全称記号∀　　：　トピック一覧

【記号∀の説明】
　・論理記号∀の呼称
　・論理記号∀の使用法
　　∀x P(x) / ∀x∈X P(x)
　　∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y)
　・論理記号∀の読み下し方
　・論理記号∀の推論規則
　　－論理記号∀の導入則
　　－論理記号∀の除去則
【用語別】
　・全称量化記号
　・全称記号
　・universal quantifier　
　・全称量化子
　・全称作用素
・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・全称量化
・全称量化子による量化
・普遍量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※量化関連ページ：述語・命題関数/範囲を限定した普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在 量化/二重量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数/
※総目次 

「∀変項　一項述語」　

　・「∀変項　一項述語」の意味と読み下し方　
　・議論領域が有限集合の場合の「∀変項　一項述語」　　
　・「∀変項　一項述語」の読み下し例一覧　
　・「∀変項　一項述語」の具体的な使用例　
　・「∀変項　一項述語」のなかで用いられる用語
　・「∀変項　一項述語」の集合表現 　　
 



「∀変項　一項述語」の意味　


・「∀ 変項 　1項述語(1変数命題関数)」というかたち

　　　　　たとえば
　　　　　「  ∀x 　P(x)　」というかたち

　は、

　「議論領域Ωから何を取ってきてxに代入しても、
　　　　　　　　　xはPという性質・条件を満たす」

　という全称命題[→前原p.4;中内p.82]を意味し、

　「すべての/任意の/あらゆるxについて(に対して) 、
　　　　xはPである/Pという性質をもつ/Pという条件を満たす」
　
と読み下される。


　→議論領域が有限集合の場合　
　→主要テキストの読み下し例一覧
　→具体的な使用例


・このように、
　1項述語(1変数命題関数)P(x)
　そのものが確定した命題でなくても、
　頭に「 ∀x 」をつけること（「普遍量化」）によって、できたものは、
　確定した命題。
　古典論理においては、これは真偽を定められる。
　　[岡田章p.253]
　
・「∀ ＋ 変項(変数) ＋ 1項述語(1変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　「∀ ＋ 変項(変数)」が支配している範囲（スコープ）を明示するために、
　「∀ ＋ 変項(変数)」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。




【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.Quantifier(p.152)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,1.2.6限量子(pp.26-28)
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantifier
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6(pp.88-９６):「任意」「すべて」両方つかっているよう。
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)
　・鹿島亮『数理論理学』1.2(p.5)
【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)
【文献－数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)
【文献－数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』20;
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(p.5)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8):英語での読み下し例。

　



　　　【解説】

　　　　・議論領域Ωから何をとってきて変項xに代入するかに応じて、述語・命題関数P(x)が表す命題は、定まる[→述語・命題関数の定義]。
　　　　・古典論理のなかで設定された命題は、命題の真偽が、真か偽のいずれか一方に定まる（ように設定された）[→古典論理-排中律]。
　　　　・だから、議論領域Ωから何をとってきて変項xに代入するかに応じて、
　　　　　　　　述語・命題関数P(x)は、《偽の命題》《真の命題》のいずれか一方に定まる。
　　　　・ということは、
　　　　　議論領域Ωのなかにあるモノは、
　　　　　　type1:「xに代入されると、P(x)を《偽の命題》にする」モノ　
　　　　　　type2:「xに代入されると、P(x)を《真の命題》にする」モノ　
　　　　　の二種類に分けられる。
　　　　・全称命題「  ∀x P(x) 」とは、議論領域Ωのなかに
　　　　　　type1:「xに代入されると、P(x)を《偽の命題》にする」モノ　
　　　　　は一つとして存在しない、議論領域Ωのなかにあるモノすべては、
　　　　　　type2:「xに代入されると、P(x)を《真の命題》にする」モノ　
　　　　　である
　　　　　という主張にほかならない。　

　　　　→「∀x P(x,y) 」の集合表現 　

有限集合が議論領域のときの「∀変項 一項述語」の解釈　

・全称命題「 ∀x　P(x) 」 任意のxは 、性質・条件Pを満たす　
　は、
　議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , an } であるとき、

