論理記号∀　　：　トピック一覧

【記号∀の説明】
　・論理記号∀の呼称
　・論理記号∀の使用法
　　∀x P(x) / ∀x∈X P(x)
　　∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y)
　　∀xi P(x1,…,xn) / ∀xi∈S P(x1,…,xn)　
　　多重量化　
　・論理記号∀の読み下し方
　・論理記号∀の推論規則
　　－論理記号∀の導入則
　　－論理記号∀の除去則
【用語別】
　・全称量化記号
　・全称記号
　・universal quantifier　
　・全称量化子
　・全称作用素
・対象領域
・議論領域
・変項の定義域

・全称量化
・全称量化子による量化
・普遍量化
・束縛する
・束縛変数(束縛変項)
・自由変数（自由変項）

※量化関連ページ：述語・命題関数/範囲を限定した普遍量化・全称量化/存在量化/範囲を限定した存在 量化/二重量化
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数/
※総目次 

二項述語の全称量化　∀ x P(x,y)　

　・「∀変項　二項述語」の意味と読み下し方　
　・議論領域が有限集合の場合の「∀変項　二項述語」　　
　・「∀変項　二項述語」の読み下し例一覧　
　・「∀変項　二項述語」の具体的な使用例　
　・「∀変項　二項述語」のなかで用いられる用語
　・「∀変項　二項述語」の集合表現


「∀変項 二項述語」の意味　

【ざっくり】

　「∀ x  『x,yは関係Pにある・条件Pを満たす』 」は、

　　「xの中身が何に変わっても、yはxとの関係Pを満たす」

　という一変項yの命題関数(一項述語)を意味し、　


　「すべての/任意の/あらゆるxについて 、
　　　　　x,yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　と読み下される。


　[中内注意2.3.2(p.89)];本橋pp.42-43;斎藤p.52;前原1章§8(p.24)]


【きっちり】

　P(x,y)を、
　変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数
　とすると、　

　「 ∀x P(x,y) 」は、

　　　　「議論領域Xから何を取ってきてxに代入しても、　　
　　　　　　　　　　　　　yは、xとの関係Pを満たす」

　という議論領域をYとする1変項yの命題関数Q(y)を意味し、　


　「すべての/任意の/あらゆるxについて 、
　　　　　x,yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　と読み下される。

　→主要テキストの読み下し例一覧　

　【具体的な使用例】　
   　・∀x ( n > x )　　
　　・∀x ( x<y または x=y または x>y )　
　　・∀x ( x loves y ) 　/　 ∀y ( x loves y )　
　　・∀x ( x2 + y2 = 1 )　　
　　・∀n ( x2n ≧ 0 ) 　
　　・∀x ( xとyは友達 )　/　∀y ( xとyは友達 )　
　※関連事項－二項述語の量化： ∀x∈X P(x,y)の意味 / ∃x P(x,y)の意味 / ∃x∈X P(x,y)の意味
　※関連事項－二項述語の二重量化：「∀x∀y P(x,y)」の意味/「∃x∀y P(x,y)」の意味/「∀x∃y P(x,y)」の意味 / 「∃x∃y P(x,y)」の意味　





【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.3～3.4(pp.152-3)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野
　・向井国昭http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf,1.2.6限量子(pp.26-28)
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier　
　・http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantifier
　・新井紀子『数学は言葉』2.3(pp.57-58);3.2.6(pp.88-９６):「任意」「すべて」両方つかっているよう。
　・松本和夫『数理論理学』2.1(p.28)

【文献－分析哲学・論理学】
　・野矢茂樹『入門！論理学』第6章(pp.196-200;pp.207-223).
　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

【文献－数学一般】
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　・中内『ろんりの練習帳』2.2(pp.82-93);
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・杉浦『解析入門I』附録2(pp.400-402)
　・松井知己『だれでも証明がかける－眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(pp.36-46)

【文献－数理経済】
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』20;
　・岡田章『経済学・経営学のための数学』253;
　・入谷久我『数理経済学入門』1.1.3(p.5)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。

　





　　　・このように、二項述語・2変数命題関数P(x,y)の頭に「 ∀x 」をつける（普遍量化する）と、　1項述語(1変数命題関数)Q(y)　になる。
　
　　　＊「∀ ＋ 変項(変数) ＋ 2項述語(2変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　　　　「∀ ＋ 変項(変数)」が支配している範囲（スコープ）を明示するために、
　　　 　「∀ ＋ 変項(変数)」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。


