量化1回目】  
 
  三項述語P(x,y,z)
    「x,y,zは関係・条件Pを満たす
  の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

  変項x,zのみを含む二項述語 yT  P(x,y,z) 
   「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす
  をつくる。  【step2:普遍量化2回目】  

  step1で得られた
  変項x,zのみを含む二項述語 
     yT  P(x,y,z) 「x,zは、Tのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 
  の変項xも全称量化子で束縛して普遍量化

  得られた変項zのみを含む一項述語・一変数命題関数が

   「xS (yT  P(x,y,z) )」 「zは、SのなかのすべてのxTのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」



【具体例】
  →
   ・単調数列の定義 
   ・狭義単調増加関数の定義  
   ・狭義単調減少関数の定義
   ・広義単調増加関数の定義
   ・広義単調減少関数の定義 
  →
  →
 
  



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「∀xSyT  P(x,y,z)」 の意味



  ・ P(x,y,z)は、変項xの議論領域X, 変項yの議論領域Yとするn項述語・n変数命題関数
  ・ Sは「X部分集合
  ・ Tは「Y部分集合

 という設定のもと、

  「xSyT  P(x,y,z)」すなわち「xS (yT  P(x,y,z) )」 とは、

  「《変項xの議論領域X部分集合S 
   《変項yの議論領域Y部分集合T
   から、どの対象を選んでも、
   《変項xの議論領域X部分集合Sから選んだ対象を変項xへ、
   《変項yの議論領域Y部分集合Tから選んだ対象を変項y
   代入すると、
   変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす。」

 を意味する《zを変項とする一項述語・一変数命題関数》。

【具体例】
   ・単調数列の定義 
   ・狭義単調増加関数の定義  
   ・狭義単調減少関数の定義
   ・広義単調増加関数の定義
   ・広義単調減少関数の定義 
  →
 

関連事項:「∀xSyT  P(x,y)」の意味   

関連事項: 
 ・「∀xy  P(x,y)」 の意味
 ・「∃xS ∃yT P(x,y)意味/「∃xS ∀yT P(x,y)意味/「∀xS ∃yT P(x,y)意味 





【文献−数学一般】
 ・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);議論領域設定例あり
 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀xX,∀yY":例2.3.3友人、例2.3.7大小;
 ・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀xRyR (x+y=y+x) 」「∀x,yR (x+y=y+x) 」
           (式2.3)「∀a,bR (a≠0⇒∃xR(ax+b=0) ) 」(p.8):
          例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」


 





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3項述語二重量化「xSyT  P(x,y,z)」の読み下し例


・「すべての『Sに属す対象』xとすべての『Tに属す対象』yが、関係Pにある」
     [野矢『論理学』2-2-2-多重量化(p.98)]

・「すべての『Sに属す対象』xとすべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)
     [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(p.54)]

・「任意の『Sに属す対象』x、任意の『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)
     [井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1)]

・「任意の『Sに属す対象』xと任意の『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)
     [齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2(pp.52-53)]

・「xを任意の『Sに属す対象』、yを任意の『Tに属す対象』とすれば、P(x,y)
     [井関『集合と論理』1.2 (式2.3)(p.8):]

・「どんな『Sに属す対象』x、『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y)
     [井関『集合と論理』1.2例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」]

・「どんな『Sに属す対象』xと『Tに属す対象』どんなyをとっても、
       P(x,y)が真のとき、このときに限って真になる命題」
     [井関『集合と論理』1.5 (p.28)]


【具体例】
 
  →
   ・単調数列の定義 
   ・狭義単調増加関数の定義  
   ・狭義単調減少関数の定義
   ・広義単調増加関数の定義
   ・広義単調減少関数の定義 
  

関連事項:「∀xSyT  P(x,y)」の読み下し例   

関連事項: 
 ・「∀xy  P(x,y)」 の読み
 ・「∃xS ∃yT P(x,y)の読み/「∃xS ∀yT P(x,y)の読み/「∀xS ∃yT P(x,y)の読み 





【文献−数学一般】
 ・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀xRyR (x+y=y+x) 」「∀x,yR (x+y=y+x) 」
           (式2.3)「∀a,bR (a≠0⇒∃xR(ax+b=0) ) 」(p.8):
          例2(1)(p.11)「∀x,y∈R (x≠yかつx<y ⇒ ∃z∈R(x<z<y))」
 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀xX,∀yY":例2.3.3友人、例2.3.7大小;
 ●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54):限定なし議論領域設定例あり











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xSyTの定義に遡った「∀xSyT P(x,y,z)意味 



・「xSyT  P(x,y,z)」すなわち「xS (yT  P(x,y,z) )」とは、

 「x ( xS y ( yT P(x,y,z) ) )」の省略表現。  


なぜ?「yT  P(x,y,z)」「 xS  Q(x,z) 」のそもそもの定義に立ち返ると一目瞭然。

step1】「xS (yT  P(x,y,z) )xS ( y ( yT P(x,y,z) ) )」 

    「yT  P(x,y,z)」は「y ( yT P(x,y,z) )」の省略表現であるから、

     「xS (yT  P(x,y,z) )」は、
      「 xS ( y ( yT P(x,y,z) ) ) 」  
    の省略表現。

step2】 「xS ( y ( yT P(x,y,z) ) )x ( xS y ( yT P(x,y,z) ) )