　「 P( a1 )　かつ　P( a2 )　かつ　…　かつ　P( an ) 」

　　　　　a1は性質・条件Pを満たし、
　　　　　かつ　　
　　　　　a2は性質・条件Pを満たし、
　　　　　かつ　　
　　　　　：
　　　　　かつ　　
　　　　　anは性質・条件Pを満たす。

　に言い換えてよい。
　




【文献－数学基礎論】
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,(p.26)
【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』6章「世界に三匹のブタしかいなかったら」(pp.203-207)
【文献－数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』注意2.2.4(p.83)
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§8記号論理へのコメント-有限変域の場合(pp.97-8)
【文献－数理経済】
　・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,p.8:∀は、「かつ」の一般化とみなせる。

　






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「∀変項　一項述語」に関わる諸用語　

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∀＋変項 ＋1項述語(1変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀」は、　
　　全称量化記号[斎藤p.49;井関p.7;岡田光弘p.30]　
　　全称記号　　[『記号論理入門』p.4;斎藤p.49;中内p.82;杉浦p.401]
　　universal quantifier　[斎藤p.49;岡田光弘p.30;De LaFuente,p.8]
　　Allzeichen 　　　　　　[『数理論理学序説』p.152]
　などと呼ばれる論理記号。

・「∀＋変項 ＋1項述語(1変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀＋変項」という部分は、　
　　　全称量化子 [斎藤p.49]
　　　全称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.82]　
　　　universal quantifier　[前原p.4;斎藤p.49]
　と呼ばれる。
　　＊岡田章は、記号「∀」そのものを「全称量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？

・全称量化子・全称作用素「∀ ＋ 変項 」を
　1項述語(1変数命題関数)の前につけて
　「∀＋変項 ＋1項述語(1変数命題関数)」というかたちにする行為を、
　
　　　全称量化子による量化　[斎藤p.49]
　　　全称量化　[野矢 p.213]
　　　普遍量化　[本橋pp.40-41]

　などと呼ぶ。

　他の文脈で、「束縛bound」と呼ぶこともある(→詳細)。

　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]





【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.Quantifier(p.152)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。

【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

【文献－数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)

【文献－数理経済】
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8):英語での読み下し例。

　


【スコープ】

・「∀ ＋ 変項 ＋1項述語(1変数命題関数)」というかたちのなかで、
　全称量化子・全称作用素「∀ ＋ 変項」によって量化された
　　「1項述語(1変数命題関数)」
　の部分は、
　全称量化子・全称作用素「∀ ＋ 変項」の

　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]

　などと呼ばれる。
　
　　※「∀＋変項 ＋1項述語(1変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　　　「∀ ＋ 変項」が支配しているのがどこまでかを明示するために、
　　　「∀ ＋ 変項」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。





【文献－数学基礎論】
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)

【文献－分析哲学・論理学】
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)


　


【束縛する/束縛変項/自由変項】

・  全称量化子・全称作用素「∀ x」を、xの性質・条件P(x)の前につける行為を、
　「変項(変数)xを束縛するbind」と呼ぶ。[井関p.26;前原p.5]　

・「  ∀x (　xが有す性質P　) 」
　「  ∀x (　xが満たす条件P　) 」
　「  ∀x (　P(x)　) 」
　において、
　「∀x 」のスコープにある 変項x　

　　つまり、
　　　「∀x 」によって量化された1項述語(1変数命題関数)　
　　　　xが有す性質P　
　　　　xが満たす条件P　
　　　　P(x)　　　　
　　　のなかの変項x
　は、
　束縛変数bound variableと呼ばれる。[斎藤p.50;前原1章§7-8][岡田光弘p.31;]
　　　　　　　[本橋2.4(pp.31-34))]


・「  ∀x (　xが有す性質P　) 」
　「  ∀x (　xが満たす条件P　) 」
　「  ∀x (　P(x)　) 」
　に自由変項（自由変数）free variableは存在しない。　
　　　　　　




【文献－数学基礎論】
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。

【文献－分析哲学・論理学】
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

【文献－数学一般】
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))

　



