二項述語の二重量化　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」　：　トピック一覧

【ポイント】

・「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」　は、

　「どの対象を集合Sから選んで変項xへ代入しても、
　　その対象に応じて、
　　　集合Tから対象をうまく選んで変項yへ代入することによって、
　　　　x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」

　という主張。

・集合S,Tが特定の対象に固定されている場合、
　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」は真偽確定した命題。→詳細

・集合Sは特定の対象に固定、
　集合Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合
　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」はTのみを変項とする1項述語。→詳細

・集合Sは変項、
　集合Tは《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合
　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」はS,Tを変項とする2項述語。→詳細

【詳細】
  ・∃x∈S ∀y∈T ： 定義/意味/読み下し例/
  ・∀x∈S ∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　
  ・バリエーション：∀x∈内包的に定義された集合 ∃y∈内包的に定義された集合 P(x,y)/∀x∈外延的に定義された集合 ∃y∈外延的に定義された集合P(x,y)　　　　　　
  ・具体例：
　・「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」   /　「∀n∈S ∃x∈T ( n>x )」 　
　・ ∀c∈R ∃n∈N  ( c<n ) / ∀M∈R ∃x∈A  ( M＜x ) / ∀m∈R ∃x∈A  ( x＜m )　 　
　・∀n∈N　∃m∈N　 (m≧n　かつ ω∈Am)　　
※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数
※総目次

「∀x∈S ∃y∈T  P(x,y)」 の定義
要旨


　「∀x∈S ∃y∈T  P(x,y)」は、

　 P(x,y)の存在量化を普遍量化した

　　　「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」

　を表す。

　→集合S,Tが特定の対象に固定されている場合
　　たとえば、
　　　∀c∈R ∃n∈N  ( c<n )
　　　∀x∈YMO　∃y∈Perfume ( x loves y )　

　→集合Sは特定の対象に固定、集合Tが変項で、様々な対象が代入される場合
　　　　　たとえば、　∀M∈R ∃x∈A  ( M＜x )
　　　　　　　　　　∀m∈R ∃x∈A  ( x＜m )　
　→集合S,Tは変項で、様々な対象が代入される場合
　　　　　たとえば、　「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」  「∀n∈S ∃x∈T ( n>x )」 　
※関連事項：
　・「∀x ∃y P(x,y)」の定義　
　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の定義/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の定義/「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の定義　




【文献】
　●本橋『新 しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　
　・松井知己『だれでも証 明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∀x∈R ∃y∈R y3=x ; 5.4(pp.167-176)
　・中内『ろん りの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理 2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y)　
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(pp.8-9): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」
　　　　　　　　　　1.2 例1(5) (p.10): 「∀x∈Z ∃y∈Z  (x＋y=x) 」
　・齋藤『日本語から記 号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あ り:f(x,y)=0,n<p素数自然数,
どの人の帽子にもある印がついている

　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9): 二重量化。英語での読み下し例。　





詳細　〜　S,Tが特定の対象に固定されている場合　

　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった命題「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」の略記。

　　【step1:存在量化】　　
　
　　二項述語P(x,y)

　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」

　　の変項yを存在量化子で束縛して存在量化し、


※具体例：∀c∈R ∃n∈N  ( c<n )
　　　　　∀x∈YMO　∃y∈Perfume ( x loves y )　

　　変項xのみを含む一項述語　∃y∈T P(x,y)　
　　　「xは、少なくとも一つ以上の『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。

　　【step2:普遍量化】　　

　　step1で得られた
　　変項xのみを含む一項述語　　
　　　　∃y∈T P(x,y)　　　「xは、少なくとも一つ以上の『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす」
　　の変項xを全称量化子で束縛して普遍量化。

　　得られた命題が

　　　∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )　 「すべての『集合Sに属す元』は、少なくとも一つ以上の『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす。」



