二項述語の二重量化「∃x∃y  P(x,y)」 「∃x,y P(x,y)」　　：　トピック一覧



　・「∃x∃y P(x,y)」 「∃x,y P(x,y)」の定義

　・「∃x∃y P(x,y)」 「∃x,y P(x,y)」の意味

　・「∃x∃y P(x,y)」 「∃x,y P(x,y)」の読み下し例


※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　

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※総目次 


「∃x∃y  P(x,y)」 「∃x,y P(x,y)」　の定義



【要旨】

　「∃x∃y P(x,y)」「∃x,y P(x,y)」は、

　 P(x,y)を2回存在量化した
　　　「∃x (∃y  P(x,y) )」
　を表す。


【詳細】

　「∃x∃y P(x,y)」「∃x,y P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった命題「∃x (∃y  P(x,y) )」の略記。


　　【step1:存在量化1回目】
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを存在量化子で束縛して存在量化し、

　　変項xのみを含む一項述語　∃y  P(x,y)　
　　　　　「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。

　　【step2:存在量化2回目】　　

　　step1で得られた
　　変項xのみを含む一項述語　∃y  P(x,y)　
　　　　　「xは、あるyにたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xも存在量化子で束縛して存在量化。

　　得られた命題が
 ※関連事項：　
　・∃x∈S ∃y∈T P(x,y)の定義　　　
　・「∀x∀y P(x,y)」の定義/「∃x∀y P(x,y)」の定義/「∀x∃y P(x,y)」の定義　


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】

　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)


　　　∃x (∃y  P(x,y) )
　　　「あるyにたいして関係・条件Pを満たすxが存在する。」

※具体例
　　→「∃x,y ( x loves y )」「∃x∃y ( x loves y )」
　　→「∃x,y ( yはxの師匠 )」「∃x∃y ( yはxの師匠 )」
　　→「∃n,x ( n>x )」


→∃x∃y  P(x,y) 　
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「∃x∃y  P(x,y)」 「∃x,y P(x,y)」　の意味



　P(x,y)を、
　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数とすると、　

　「∃x,y P(x,y)」「∃x∃y P(x,y)」　すなわち　「　∃x (∃y  P(x,y) )　」　は、

　　　　　　
　「《議論領域Xに属す対象》《議論領域Yに属す対象》をそれぞれうまく選んで、
　　《議論領域Xに属す対象》を変項xへ、
　　《議論領域Yに属す対象》を変項yへ代入することによって、
　　x-y間の関係・条件P(x,y) を成り立たせることができる」

　と主張する命題を意味する。



※具体例
　　→「∃x,y ( x loves y )」「∃x∃y ( x loves y )」
　　→「∃x,y ( yはxの 師匠 )」「∃x∃y ( yはxの 師匠 )」
　　→「∃n,x ( n>x )」

 ※関連事項：　
　・∃x∈S ∃y∈T P(x,y)の意味　　　
　・「∀x∀y P(x,y)」の意味/「∃x∀y P(x,y)」の意味/「∀x∃y P(x,y)」の意味　


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　



　


→∃x∃y  P(x,y) 　
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「∃x∃y  P(x,y)」 「∃x,y P(x,y)」の読み下し例




【type1】
　
・「あるxとあるy を選ぶと、P(x,y)。」
　　　　　　　　　　　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.60)]　
・「ある(x,y)をとれば、P(x,y)が成立する。」
　　　　　　　　　　　　　　　[井関1.2 例1(2) (p.10): 「∃x,y∈Z  (x<y) 」]

・「適当なx,y を選ぶと、P(x,y)。」
　　　　　　　　　　　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.59)]　　

【type2】

・「P(x,y)となるようなxとy が存在する。」
　　　　　　　　　　　　　　　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§3(p.61)]　

【その他】
　
・「あるxについて、あるyについてP(x,y)である。」
　　　　　　　　　　　　　　　[中谷『論理』6.3A(p.141) ]　　

・「あるxについて、P(x,y)となるようなyがある。」
　　　　　　　　　　　　　　　[中谷『論理』6.3A(p.141) ]　　

・「あるx0とあるy0がとれ、
　　　　このx0,y0にたいして、P(x,y)が真のとき、このときにかぎって真になる命題を表す 」
　　　　　　　　　　　　　　　[井関1.5 (pp.28-29)]


※具体例
　　→「∃x,y ( x loves y )」「∃x∃y ( x loves y )」 　
　　→「∃x,y ( yはxの師匠)」「∃x∃y ( yはxの師匠 )」 　
　　→「∃n,x ( n>x )」

　


 ※関連事項：　
　・∃x∈S ∃y∈T P(x,y)の読み　　　
　・「∀x∀y P(x,y)」の読み/「∃x∀y P(x,y)」の読み/「∀x∃y P(x,y)」の読み　


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.1∃x∃y(x loves y),∀x∃y(x loves y)(p.64);
　　　　　　　　　　　　　全称特称文∀x∈X ∃y∈Y P(x,y),単純全称特称文∀x ∃y P(x,y),
　　　　　　　　　　　　　特称全称文∃x∈X ∀y∈Y P(x,y),単純特称全称文∃x ∀y P(x,y)
　　　　　　　　　　　　4.2単純∀∃文と単純∃∀の論理記号による書き方:例「yはxより大きい」「xはyが好き」「yはxの母親」(pp.67-69)　
　　　　　　　　　　　　4.3単純∀∃文と単純∃∀の読み方:例「x<y」「yはxの母親」(pp.69-71)　
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子による二重量化(pp.52-54);§3存在量化子による二重量化(pp.60-61);§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74);
　・中内『ろんりの練習帳』2.3(pp.89-93):"∀x∀y",";2.5(pp.100-2):"∃x∃y";2.6(pp.103-5):∀∃,∃∀;

【文献−数学基礎論】
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.141)
　・井関『集合と論理』1.5 (pp.28-29)
　・前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(p.21-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-2５)。
　・新井紀子『数学は言葉』2.3∃∃,∃∈∃∈(p.57-);例題3.2.9∀∀(pp.89-９0);例題3.2.10∀∀(⇒∃)(p.９0):変則的;∃∈∀∈(p.９2);量化子が複数並んであらわれるとき、その影響の及ぶ範囲が明らかなときに限り、カッコをしょうりゃくしてよい。(p.100);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);4.2関数の定義∀x∃y f(x)=y・全射∀y∃x f(x)=y・単射∀∀(pp.128-9);例題4.2.2関数fは上に有界 ∃M ,∀a （f(a)≦M）(pp.132-134):f,a,M3項述語の二重量化;例題4.2.2単調増加関数の定義 (pp.132-135):f,x,y3項述語の二重量化;例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.3連続と一様連続:四重量化(pp.144-6);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　
【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢『論理学』2-2-2-多重量化(pp.96-9９)

　






→∃x∃y  P(x,y) 　
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