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「∀変項　一項述語」の読み下し例：一覧　　



【読み下し例：「 ∀x P(x) 」】


　　「すべてはPである。」[野矢p.217]
　　「すべてのxについて、xはPである」
　　「あらゆるxがPである」[久我入谷p.6]
　　「すべてのxはPである」「岡田光弘p.29」
　　「すべてのxについて、xはPという性質をもつ」
　　「すべてのxについて、xはPという条件を満たす」　


　　「あらゆるxに対して、P(x)」[久我入谷p.6]
　　「すべてのxに対して、P(x)」[前原p.4;斎藤pp.48-51;杉浦p.400;高崎;久我入谷p.6]
　　「すべてのxについて、P(x)」[中内p.82]
　　「すべてのxについて、P(x)が成り立つ」[松本p.28]
　　"for all x, P(x) is true"　[De LaFuente,p.8]
　　　　　 [for all x, ... ：岡田光弘p.30脚注3;新井p.57]


　　「任意のxに対して、P(x)」[杉浦p.400;斎藤pp.50-1;久我入谷p.6]
　　「任意のxにおいて、P(x)」[松井p.43]　
　　「任意のxについて、P(x)」[中内p.82]
　　"given any x,..." [en.wikipedia.org "Universal_quantifier"]
　　"for any x, ..." [久我入谷p.7]

　　Everything is P [戸田山p.119]　


　　「どんなxについても、P(x)」[中内p.82]
　　




【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,1.2.6限量子(pp.26-28)
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantifier
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6(pp.88-９６):「任意」「すべて」両方つかっているよう。
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)
【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)
　・戸田山『論理学をつくる』5.2.4(p.117):英語の文例が豊富。
【文献－数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83)
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)

【文献－数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』20;
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(p.5)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8)

　

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「∀変項　一項述語」の具体例1

　議論領域Rにおいて、　∀x (x2≧0)　　　[斎藤p.49;]　

　・解釈：

　　「∀＋変項 ＋1項述語(1変数命題関数)」というかたちにおいて、
　　　変項 をx,
　　　1項述語(1変数命題関数)P(x)をx2≧0としたもの。
　
　・意味：
　　「議論領域Rから、どんな実数をとってきて、xに代入しても、　　
　　　　　　　　　　　 xはx2≧0という性質・条件を満たす」
　　　という全称命題。

　・読み下し例：　

　　「すべてのxについて(に対して) 、xはx2≧0という性質をもつ」
　　「すべてのxについて(に対して) 、xはx2≧0という条件を満たす」
　　「任意のxについて(に対して) 、xはx2≧0という性質をもつ」
　　「任意のxについて(に対して) 、xはx2≧0という条件を満たす」
　　「あらゆるxについて(に対して) 、xはx2≧0という性質をもつ」
　　「あらゆるxについて(に対して) 、xはx2≧0という条件を満たす」
　
　・Rを議論領域とする1項述語(1変数命題関数)
　　　「x2≧0」
　　は、
　　xにどの実数を入れるかに依存して、様々な命題を表すが、
　　「∀x (x2≧0)」は、何にも依存しない確定した命題。　

　・用語：
　　・「∀x (x2≧0)」の「∀」は、全称記号とよばれる論理記号。
　　・「∀x (x2≧0)」の「∀x」は、全称量化子・全称作用素とよばれる。
　　・全称量化子・全称作用素「∀x」を「x2≧0」の前につけて
　　　「∀x (x2≧0)」
　　　をつくることは、
　　　全称量化・普遍量化とよばれる




【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,1.2.6限量子(pp.26-28)
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantifier
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6(pp.88-９６):「任意」「すべて」両方つかっているよう。
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)

【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

【文献－数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)

【文献－数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』20;
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(p.5)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8):英語での読み下し例。

　



　　・「∀x (x2≧0)」というかたちのなかで、
　　　全称量化子・全称作用素「∀x」によって量化された
　　　　「x2≧0」
　　　は、
　　　全称量化子・全称作用素「∀x」のスコープscope適用範囲,視野,作用域 などと呼ばれる。　
　　・「∀x (x2≧0)」において、「∀x」によって量化された「x2≧0」のなかの変数xは、
　　　束縛変数とよばれる。
　　・「∀x (x2≧0)」には、自由変数は存在しない。

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