詳細　〜　Sは特定の対象に固定、Tは変項である場合　

・集合Sは特定の対象に固定、
　集合Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、

　　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」　とは、

　下記手順でつくった一項述語「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」の略記。

　　【step1:普遍量化】
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを存在量化子で束縛して存在量化し、


※具体例： ∀M∈R ∃x∈A  ( M＜x ) / ∀m∈R ∃x∈A  ( x＜m )　

　　x,Tを変項とする2項述語　
　　　　　　∃y∈T P(x,y) 　「xは、ある『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。


　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　x,Tを変項とする2項述語　　
　　　　　　∃y∈T P(x,y) 　「xは、ある『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xを普遍量化子で束縛して普遍量化。

　　得られた一項述語が

　　　∀x∈S (∃y∈T P(x,y) ) 　「すべての『集合Sに属す元』は、ある『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす。」
　　

詳細　〜　S,Tが変項である場合　


・集合Sは変項、
　集合Tは《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、

　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった2項述語「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」の略記。

　　【step1:普遍量化】　　
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを存在量化子で束縛して存在量化し、



※具体例：「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」  「∀n∈S ∃x∈T ( n>x )」 　

　　x,Tを変項とする2項述語　
　　　　　　∃y∈T P(x,y) 　「xは、ある『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。

　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　x,Tを変項とする2項述語　　
　　　　　　∃y∈T P(x,y) 　「xは、ある『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xを普遍量化子で束縛して普遍量化。

　　得られたS,Tを変項とする2項述語が

　　　∀x∈S (∃y∈T P(x,y) ) 　「すべての『集合Sに属す元』は、ある『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす。」

→∀x∈S ∃y∈T P(x,y)　
→二項述語二重量化一覧　
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→総目次 


「∀x∈S ∃y∈T  P(x,y)」 の意味



・　P(x,y)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数
・　Sは「Xの部分集合」
・　Tは「Yの部分集合」

という設定のもとで、

「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」は、

　「どの《部分集合Sに属す対象》を選んで変項xへ代入しても、
　　その《部分集合Sに属す対象》に応じて、
　　　　《部分集合Tに属す対象》をうまく選んで変項yへ代入してあげることによって、
　　　　　x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」
を意味する。

なお、

・集合S,Tが特定の対象に固定されている場合、
　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」は真偽確定した命題。→詳細

　　【例】 ∀c∈R ∃n∈N  ( c<n ) / ∀x∈YMO　∃y∈Perfume ( x loves y )　

 ※関連事項：　
　・「∀x ∃y P(x,y)」の意味　
　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味/「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　



【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　
　・中内『ろんりの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y)　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∀x∈R ∃y∈R y3=x ; 5.4(pp.167-176)
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(pp.8-9): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」
　　　　　　　　　　1.2 例1(5) (p.10): 「∀x∈Z ∃y∈Z  (x＋y=x) 」
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あり:f(x,y)=0,n<p素数自然数,どの人の帽子にもある印がついている

　


・集合Sは特定の対象に固定、集合Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、

　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」はTのみを変項とする1項述語。→詳細

　　【例】 ∀M∈R ∃x∈A  ( M＜x ) / ∀m∈R ∃x∈A  ( x＜m )　

・集合Sは変項、集合Tは《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合、

　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」はS,Tを変項とする2項述語。→詳細

　　【例】 「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」   /　「∀n∈S ∃x∈T ( n>x )」

→∀x∈S ∃y∈T P(x,y)　
→二項述語二重量化一覧　
→論理記号一覧/述語・命題関数
→総目次 

「∀x∈S ∃y∈T  P(x,y)」 の読み下し例
「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の読み下し例

※具体例　　
　・「∀x∈S ∃y∈T ( x loves y )」   / ∀x∈YMO　∃y∈Perfume ( x loves y )　
　・「∀n∈S ∃x∈T ( n>x )」 　
　・「∀c∈R ∃n∈N  ( c<n )  
　・ ∀M∈R ∃x∈A  ( M＜x ) / ∀m∈R ∃x∈A  ( x＜m )　


