【記号∃の説明】 ・論理記号∃の呼称 ・論理記号∃の使用法 ∃x P(x) / ∃x∈X P(x) ∃x P(x,y) / ∃x∈X P(x,y) ∃x P(x1,…,xn) / ∃x∈X P(x1,…,xn) 多重量化 ・論理記号∃の読み下し方 ・論理記号∃の推論規則 論理記号∃の導入則 論理記号∃の除去則 |
【用語別】 ・存在量化記号 ・存在記号 ・特称記号 ・existential quantifier ・存在量化子 ・特称量化子 ・存在作用素 ・特称作用素 | ・対象領域 ・議論領域 ・変項の定義域 |
・存在量化 ・存在量化子による量化 ・束縛する ・束縛変数(束縛変項) ・自由変数(自由変項) |
※量化関連ページ:述語・命題関数 普遍量化・全称量化 範囲限定の普遍量化・全称量化 存在量化 二重量化 ※論理関連ページ:古典論理/論理記号一覧 ※総目次 |
「∃+変項∈範囲+二項述語」の意味
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※関連事項:∃x P(x,y)の意味 / ∀x P(x,y)の意味 / ∀x∈X P(x,y)の意味 ※さらに量化すると:「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」/「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 / 「∃x∈S∃y∈T P(x,y)」
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「集合Sに属し、かつ、yとの関係Pを満たす」xが、議論領域Xのなかに存在する」 の省略表現。 ・だから、「 ∃x∈S P(x,y) 」と「∃x ( x∈SかつP(x,y) ) 」とは、互いに言い換えてよい。 ※「∃x∈S P(x,y)」と書くとき、Sを 変項xの議論領域Xに設定しても構わない。つまり、「∃x∈X P(x,y)」という表現もOK。 この「∃x∈X P(x,y)」という表現によって、変項xの議論領域Xを読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。 ※このように、二項述語・2変数命題関数P(x,y)の頭に「 ∃x∈S 」をつける(普遍量化)と、 1項述語(1変数命題関数)Q(y) になる。 →集合Xが『内包的に定義された集合』のときの解釈 →集合Xが有限集合であるときの解釈 →主要テキストの読み下し例一覧 →具体的な使用例 |
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「∃+変項∈『内包的に定義された集合』+二項述語」の解釈・P(x,y)を「変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数」 Dを「Xの部分集合」 とすると、 |
※具体例:「∃x∈S ( x loves y )」「∃y∈T ( x loves y )」 ※関連事項−二項述語の量化: ∀x∈X P(x,y) のケース ※関連事項−二項述語の二重量化: 「∀x∈S∃y∈T P(x,y)」/「∃x∈S∃y∈T P(x,y)」 |
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議論領域をYとする1変項yの命題関数 「 ∃x∈D P(x,y) 」 (yとの関係Pを満たす対象が、「変項xの議論領域Xの部分集合」Dのなかに少なくとも一つは存在する) は、 集合Dの内包がQであるとき、 つまり、 D={ x'∈X | Q(x') } であるとき、 議論領域をYとする1変項yの命題関数 「 ∃x ( Q(x) かつ P(x,y) ) 」に言い換えてよい。 ・すなわち、 「 ∃x∈ { x'∈X | Q(x') } P(x,y) 」 は 、 「 ∃x ( Q(x) かつ P(x,y) ) 」 へ 言い換えてよい。 →この場合に使われる略記法 ※なぜ? ・定義より、 「 ∃x∈ { x'∈X | Q(x') } P(x,y) 」 は、 「 ∃x ( x∈ { x'∈X | Q(x') } かつ P(x,y) ) 」 の省略表現。 ・ x∈ { x'∈X | Q(x') } はQ(x)に言い換えてよい(∵)から、 「 ∃x ( x∈ { x'∈X | Q(x') } かつ P(x,y) ) 」 は、 「 ∃x ( Q(x) かつ P(x,y) ) 」 に言い換えてよい。 |
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さらなる省略形「∃ 条件式 二項述語」
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議論領域をYとする1変項yの命題関数 「 ∃x∈ { x'∈X | Q(x') } P(x,y) 」 Q(x)の真理集合に属す任意のxに対して 、yは関係・条件Pを満たす。 上の例では、 ∃x∈ { 'x∈R | x'>0 } P(x,y) 「 yとの関係Pを満たす対象が、「x'>0」の真理集合のなかに、少なくとも一つは存在する。」 の省略表現。 ・さらにいうと、 P(x,y)を「変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数」とした際の 「 ∃ xを先頭にした条件式Q(x) P(x,y) 」 たとえば、Rを変項xの議論領域とした際の「 ∃ x>0 P(x,y) 」 は、 議論領域をYとする1変項yの命題関数 「 ∃x ( Q(x) かつ P(x,y) ) 」 上記の例では、 ∃x ( x>0 かつ P(x,y) ) に言い換えてよい。 なぜなら、 ・先述のとおり、 「 ∃ xを先頭にした条件式Q(x) P(x,y) 」 は、 「 ∃x∈ { x'∈X | Q(x') } P(x,y) 」 の省略表現。 ・「 ∃x∈ { x'∈X | Q(x') } P(x,y) 」 は「 ∃x ( Q(x) かつ P(x,y) ) 」に言い換えてよい(∵)。 |
