論理記号∀　　：　トピック一覧

【記号∀の説明】
　・論理記号∀の呼称
　・論理記号∀の使用法
　　∀x P(x) / ∀x∈S P(x)
　　∀x P(x,y) / ∀x∈S P(x,y)
　　∀xi P(x1,…,xn) / ∀xi∈S P(x1,…,xn)　
　　多重量化　
　・論理記号∀の読み下し方
　・論理記号∀の推論規則
　　−論理記号∀の導入則
　　−論理記号∀の除去則
【用語別】
　・全称量化記号
　・全称記号
　・universal quantifier　
　・全称量化子
　・全称作用素
・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・全称量化
・全称量化子による量化
・普遍量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※量化関連ページ：述語・命題関数/普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在量化/二重量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧
※総目次 

∀変項∈範囲　二項述語　

【ポイント】

・「∀x∈S P(x,y)」 は、
　集合Sという範囲から対象を選んで、変項xに代入すると、
　どの対象を集合Sから選んで、変項xに代入しても、
　変項yは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y)を満たす
　という主張。

・集合Sが特定の対象に固定されている場合、
　「∀x∈S P(x,y)」 は、yのみを変項とする1項述語。

　・例：∀n∈N （ 「《数列》の第n項」＜「《数列》の第n＋１項」）
　・例：∀n∈N （ 「《数列》の第n＋１項」＜「《数列》の第n項」 ）　
　・例：∀n∈N （ 「《数列》の第n項」≦「《数列》の第n＋１項」）　　
　・例：∀n∈N （ 「《数列》の第n＋１項」≦「《数列》の第n項」）　
　・例： ∀x∈A ( x≦M ) / ∀x∈A ( m≦x )  　　

・集合Sも変項で、様々な対象が代入される場合、
　「∀x∈S P(x,y)」 は、S,zを変項とする2項述語。

【詳細】

　・「∀x∈S P(x,y)」 の意味と読み下し方/読み下し例一覧/具体的な使用例/用語/
　・「∀x∈S P(x,y)」 のバリエーション ：∀x∈『内包的に定義された集合』 P(x,y)/∀x∈有限集合 P(x,y)/∀xの条件式　P（x,y）



「∀+変項∈範囲+二項述語」の意味　

【ざっくり】

　「∀x∈S 　P(x,y)」 」は、

　「すべての/任意の/あらゆる『集合Sに属す対象』xについて 、
　　　　　　　　　　　　　x,yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　と読み下され、

　「集合Sの範囲から何を取ってきてxに代入しても、
　　　　　　　　　　　　　　yはxとの関係Pを満たす」

　を意味する。　

　[中内注意2.3.2(p.89)];本橋pp.42-43;斎藤p.52;前原1章§8(p.24)]


【きっちり】

(ケース1)

　[設定]

　・P(x,y)：
　　「変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数」

　・S：特定の「Xの部分集合」　　　

　[本題]


　・「 ∀x∈S P(x,y) 」
　　　　　Xの部分集合Sのなかの任意のxについて、yはxとの関係Pを満たす
　　は、

　　議論領域をYとする1変項yの命題関数　「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」
 　※具体例：「∀x∈S ( x loves y )」「∀y∈T ( x loves y )」　
　※関連事項−二項述語の量化： ∀x P(x,y)の意味 / ∃x P(x,y)の意味 / ∃x∈X P(x,y)の意味
　※関連事項−二項述語の二重量化：∀x∈S∀y∈T P(x,y)/∃x∈S∀y∈T P(x,y)/∀x∈S∃y∈T P(x,y)/∃x∈S∃y∈T P(x,y)




【文献−数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§3(pp.3-4);§4(pp.5-8);§5(pp.8-9);§7多変数(pp.20-21);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,1.2.6限量子(pp.26-28)
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantifier
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6(pp.88-９６):「任意」「すべて」両方つかっているよう。
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)

【文献−分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

【文献−数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)

【文献−数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』20;
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(p.5)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(p.8):英語での読み下し例。

　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　議論領域Xのなかの任意のxについて、xが集合Sに属すならば、yはxとの関係Pを満たす　

　　の省略表現。　

　・だから、「 ∀x∈S P(x,y) 」と「  ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」とは、互いに言い換えてよい。　※具体例：「∀x∈S ( x loves y )」「∀y∈T ( x loves y )」　