【英語】


・For all x∈S, there exists y∈T such that P(x,y)
　　　　　　　　　 [新井4.1p.124をカスタマイズ]

・For all x in S, there exists an element y in T such that the pair (x,y) has property P."
　　　　　　　　　 [De La Fuente,p.8]


【日本語type1】 　　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

・「任意の（それぞれの）『Sに属す対象』xにたいして、
　　　　P(x,y)となるような『Tに属す対象』yが存在する。」

　　　　　　　　　 [新井4.1p.124をカスタマイズ]
　　　　　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

・「任意の『Sに属す対象』xにたいして、
　　　　P(x,y)となるような『Tに属す対象』yをみつけることができる。」
　　　　　[新井4.2p.128をカスタマイズ]

・「任意の『Sに属す対象』xについて、P(x,y)となる『Tに属す対象』yがある」
　　 [本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]

　　＊句読点の位置が違う
　　　「任意の『Sに属す対象』xについてP(x,y)、となる『Tに属す対象』yがある」
　　　は、
　　　「∃y∈T∀x∈S P(x,y)」になってしまうので注意。[本橋4.3(p.70）]
 ※関連事項：　
　・「∀x ∃y P(x,y)」の読み　
　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の読み/「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の読み/「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の読み　


【文献−数学一般】
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.142)
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　
　・中内『ろんりの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y)　
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(pp.8-9): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」
　　　　　　　　　　1.2 例1(5) (p.10): 「∀x∈Z ∃y∈Z  (x＋y=x) 」　　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∀x∈R ∃y∈R y3=x ; 5.4(pp.167-176)
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あり:f(x,y)=0,n<p素数自然数、どの人の帽子にもある印がついている
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。

　 ・新井紀子『数学は言葉』4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y(p.128):限定なし



・「どんな『Sに属す対象』xについても、P(x,y)となる『Tに属す対象』yがある」　 [本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]

・「どんな『Sに属す対象』xをとっても、P(x,y)を満たす『Tに属す対象』yの存在を主張」　[井関1.2 (式2.4)(p.9): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」;例1(5) (p.10): 「∀x∈Z ∃y∈Z  (x＋y=x) 」]

・「Sのなかでは、どんなxをとっても、P(x,y)を満たす『Tに属す対象』yがとれる（存在する）」　　[井関(式2.4)(p.8): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」]

・「すべての『Sに属す対象』xにたいして、P(x,y)となる『Tに属す対象』yが存在する。」　 [新井4.2p.128をカスタマイズ]

・「すべての『Sに属す対象』xについて、あるyでP(x,y)となる『Tに属す対象』yがある」　[本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]

・「すべての『Sに属す対象』xについて、P(x,y)となるような『Tに属す対象』yがある」　[中谷p.142]

・「どんな『Sに属す対象』xをとっても、（それぞれのxに応じて）P(x,y)が真になるように『Tに属す対象』yが存在するとき、このときにかぎって真になる命題」[井関『集合と論理』1.5 (p.28)]

【日本語type2】

・「任意に与えられた『Sに属す対象』xに対して、ある『Tに属す対象』yを選ぶと、p(x,y)成り立つ。」　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

・「任意の『Sに属す対象』xにおいて、xに対応した上手な『Tに属す対象』yの選び方があって、必ずP(x,y)にできる」　　[松井2.6(p.38)をカスタマイズ]

・「すべての『Sに属す対象』xについて、ある『Tに属す対象』yがあってp(x,y)である。」　　　[中内例2.6.1(p.103)]　

・「どんな『Sに属す対象』xをとっても、ある『Tに属す対象』y0をとればP(x,y0)は真になる」　[井関『集合と論理』1.5(p.28)]


【日本語type3】

・「"P(x,y)を満たす『Tに属す対象』yがある"がすべての『Sに属す対象』xについて成り立つ」　　 [本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]
　