有限集合が議論領域のときの「∀変項 二項述語」の解釈　

　1変項yの命題関数・一項述語　

　　∀x P(x,y) 　「すべてのxに対して、yは関係Pにある/条件Pを満たす」

　は、

　束縛変項xの議論領域が有限集合 { a1 , a2 , … , an } であるとき、

　1変項yの命題関数・一項述語　




　　　P(a1,y) かつ P(a2,y) かつ … かつ P(an,y) 　　　「yは、a1と関係Pにあり、かつ、a2と関係Pにあり、かつ…かつ、anと関係Pにある」

　に言い換えてよい。
　

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「∀+変項+二項述語」に関わる諸用語　

【全称記号・全称量化記号/全称量化子・全称作用素】

・「∀変項　2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀」は、　
　　全称量化記号　[斎藤p.49;井関p.7;岡田光弘p.30]　
　　全称記号　　　[前原p.4;斎藤p.49;中内p.82;杉浦p.401]
　　universal quantifier　[斎藤p.49;岡田光弘p.30;De LaFuente,p.8]
　などと呼ばれる論理記号。

・「∀変項　2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかの、
　「∀変項」という部分は、　
　　　全称量化子 [斎藤p.49]
　　　全称作用素 [前原p.4;松本p.28;中内p.82]　　　
　　　universal quantifier　[前原p.4;斎藤p.49]
　と呼ばれる。
　　＊岡田章は、記号「∀」そのものを「全称量化子」と呼ぶ(p.252)が、
　　　どうなのだろう？

【量化】

・全称量化子・全称作用素「∀変項 」を
　 2項述語(2変数命題関数)の前につけて
　「∀変項　2項述語(2変数命題関数)」というかたちにする行為を、
　
　　　全称量化子による量化　[斎藤p.49]
　　　全称量化　[野矢 p.213]
　　　普遍量化　[本橋pp.40-41]
　　　
　などと呼ぶ。
　別の文脈で、「《変項》の束縛bound」と呼ぶこともある[→詳細]。

　　[岡田光弘p.31;]述語の前に、∀x,∃xをつけること[井関p.26]

　　　　　　




【具体例】　
　
   ・∀x ( n > x )　　
　・∀x ( x<y または x=y または x>y )　
　・∀x ( x loves y ) 　/　 ∀y ( x loves y )　　　
　・∀x ( x2 + y2 = 1 )　　
　・∀n ( x2n ≧ 0 ) 　
　・∀x ( xとyは友達 )　/　∀y ( xとyは友達 )　

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【スコープ】

・「∀変項　2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかで、

　全称量化子・作用素「∀ 変項 」によって量化された

　　「2項述語(2変数命題関数)」

　の範囲は、

　全称量化子・作用素「∀ 変項 」の

　　スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28]
　　適用範囲[松本p.28]
　　視野[高崎V-1.5]
　　作用域[高崎V-1.5]
　　作用範囲[前原1章§8(p.24)]

　などと呼ばれる。
　
※「∀変項　2項述語(2変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、
　どこまでが「∀ 変項」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。
　そういうときは、
　「∀  変項」のスコープがどこまでかを明示するために、
　「∀ 変項」の適用範囲に入っている述語を（）で括る。
　　　　　　


【具体例】　
　
   ・∀x ( n > x )　　
　・∀x ( x<y または x=y または x>y )　
　・∀x ( x loves y ) 　/　 ∀y ( x loves y )　　
　・∀x ( x2 + y2 = 1 )　　
　・∀n ( x2n ≧ 0 ) 　
　・∀x ( xとyは友達 )　/　∀y ( xとyは友達 )

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【束縛する/束縛変項/自由変項】

・  ∀x を、x,yの関係・条件P(x,y)の前につける行為を、
　「変項(変数)xを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26]　

・「  ∀x (　P(x,y)　) 」において、

　「∀x 」のスコープにある 変項x　

　　つまり、
　　　「∀x 」によって量化された2項述語(2変数命題関数)　
　　　　P(x,y)　　　　
　　　のなかの変項x

　は、
　　束縛変項　（束縛変数）　bound variable
　と呼ばれる。[斎藤p.50;『記号論理入門』1章§7-8]
　　　　　　　[岡田光弘p.31;本橋2.4(pp.31-34))]