　※「∀x∈S P(x,y) 」と書くとき、Sを 変項xの議論領域Xにしても構わない。つまり、「∀x∈X P(x,y) 」という表現もOK。
　　この「∀x∈X P(x,y) 」という表現によって、変項xの議論領域Xを読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。

　※このように、二項述語・2変数命題関数P(x,y)の頭に「 ∀x∈《特定の集合S》」をつける（普遍量化）と、　1項述語(1変数命題関数)Q(y)　になる。

　→集合Sが『内包的に定義された集合』のときの解釈　
　→集合Sが有限集合であるときの解釈　

　→主要テキストの読み下し例一覧
　→具体的な使用例　




　　(ケース2)　　この点を指摘したテキストが見当たらないため、独自。

　　　[設定]

　　 　・P(x,y)：「変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数」

　　 　・S　　：「Xの部分集合系」に属す様々な「Xの部分集合」が代入される変項　

　　 　[本題]

　　　・「 ∀x∈S P(x,y) 」は、「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」の省略表現。　

　　　　　※ 「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」の詳細解説
　
　　　　　　　・「x∈S⇒P(x,y)」は、変項S,x,yからなる3項述語・3変項命題関数。
　　　　　　　・「x∈S⇒P(x,y)」の変項xを∀で束縛し普遍量化したのが  「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　・ 「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」で自由変項のままなのは、 S,y。
　　　　　　　　「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」は、S,yを変項とする二項述語・2変数命題関数となる。
　　　　　　　
　　　　　　　・二項述語・2変数命題関数「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」の変項yの議論領域はY。　　（P(x,y)にまつわる設定より）
　　　　　　　　二項述語・2変数命題関数「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」の変項Sの議論領域は「Xの部分集合系」　 (Sにまつわる設定より)。


　　　・だから、「 ∀x ( x∈S⇒P(x,y) ) 」を省略した「 ∀x∈S P(x,y) 」も、S,yを変項とする二項述語・2変数命題関数　。　

　　　 ※このように、二項述語・2変数命題関数P(x,y)の頭に「 ∀x∈《変項S》」をつける（普遍量化）と、二項述語・2変数命題関数Q(S,y)　になる。

　　　→集合Sが『内包的に定義された集合』のときの解釈　
　　　→集合Sが有限集合であるときの解釈　

　　　→主要テキストの読み下し例一覧
　　　→具体的な使用例　


→[トピック一覧：全称記号∀]
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∀x∈S P(x,y)の解釈：Sが『内包的に定義された集合』であるとき　

・P(x,y)を「変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数」
　Sを「Xの部分集合」
　とすると、　

※具体例：「∀x∈S ( x loves y )」「∀y∈T ( x loves y )」　
※関連事項−二項述語の量化：  ∃x∈X P(x,y) のケース
※関連事項−二項述語の二重量化：「∀x∈S∀y∈T P(x,y)」のケース/「∃x∈S∀y∈T P(x,y)」のケース

　議論領域をYとする1変項yの命題関数　「 ∀x∈S　P(x,y) 」　（「変項xの議論領域Xの部分集合」Sに属す任意のxに対して、yは関係Pを満たす）　

　は、

　集合Sの内包がQであるとき、　つまり、 S＝{ x'∈X | Q(x') } であるとき、　

　議論領域をYとする1変項yの命題関数　「 ∀x ( Q(x)⇒ P(x,y) ) 」に言い換えてよい。

・すなわち、

　　「 ∀x∈ { x'∈X | Q(x') }  P(x,y) 」　は 、
　　「 ∀x ( Q(x)⇒ P(x,y) ) 」　へ

　言い換えてよい。

→この場合に使われる略記法　

※なぜ？

　・定義より、
　　「　∀x∈ { x'∈X | Q(x') }  P(x,y)　」　は、
　　「　∀x ( x∈ { x'∈X | Q(x') } ⇒ P(x,y) )　」　の省略表現。

　・  x∈ { x'∈X | Q(x') } はQ(x)に言い換えてよい（∵）から、
　　「　∀x ( x∈ { x'∈X | Q(x') } ⇒ P(x,y) )　」
　　は、
　　「　∀x ( Q(x)⇒ P(x,y) )　」
　　に言い換えてよい。

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さらなる省略形「∀ 条件式　二項述語」　　　


・P(x,y)を「変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数」とした際の、　

　「 ∀  xを先頭にした条件式Q(x)  　P(x,y)　」

　　　　たとえば、　Rを変項xの議論領域とした際の「　 ∀  x>0  P(x,y)　」
　　




【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』注2.2.8(p.85)略記法

　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』1.2.3限量子(pp.20-21);