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「∃変項∈有限集合 二項述語」の解釈
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※関連 ∀変項∈有限集合 二項述語 |
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P(d1,y) または P(d2,y) または … または P(dn,y) 「yは、d1と関係Pにあり、または、d2と関係Pにあり、または…または、dnと関係Pにある」 に言い換えてよい。 |
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「 ∃+変項+二項述語」に関わる諸用語
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【スコープ】 ・「∃ 変項 2項述語(2変数命題関数)」というかたちのなかで、 存在量化子・作用素「∃変項」によって量化された 「2項述語(2変数命題関数)」 の範囲は、 存在量化子・作用素「∃変項」の スコープscope[岡田光弘p.31;松本p.28] 適用範囲[松本p.28] 視野[高崎V-1.5] 作用域[高崎V-1.5] 作用範囲[前原1章§8(p.24)] などと呼ばれる。 ※「∃ 変項 2項述語(2変数命題関数)」の後ろに、記号が続いていく場合、 どこまでが「∃変項」のスコープなのか、はっきりしなくなることがある。 そういうときは、 「∃変項」のスコープがどこまでかを明示するために、 「∃変項」の適用範囲に入っている述語を()で括る。 |
【束縛する/束縛変項/自由変項】 ・ ∃x を、x,yの関係・条件P(x,y)の前につける行為を、 「変項(変数)xを束縛するbound」と呼ぶ。[井関p.26] ・「 ∃ x ( P(x,y) ) 」において、 「∃x 」のスコープにある 変項x つまり、 「 ∃ x 」によって量化された2項述語(2変数命題関数) P(x,y) のなかの変項x は、 束縛変項 (束縛変数) bound variable と呼ばれる。[斎藤p.50;前原1章§7-8][岡田光弘p.31;] [本橋2.4(pp.31-34))] ・「 ∃ x ( P(x,y) ) 」において、 「 ∃ x」のスコープにあるが、 「 ∃ x 」によって束縛されていない変項y つまり、 「 ∃ x 」によって量化された2項述語(2変数命題関数) P(x,y) のなかの変項y は、 自由変項 (自由変数) free variable と呼ばれる。[岡田光弘p.31;井関p.29;前原1章§8(p.24)] |
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「∃x∈S P(x,y)」の読み下し例:一覧
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※関連事項:∃x P(x,y)の読み / ∀x P(x,y)の読み / ∀x∈X P(x,y)の読み ※関連事項−二項述語の二重量化:「∀x∀y P(x,y)」/「∃x∀y P(x,y)」/「∀x∃y P(x,y)」 / 「∃x∃y P(x,y)」
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※さらに量化すると・・・ 「∃x∈S ∃y∈T P(x,y)」/「∀x∈S ∃y∈T P(x,y)」 ・2項述語(2変数命題関数)P(x,y) は、 「x,yはPの関係にある」[前原p.20;岡田光弘2008定義4.1脚注(p.30)] 「x,yは条件Pを満たす」[前原p.21?] と読むのだったから、 これに従うと、 「 ∃x∈S P(x,y) 」 は、 「 ある『Sに属す対象』xについて、 x,yはPの関係にある/条件Pを満たす 」 「 少なくともひとつの『Sに属す対象』xに対して、 x,yはPの関係にある/条件Pを満たす 」 「 yとの関係・条件Pを満たす『Sに属す対象』xがある 」 [本橋p.70] 「 yとの関係・条件Pを満たす『Sに属す対象』xが存在する 」[斎藤p.56] と読み下せる。 |
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【例】 ・以下、 Choreo (x,y)は 「xの振り付けは、yによって考案される」という2項述語(2変数命題関数) を表すとする。 ・「∃x ∈Perfume Choreo (x,y) 」は、… |
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