・「  ∀x (　P(x,y)　) 」において、

　「∀x 」のスコープにあるが、
　「∀x 」によって束縛されていない変項y　

　　つまり、
　　　「∀x 」によって量化された2項述語(2変数命題関数)　
　　　　　P(x,y)　　　　
　　　のなかの変項y
　は、
　自由変項 （自由変数）　free variable
　と呼ばれる。
　　[岡田光弘p.31;井関p.2９;『記号論理入門』1章§8(p.24)]　　




【文献－数学基礎論】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　・前原昭二『数理論理学序説』Ⅱ述語論理§1命題関数3.3～3.4(pp.152-3)
　・井関清志『集合と論理』§1.2(pp.6-7);§1.5(pp.24-30)。
　・高崎金久『数理論理学入門』V.述語論理の意味論-1.4 量化子の使い方；1.5 変数の出現位置と視野

【文献－分析哲学・論理学】
　・戸田山『論理学をつくる』7.1.4多重量化(p.167)

【文献－数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。

　


【具体例】　
　
   ・∀x ( n > x )　　
　・∀x ( x<y または x=y または x>y )　
　・∀x ( x loves y ) 　/　 ∀y ( x loves y )　
　・∀x ( x2 + y2 = 1 )　
　・∀n ( x2n ≧ 0 ) 　　　
　・∀x ( xとyは友達 )　/　∀y ( xとyは友達 )

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「∀+変項+二項述語」の読み下し例：一覧　　

【読み下し例：「∀x(x,yの関係P)」「∀x(x,yが満たす条件P)」「 ∀x P(x,y) 」】

・「　すべてのxについて、P(x,y)　」[本橋p.70;中谷p.142]　
　「　任意のxにたいして、P(x,y)　」[斎藤p.52]　
　「　任意のxについて、P(x,y)　」[本橋p.70]　
　などと読み下す。

・2項述語(2変数命題関数)P(x,y)　は、
　　「x,yはPの関係にある」[前原p.20;岡田光弘2008定義4.1脚注(p.30)]
　　「x,yは条件Pを満たす」[前原p.21?]
　と読むのだったから、
　これに従うと、
　「　∀x P(x,y)　」
　は、　
　「　すべての/任意のxにたいして(について)、
　　　　　x,yはPの関係にある/条件Pを満たす　」
　と読み下せる。



【具体例】　
　
   ・∀x ( n > x )　
　・∀x ( x<y または x=y または x>y )　
　・∀x ( x loves y ) 　/　 ∀y ( x loves y )　　
　・∀x ( x2 + y2 = 1 )　　
　・∀n ( x2n ≧ 0 ) 　　
　・∀x ( xとyは友達 )　/　∀y ( xとyは友達 )
　・　　　　

　※関連事項－二項述語の量化： ∀x∈X P(x,y)の読み / ∃x P(x,y)の読み / ∃x∈X P(x,y)の読み
　※関連事項－二項述語の二重量化：「∀x∀y P(x,y)」の読み/「∃x∀y P(x,y)」の読み/「∀x∃y P(x,y)」の読み / 「∃x∃y P(x,y)」の読み　





【文献】
　●前原昭二『記号論理入門』第1章§7多変数(pp.20-2３);§8自由変数束縛変数(pp.23-26)。
　●齋藤『日本語から記号論理へ』2章§2全称量化子(pp.48-55))
　●本橋『新しい論理序説』;2.4(pp.31-34):自由変数と束縛変数;3.2(pp.40-43);4(pp.62-83):述語と量化とその読み下し方について豊富な具体例。
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.142)
 　・岡田光弘『2008年度論理学I講義ノート』第4章述語論理(pp.29-3２)

　






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「∀変項　二項述語」の具体例

　・∀x ( n > x )　　
　・∀x ( x<y または x=y または x>y )　
　・∀x ( x loves y ) 　/　 ∀y ( x loves y )　
　・∀x ( x2 + y2 = 1 )　　
　・∀n ( x2n ≧ 0 ) 　
　・∀x ( xとyは友達 )　/　∀y ( xとyは友達 )　



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