「∀y∈T ∃x∈S P(x,y)」の読み方

※具体例：「∀y∈T ∃x∈S ( x loves y )」/ 「∀y∈T ∃x∈S ( yはxの師匠 )」 / 「∀x∈T ∃n∈S ( n>x )」 　　

【英語】

・For all y∈T, there exists x∈S such that P(x,y) .　 [新井4.1p.124をカスタマイズ]

【日本語type1】 　　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

・「任意の（それぞれの）『Tに属す対象』yにたいして、P(x,y)となるような『Sに属す対象』xが存在する。」　　[新井4.1p.124;齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

・「任意の『Tに属す対象』yにたいして、P(x,y)となるような『Sに属す対象』xをみつけることができる。」　　[新井4.2p.128をカスタマイズ]

・「任意の『Tに属す対象』yについて、P(x,y)となる『Sに属す対象』xがある」　　 [本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]

　　＊句読点の位置が違う
　　　「任意の『Tに属す対象』yについてP(x,y)、となる『Sに属す対象』xがある」は、
　　　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」になってしまうので注意。[本橋4.3(p.70）]

・「どんな『Tに属す対象』yについても、P(x,y)となる『Sに属す対象』xがある」　 [本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]

・「どんな『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y)を満たす『Sに属す対象』xの存在を主張」　[井関1.2 (式2.4)(p.9): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」;例1(5) (p.10): 「∀x∈Z ∃y∈Z  (x＋y=x) 」]

・「すべての『Tに属す対象』yにたいして、P(x,y)となる『Sに属す対象』xが存在する。」　 [新井4.2p.128をカスタマイズ]

・「すべての『Tに属す対象』yについて、ある『Sに属す対象』xでP(x,y)となるxがある」　[本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]

・「すべての『Tに属す対象』yについて、P(x,y)となるような『Sに属す対象』xがある」　[中谷p.142]

・「どんな『Tに属す対象』yをとっても、（それぞれのyに応じて）P(x,y)が真になるように『Sに属す対象』xが存在するとき、このときにかぎって真になる命題」　　[井関『集合と論理』1.5 (p.28)]

【日本語type2】

・「任意に与えられた『Tに属す対象』yに対して、ある『Sに属す対象』xを選ぶと、p(x,y)成り立つ。」　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

・「任意の『Tに属す対象』yにおいて、yに対応した上手な『Sに属す対象』xの選び方があって、必ずP(x,y)にできる」　　[松井2.6(p.38)をカスタマイズ]

・「すべての『Tに属す対象』yについて、ある『Sに属す対象』xがあってp(x,y)である。」　　　[中内例2.6.1(p.103)]　

・「Tのなかでは、どんなyをとっても、P(x,y)を満たす『Sに属す対象』xがとれる（存在する）」　　[井関(式2.4)(p.8): 「∀x∈R ∃y∈R (x<y) 」]

・「どんな『Tに属す対象』yをとっても、ある『Sに属す対象』x0をとればP(x0,y)は真になる」　[井関『集合と論理』1.5(p.28)]


【日本語type3】

・「"P(x,y)を満たす『Tに属す対象』yがある"がすべての『Sに属す対象』xについて成り立つ」　 [本橋4.3(p.70）一部カスタマイズ]


　　

→∀x∈S ∃y∈T P(x,y)　
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∀x∈S ∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　



・「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」　とは、

　「　∀x ( x∈S⇒ ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )　」の省略表現。　　


※なぜ？「∃y∈T P(x,y)」「 ∀x∈S  Q(x) 」のそもそもの定義に立ち返ると一目瞭然。


【step1】 「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」⇔「∀x∈S ( ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )」　

　　　　「∃y∈T P(x,y)」は「∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) 」の省略表現であるから、

　　 　　「　∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )　」は、
　　　　　　「　∀x∈S ( ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )　」　　
　　　　の省略表現。

【step2】 「∀x∈S ( ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )」⇔「∀x (x∈S⇒∃y( y∈TかつP(x,y) ) )」