    「xS  Q(x,z)」は「x ( xSQ(x,z) )」の省略表現であるから、

    「xS ( y ( yT P(x,y,z) ) )」は、
 
    「x ( xS y ( yT P(x,y,z) ) )」の省略表現。

step3】 結論
 
    step1,step2でおこなった考察を合わせると、
    「xS (yT  P(x,y,z) )xS ( y ( yT P(x,y,z) ) )
                x ( xS y ( yT P(x,y,z) ) )
 


関連事項:xSyTの定義に遡った「∀xSyT P(x,y)意味    

関連事項:
 ・xS,∃yTの定義に遡った「∀xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・xS,∀yTの定義に遡った「∃xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・xS,∃yTの定義に遡った「∀xS ∃yT P(x,y)意味 







【文献】
 ・井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1): 「∀xRyR (x+y=y+x) 」「∀x,yR (x+y=y+x) 」
           (式2.3)「∀a,bR (a≠0⇒∃xR(ax+b=0) ) 」(p.8):


下記未確認

 ・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀xy",";2.5(pp.100-2):"∃xy";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;
 


 



※井関『集合と論理』1.2 (式2.1)(p.7脚注1):「x,yS  P(x,y)」は、「x,y ( xS かつyS P(x,y) ) 」の省略表現。  





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集合S,Tが内包的に定義された場合の「∀xSyT P(x,y,z)意味 


 集合Sの内包S'であるとき、 つまり、 S{ x | S'(x) } であるとき、 
 集合Tの内包T'であるとき、 つまり、 T{ y | T'(y) } であるとき、 

  「xSyT  P(x,y,z)」すなわち「xS (yT  P(x,y,z) )」 は、

 「x ( S'(x) y ( T'(y) P(x,y,z) ) )

 に言い換えてよい。

なぜ?

 ・「xSyT  P(x,y)」すなわち「xS (yT  P(x,y) )」は、
   「x ( xS y ( yT P(x,y) ) )」…(1)
  の省略表現()。 

 ・この設定の下では、 S{ x | S'(x) } とされているので、 
   xSは、x{ x | S'(x) }に言い換えてよい。
  また、x{ x | S'(x) } は、S'(x)に言い換えてよい()。
  以上二点より、設定下、xSは、S'(x)に言い換えてよい。…(2)

 ・この設定の下では、T{ y | T'(y) } とされているので、 
   yTは、y{ y | T'(y) } に言い換えてよい。
  また、y{ y | T'(y) } は、T'(x)に言い換えてよい()。
  以上二点より、設定下、yTは、T'(x) に言い換えてよい。…(3)

 ・(2)(3)により、
  「x ( xS y ( yT P(x,y) ) )」…(1)
  は、
  「x ( S'(x) y ( T'(y) P(x,y) ) )
  に言い換えてよい。

※関連事項:
 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃xS ∃yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀xS ∃yT P(x,y)意味 





【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74) 



 






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集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀xSyT P(x,y,z)意味 


 S有限集合 { s1 , s2 , … , sn }
 T有限集合 { t1 , t2 , … , tn }
 であるとき、 

 「xSyT  P(x,y)」すなわち「xS (yT  P(x,y) )」 は、

 「『P( s1 ,t1) かつ P( s1 ,t2 ) かつかつ P(s1,tn)
  かつ
  『P( s2 ,t1) かつ P( s2 ,t2 ) かつかつ P(s2,tn)
  かつ 
  :
  かつ 
  『P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2 ) かつかつ P(sn,tn)』」

 に言い換えてよい。


なぜ?

 ・この設定の下では、 T有限集合 { t1 , t2 , … , tn } とされているので、
  
  「xSyT  P(x,y)」すなわち「xS (yT  P(x,y) )」 は、
  
   「 xS ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつかつ P(x,tn) ) 」…(式1)

   に言い換えてよい。()。 

 ・この設定の下では、S有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、
  
  (式1) 「 xS ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつかつ P(x,tn) ) 」は、
   
  「『P( s1 ,t1) かつ P( s1 ,t2 ) かつかつ P(s1,tn)
   かつ
   『P( s2 ,t1) かつ P( s2 ,t2 ) かつかつ P(s2,tn)
   かつ 
   :
   かつ 
   『P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2 ) かつかつ P(sn,tn)』」…(式2)

   に言い換えてよい。()。 


※関連事項:
 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃xS ∃yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀xS ∃yT P(x,y)意味 




【文献−数学一般】
 ・中内『ろんりの練習帳』定理2.3.4の証明のなかを参照(p.90);注意2.2.4(p.83)


 

※関連事項:
 
 ・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃xS ∀yT P(x,y)意味  
 ・ 
 ・





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「∀xSyT P(x,y,z)別表現  〜 順序対・直積を用いて。 



・「xSyT  P(x,y)」  は、

 「(x,y) S×T  P(x,y)

 と表現してもよい。

※なぜ? → 2項述語を1項述語として解釈〜順序対    


※具体例
 「xSyT ( x loves y )」 
 「nSxT ( n>x )
関連:「∃xS ∃yT P(x,y)のケース





【文献】


   ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』5.1(pp.143-4)




 
  



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