　は、　 

　議論領域をYとする1変項yの命題関数　「 ∀x∈ { x'∈X | Q(x') }  P(x,y) 」　　Q(x)の真理集合に属す任意のxに対して 、yは関係・条件Pを満たす。
  　　上の例では、
　　　　　 ∀x∈{ 'x∈R |  x'>0  }　P(x,y)　　「「x'>0」の真理集合に属す任意のxに対して 、yは関係・条件Pを満たす」

　の省略表現。
　
・さらにいうと、

　P(x,y)を「変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数」とした際の
　「 ∀  xを先頭にした条件式Q(x)  　P(x,y)　」

　　　　　　　　たとえば、Rを変項xの議論領域とした際の「 ∀  x>0  P(x,y) 」

　は、

　　議論領域をYとする1変項yの命題関数　「 ∀x ( Q(x)⇒ P(x,y) ) 」　

　　　　　　　　上記の例では、　∀x ( x>0 ⇒ P(x,y) ) 　　　

　に言い換えてよい。

　　　なぜなら、
　　　　・先述のとおり、
　　　 　　「 ∀  xを先頭にした条件式Q(x)  　P(x,y)　」
　　　　　は、
　　　　　 「 ∀x∈ { x'∈X | Q(x') }  P(x,y) 」 の省略表現。
　　　　・「 ∀x∈ { x'∈X | Q(x') }  P(x,y) 」 は「 ∀x ( Q(x)⇒ P(x,y) ) 」に言い換えてよい（∵）。


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有限集合が議論領域のときの「∀変項 二項述語」の解釈　

　1変項yの命題関数・一項述語　

　　∀x∈S P(x,y) 　「すべての『Sに属す対象』xに対して、yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　は、

　Sが有限集合 { a1 , a2 , … , an } であるとき、

　1変項yの命題関数・一項述語　
※具体例：「∀x∈S ( x loves y )」「∀y∈T ( x loves y )」　

　　　P(a1,y) かつ P(a2,y) かつ … かつ P(an,y) 　　　「yは、a1と関係Pにあり、かつ、a2と関係Pにあり、かつ…かつ、anと関係Pにある」

　に言い換えてよい。

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「∀+変項∈範囲+二項述語」に関わる諸用語　

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ 2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀」は、　
　　全称量化記号　[斎藤p.49;井関p.7;岡田光弘p.30]　
　　全称記号　　　[前原p.4;斎藤p.49;中内p.82;杉浦p.401]
　　universal quantifier　[斎藤p.49;岡田光弘p.30;De LaFuente,p.8]
　などと呼ばれる論理記号。

・「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ 2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀＋変項」という部分は、　
　　　全称量化子 [斎藤p.49]
　　　全称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.82]　　　
　　　universal quantifier　[前原p.4;斎藤p.49]
　と呼ばれる。
　　＊岡田章は、記号「∀」そのものを「全称量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？


【量化】

・全称量化子・全称作用素「∀ ＋ 変項 ∈範囲 」を
　 2項述語(2変数命題関数)の前につけて
　「∀ ＋ 変項 ∈範囲 ＋ 2項述語(2変数命題関数)」というかたちにする行為を、
　
　　　全称量化子による量化　[斎藤p.49]
　　　全称量化　[野矢 p.213]
　　　普遍量化　[本橋pp.40-41]
　　　
　などと呼ぶ。
　別の文脈で、「《変項》の束縛bound」と呼ぶこともある[→詳細]。

　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]

　　　　　　




【スコープ】

・「∀ ＋ 変項∈範囲 ＋ 2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかで、
　全称量化子・作用素「∀ ＋ 変項∈範囲 」によって量化された
　　「2項述語(2変数命題関数)」
　の部分は、
　全称量化子・作用素「∀ ＋ 変項∈範囲 」の
　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]
　　作用範囲[前原1章§8(p.24)]
　などと呼ばれる。
　
　　※「∀ ＋ 変項∈範囲 ＋ 2項述語(2変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　　　どこまでが「∀ ＋ 変項∈範囲」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。
　　　そういうときは、
　　　「∀ ＋ 変項∈範囲」のスコープがどこまでかを明示するために、
　　　「∀ ＋ 変項∈範囲」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。
　　　　　　




【束縛する/束縛変項/自由変項】

・  ∀x∈範囲 を、x,yの関係・条件P(x)の前につける行為を、
　「変項(変数)xを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26]　