　　　　「 ∀x∈S  Q(x) 」は「∀x ( x∈S⇒Q(x) )」の省略表現であるから、

　　　　「∀x∈S ( ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )」は、
　
　　　　「∀x ( x∈S⇒ ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )」の省略表現。

【step3】　結論
　
　　　　step1,step2でおこなった考察を合わせると、
　　　　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」⇔「∀x∈S ( ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )」
　　　　　　　　　　　　　　　⇔「∀x (x∈S⇒∃y( y∈TかつP(x,y) ) )」
 
 ※関連事項：
　・∀x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∃x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∃x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　



→∀x∈S ∃y∈T P(x,y)　
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集合S,Tが内包的に定義された場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　


　集合Sの内包がS'であるとき、　つまり、 S＝{ x | S'(x) } であるとき、　
　集合Tの内包がT'であるとき、　つまり、 T＝{ y | T'(y) } であるとき、　

　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」　は、

 　　「　∀x ( S'(x)　⇒ ∃y ( T'(y) かつ P(x,y) ) )　」

　　　　性質・条件S'を満たすすべてのxについて、
　　　　xとの関係・条件Pを満たすyが、
　　　　性質・条件T'を満たすyのなかに存在する　[本橋『新しい論理序説』4.5(p.74)]

　　　と言い換えてよい。


※なぜ？

　・「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」は、
　　　「　∀x ( x∈S⇒ ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )　」…(1)
　　の省略表現（∵）。　

　・この設定の下では、 S＝{ x | S'(x) } とされているので、　
　　　x∈Sは、x∈{ x | S'(x) }に言い換えてよい。
　　また、x∈{ x | S'(x) }　は、S'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、x∈Sは、S'(x)に言い換えてよい。…(2)

　・この設定の下では、T＝{ y | T'(y) } とされているので、　
　　　y∈Tは、y∈{ y | T'(y) } に言い換えてよい。
　　また、y∈{ y | T'(y) } は、T'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、y∈Tは、T'(x)　に言い換えてよい。…(3)

　・(2)(3)により、
　　「　∀x ( x∈S⇒ ∃y ( y∈T かつ P(x,y) ) )　」…(1)
　　は、
　　「　∀x ( S'(x)⇒ ∃y ( T'(x) かつ P(x,y) ) )　」　
　　に言い換えてよい。

 ※関連事項：
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　



【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　

　


→∀x∈S ∃y∈T P(x,y)　
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集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」の意味　


　S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn }
　T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn }
　であるとき、　

　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」　は、

　「『P( s1 ,t1) または P( s1 ,t2 ) または … または P(s1,tn)』
　　かつ
　　『P( s2 ,t1) または P( s2 ,t2 ) または … または P(s2,tn)』
　　かつ　
　　：
　　かつ　
　　『P( sn ,t1) または P( sn ,t2 ) または … または P(sn,tn)』」

　に言い換えてよい。


※なぜ？

　・この設定の下では、 T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn } とされているので、
　　
　　「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」すなわち「∀x∈S (∃y∈T P(x,y) )」は、
　　
　　　「　∀x∈S ( P(x,t1) または P(x,t2) または … または P(x,tn) )　」…(式1)

　　　に言い換えてよい。（∵）。　

　・この設定の下では、S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、
　　
　　(式1)　「　∀x∈S ( P(x,t1) または P(x,t2) または … または P(x,tn) )　」は、
　　　
　　「『P( s1 ,t1) または P( s1 ,t2 ) または … または P(s1,tn)』
　　　かつ
　　　『P( s2 ,t1) または P( s2 ,t2 ) または … または P(s2,tn)』
　　　かつ　
　　　：
　　　かつ　
　　　『P( sn ,t1) または P( sn ,t2 ) または … または P(sn,tn)』」…(式2)

　　　に言い換えてよい。（∵）。　
※関連事項：
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』定理2.6.3の証明のなかを参照(pp.105):　

下記すべて未確認

　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　

　





→∀x∈S ∃y∈T P(x,y)　
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