【ポイント】 ・「∀x,y∈S P(x,y,z)」 は、 二つの対象を集合Sから選んで、変項x,yに代入すると、 どの二対象を集合Sから選んで、変項x,yに代入しても、 変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす という主張。 ・集合Sが特定の対象に固定されている場合、 「∀x,y∈S P(x,y,z)」 は、zのみを変項とする1項述語。→詳細 →例:∀n,n'∈ N ( n<n' ⇒「《数列》の第n項」<「《数列》の第n'項」) →例:∀n,n'∈ N ( n<n' ⇒ 《数列》の第n'項 < 《数列》の第n項 ) →例:∀n,n'∈ N ( n<n' ⇒ 《数列》の第n項 ≦ 《数列》の第n'項 ) →例:∀n,n'∈ N ( n<n' ⇒ 《数列》の第n'項 ≦ 《数列》の第n項 ) |
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要旨
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【関連事項】 ・「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の定義 【具体例】 ・∀n,n'∈ N ( n<n' ⇒「《数列》の第n項」<「《数列》の第n'項」) ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) ) |
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「∀x∈S
(∀y∈S P(x,y,z)
)」 「zは、Sのなかのすべてのx、Sのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」 の略記。 |
詳細 〜 Sが特定の対象に固定されている場合・「∀x,y∈S P(x,y,z)」 とは、 下記手順でつくった述語・命題関数 「∀x∈S (∀y∈S P(x,y,z) )」 の略記。 【step1:普遍量化1回目】 三項述語P(x,y,z)「x,y,zは関係・条件Pを満たす」 の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、 |
【具体例】 ・∀n,n'∈ N ( n<n' ⇒「《数列》の第n項」<「《数列》の第n'項」) |
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x,zを変項とする2項述語・2変項命題関数 「∀y∈S P(x,y,z)」 「x,zは、Sのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 をつくる。 【step2:普遍量化2回目】 step1で得られた 2項述語・2変項命題関数「∀y∈S P(x,y,z)」 「x,zは、Sのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 の変項xも全称量化子で束縛して普遍量化。 得られたzのみを変項とする1項述語が、 「∀x∈S (∀y∈S P(x,y,z) )」 「zは、Sのなかのすべてのx、Sのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」 |
詳細 〜 Sも変項である場合「∀x,y∈S P(x,y,z)」 とは、 下記手順でつくった述語・命題関数 「∀x∈S (∀y∈S P(x,y,z) )」 の略記。 【step1:普遍量化1回目】 三項述語P(x,y,z)「x,y,zは関係・条件Pを満たす」 の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、 |
【具体例】 ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≧f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2⇒ f(x1)>f(x2) ) |
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S,x,zを変項とする3項述語・3変項命題関数 「∀y∈S P(x,y,z)」 「x,zは、Sのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 をつくる。 【step2:普遍量化2回目】 step1で得られた 3項述語・3変項命題関数 「∀y∈S P(x,y,z)」 「x,zは、Sのなかのすべてのyにたいして関係・条件Pを満たす」 の変項xも全称量化子で束縛して普遍量化。 得られた、S,zを変項とする2項述語が、 「∀x∈S (∀y∈S P(x,y,z) )」 「zは、Sのなかのすべてのx、Sのなかのすべてのyにたいして、関係・条件Pを満たす。」 |
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・ P(x,y,z)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとするn項述語・n変数命題関数 ・ Sは、「Xの部分集合」であり、かつ、「Yの部分集合」でもある という設定のもと、 「∀x,y∈S P(x,y,z)」とは、 「《変項xの議論領域》X,《変項yの議論領域》Yの部分集合S から、 どの二対象を選んでも、 一方を変項xへ、他方を変項yへ代入すると、 変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y,z)を満たす」 という意味の述語・命題関数。 なお、 集合Sが特定の対象に固定されている場合、 「∀x,y∈S P(x,y,z)」 は、zのみを変項とする1項述語、 集合Sも変項で、様々な対象が代入される場合、 「∀x,y∈S P(x,y,z)」 は、S,zを変項とする2項述語。 【具体例】 ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≧f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2⇒ f(x1)>f(x2) ) ・単調数列の定義 |
※関連事項:「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味 ※関連事項: ・「∀x ∀y P(x,y)」 の意味 ・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」/ 意味「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/ 意味「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
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・「すべての『Sに属す対象』x,yに対して、P(x,y,z)」 ・「任意の『Sに属す対象』x,yに対して、P(x,y,z)」 ・「どんな『Sに属す対象』x,yをとっても、P(x,y,z)」 【具体例】 ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≧f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2⇒ f(x1)>f(x2) ) ・単調数列の定義 |
※関連事項:「∀x∈S ∀y∈T P(x,y)」の読み下し例 ※関連事項: ・「∀x ∀y P(x,y)」 の読み ・「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」/「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」/「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」
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集合Sの内包がS'であるとき、 つまり、 S={ x | S'(x) } であるとき、 「∀x,y∈S P(x,y,z)」 は、 「∀x ( S'(x) ⇒ ∀y ( S'(y) ⇒ P(x,y,z) ) )」 に言い換えてよい。 |
※関連事項: ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」 意味 ・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 意味
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S=有限集合 { s1 , s2 , … , sn } であるとき、 「 ∀x,y∈S P(x,y,z)」 すなわち 「∀x∈S (∀y∈S P(x,y,z) )」 は、 「『P( s1 , s1 , z ) かつ P( s1 , s2 , z ) かつ … かつ P( s1 , sn , z )』 かつ 『P( s2 ,s1 , z ) かつ P( s2 ,s2 , z ) かつ … かつ P( s2, sn, z )』 かつ : かつ 『P( sn ,s1 , z ) かつ P( sn ,s2 , z ) かつ … かつ P(sn , sn , z )』」 に言い換えてよい。 ※なぜ? | ||
・この設定の下では、 S=有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、 「 「∀x,y∈S P(x,y,z)」 すなわち 「∀x∈S (∀y∈S P(x,y,z) )」 は、 「 ∀x∈S ( P( x , s1 , z ) かつ P( x , s2 , z ) かつ … かつ P( x , sn , z ) ) 」…(式1) に言い換えてよい。(∵有限集合の範囲でのn項述語普遍量化より、∀y∈S P(x,y,z)は、 「P( x , s1 , z ) かつ P( x , s2 , z ) かつ … かつ P( x , sn , z ) 」を意味するから)。 ・この設定の下では、S=有限集合 { s1 , s2 , … , sn } とされているので、 (式1) 「 ∀x∈S ( P( x , s1 , z ) かつ P( x , s2 , z ) かつ … かつ P( x , sn , z ) ) 」は、 「『P( s1 , s1 , z ) かつ P( s1 , s2 , z ) かつ … かつ P( s1 , sn , z )』 かつ 『P( s2 ,s1 , z ) かつ P( s2 ,s2 , z ) かつ … かつ P( s2, sn, z )』 かつ : かつ 『P( sn ,s1 , z ) かつ P( sn ,s2 , z ) かつ … かつ P(sn , sn , z )』」…(式2) に言い換えてよい。(∵)。 |
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・「 ∀x,y∈S P(x,y,z)」 は、 「∀(x,y) ∈S2 P(x,y,z) 」 と表現してもよい。 ※なぜ? → 2項述語を1項述語として解釈〜順序対 ※具体例 ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≦f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1≦x2⇒ f(x1)≧f(x2) ) ・∀x1,x2∈I ( x1<x2⇒ f(x1)>f(x2) ) |
※関連:「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」
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