・　「  ∀x∈範囲 (　x,yの関係P　) 」
　　「  ∀x∈範囲 (　x,yが満たす条件P　) 」
　　「  ∀x∈範囲 (　P(x,y)　) 」
　において、
　「∀x∈範囲」のスコープにある 変項x　

　　つまり、
　　　「∀x∈範囲」によって量化された2項述語(2変数命題関数)　
　　　　x,yの関係P　
　　　　x,yが満たす条件P　
　　　　P(x,y)　　　　
　　　のなかの変項x

　は、
　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable
　と呼ばれる。[斎藤p.50;前原1章§7-8][岡田光弘p.31;]
　　　　　　　[本橋2.4(pp.31-34))]

・　「  ∀x∈範囲(　x,yの関係P　) 」
　　「  ∀x∈範囲(　x,yが満たす条件P　) 」
　　「  ∀x∈範囲(　P(x,y)　) 」
　において、
　「∀x∈範囲」のスコープにある 変項y　

　　つまり、
　　　「∀x∈範囲」によって量化された2項述語(2変数命題関数)　
　　　　　x,yの関係P　
　　　　　x,yが満たす条件P　
　　　　　P(x,y)　　　　
　　　のなかの変項y
　は、
　自由変項 （自由変数）　free variable
　と呼ばれる。[岡田光弘p.31;井関p.2９;前原1章§8(p.24)]　





【文献−数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野

【文献−分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.167)

【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。

　


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「∀x∈S P(x,y) 」の読み下し例：一覧　　

【英語】

"for all  x in S , the pair (x,y) has property P."
　　　　　　　　　　　　　[De La Fuente,p.8]

【日本語】

・「　すべての『Sに属す対象』xについて、P(x,y)　」[本橋p.70]　
　「　任意の『Sに属す対象』xにたいして、P(x,y)　」[斎藤p.52]　
　「　任意の『Sに属す対象』xについて、P(x,y)　」[本橋p.70]　
　などと読み下す。

・2項述語(2変数命題関数)P(x,y)　は、
　　「x,yはPの関係にある」[前原p.20;岡田光弘2008定義4.1脚注(p.30)]
　　「x,yは条件Pを満たす」[前原p.21?]
　と読むのだったから、
　これに従うと、
　「 ∀x∈S P(x,y) 」
　は、　
　「　すべての/任意の『Sに属す対象』xにたいして(について)、
　　　　　x,yはPの関係にある/条件Pを満たす　」
　と読み下せる。
※具体例：∀x∈S ( x loves y ) の読み　/　 ∀y∈Y ( x loves y )　の読み　　 　
※関連事項−二項述語の量化： ∀x P(x,y)の読み / ∃x P(x,y)の読み / ∃x∈X P(x,y)の読み
※関連事項−二項述語の二重量化：「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の読み/「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」の読み/「∀x∈S∃y∈T P(x,y)」の読み/「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」の読み　
　


【文献】
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.141)
　●本橋『新しい論理序説』4.1(p.64):
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(pp.167-9)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例

　


　


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「∀+変項∈範囲+二項述語」の具体例　



【例】

・∀x∈S ( x loves y ) 　/　 ∀y∈Y ( x loves y )　 　

・∀n∈N （ 「《数列》の第n項」＜「《数列》の第n＋１項」）　

・∀n∈N （ 「《数列》の第n＋１項」＜「《数列》の第n項」 ）　

・∀n∈N （ 「《数列》の第n項」≦「《数列》の第n＋１項」）　

・∀n∈N （ 「《数列》の第n＋１項」≦「《数列》の第n項」）

・∀x∈A ( x≦M ) / ∀x∈A ( m≦x )  　　 　 　　

【例】

　・以下、
　　Choreo (x,y)は
　　「xの振り付けは、yによって考案される」という2項述語(2変数命題関数)
　　を表すとする。
　・「∀x ∈Perfume 　Choreo (x,y) 」は、
　　「Perfumeに所属する任意のxについて、Choreo (x,y)」
　　すなわち、
　　「Perfumeに所属する任意のxについて、xの振り付けは、yによって考案される」
　　と読み下され、
　　「Perfumeの全メンバーの振り付けは、yによって考案される」
　　という一変項yの命題関数(一項述語)を意味する。
　
　・「∀x ∈Perfume 　Choreo (x,y)」は、
　　「 ∀x (　x ∈Perfume ⇒　Choreo (x,y)」の略記だから、
　　これらは、同じ意味で、互いに言い換えてよい。
　







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