6項述語の3重量化「∀x1S1x2S2x3S3   P ( x1, x2, x3, x4, x5, x6 ) 」 


【ポイント】

・「 x1S1x2S2x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」 は、

  どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

   その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
     少なくとも一個は存在するので、

   その《S1に属す対象》に応じて、
     相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

    「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
      変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす

   を成り立たせることができる

 という主張。
   
S1S2S3も特定の対象に固定されている場合、
 「 x1S1x2S2x3S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」は、
 x4, x5 , x6を変項とする3項述語。→詳細

 (例)
   ・f(x)A (xx0) 」の定義   

【詳細】

・ ∀x1S1x2S2x3S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) :定義/意味/読み / x1S1x2S2x3S3 の定義に遡って
・バリエーション:x1∈内包的に定義された集合 ∃x2∈内包的に定義された集合 ∀x3S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6 ) 
        省略形「∀S'1(x1) ∃x2S2x3S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2) ∀x3S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」  

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「∀x1X1x2X2x3X3   P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」 の定義



  要旨

 「 x1S1x2S2x3S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」は、

  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )普遍量化存在量化して普遍量化した

   「 x1S1 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )

 を表す。


詳細 〜 S1S2S3も特定の対象に固定されている場合  

・「 x1S1x2S2x3S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」 とは、

 下記手順でつくった3項述語・3変項命題関数 

 「 x1S1 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )

 の略記。

  【step1:普遍量化】  
 
  六項述語P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )x1, x2, x3, x4, x5,x6は関係・条件Pを満たす
  の変項x3を全称量化子で束縛して普遍量化し、





【文献−数学一般】
  ・
【関連事項】 
  ・


 


  x1, x2, x4, x5, x6を変項とする5項述語・5変項命題関数 
  「 xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」 どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 ,x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす 
  をつくる。

  【step2:存在量化】  

  step1で得られた
  5項述語・5変項命題関数xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )
                  どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 ,x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす
  の変項xを存在量化子で束縛して存在量化し、

  x1, x4, x5, x6を変項とする4項述語・4変項命題関数
  「 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )
      x2に代入すると、   
       『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 , x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』 
          を成立させる《S2に属す対象》が存在する
  をつくる。

  【step3:普遍量化】  

  step2で得られた
  4項述語・4変項命題関数x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )
          x2に代入すると、   
           『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 , x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』 
          を成立させる《S2に属す対象》が存在する
  の変項x1を全称量化子で束縛して普遍量化して得られる
   x4, x5 , x6を変項とする3項述語・3変項命題関数が、

      「 x1S1  x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )
         どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、
           「x2に代入すると、
            『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 , x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』 
            を成立させる《S2に属す対象》が存在する」
 (例)
   ・f(x)A (xx0) 」の定義   



x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 
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「 ∀x1S1x2S2x3S3   P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )  」 の意味 



 ・ P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )は、
     変項x1の議論領域X1,
     変項x2の議論領域X2,
     変項x3の議論領域X3,
     変項x4の議論領域X4,
     変項x5の議論領域X5,
     変項x6の議論領域X6
  とするn項述語・n変数命題関数

 ・ S1は「X1部分集合
 ・ Sは「X2部分集合
 ・ S3は「X3部分集合
 ・ S4は「X4部分集合
 ・ S5は「X5部分集合
 ・ S6は「X6部分集合

 とすると、 

 「 x1S1x2S2x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」は、 

  どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

   その《S1に属す対象》に応じて、
     《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって


    「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
      変項 x4, x5 , x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす

   を成り立たせることができる

 という意味の述語・命題関数

S1S2S3も特定の対象に固定されている場合、
 「 x1S1x2S2x3S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」は、
 x4, x5 , x6 を変項とする三項述語・3変項命題関数。→詳細

 (例)
   ・f(x)A (xx0) 」の定義   





【文献−数学一般】
 ●本橋『新しい論理序説』(pp.) 
 ・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』(pp.-)
 ・齋藤『日本語から記号論理へ』章§(pp.-74)
 ・中内『ろんりの練習帳』(pp.) 
 ・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);


 






x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 
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読み下し例



調査中。

【英語】



【日本語type1】  

(1)






【日本語type2】 句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。




x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)  
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x1S1x2S2x3S3 の定義に遡った「∀x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」意味 


・「 x1S1x2S2x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」

 すなわち
 「 x1S1 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )

 とは、







 「 x1 ( x1S1 x2 ( x2S2 かつ x ( x3S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) )  ) 」の省略表現。 

・「 x1S1x2S2x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」 すなわち 「 x1S1 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )
 は、 
 「 x1 ( x1S1 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) )
 の省略表現()。

・「 x1 ( x1S1 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ) 」は、
 「 x1 ( x1S1 x2 ( x2S2 かつ xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  )
 の省略表現()。

・「 x1 ( x1S1 x2 ( x2S2 かつ xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  ) 」は、
 「 x1 ( x1S1 x2 ( x2S2 かつ x ( x3S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) )  )
 の省略表現()。



x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)  
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集合Sが内包的に定義された場合の「∀x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」意味 


 集合S1の内包S1'、 つまり、 S1{ x | S1'(x) }
 集合S2の内包S2'、 つまり、 S2{ x | S2'(x) }
 との設定のもと、 

 「 x1S1x2S2x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」

 すなわち

 「 x1S1 x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )


 は、

 「 x1 ( S1'(x)  x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  )


 「 x1 ( S1'(x)  x2 ( S2'(x) かつ xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  )

 に言い換えてよい。

  



x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 
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省略形

  →省略形「 ∀S'1(x1) ∃x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」  
  →省略形「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2)  ∀x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」 

省略形「∀S'1(x1) ∃x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」

【設定】

P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) は、
   変項x1の議論領域X1,
   変項x2の議論領域X2,
   変項x3の議論領域X3,
   変項x4の議論領域X4,
   変項x5の議論領域X5,
   変項x6の議論領域X6とするn項述語・n変数命題関数

S2は「X2部分集合

S3は「X3部分集合

S'1(x1)は、「x1についての条件」(つまり、x1を変項とする一項述語)。
     ただし、x1を先頭に表されているとする。

【本題】

 上記設定のもと、

 「 S'1(x1) x2S2 x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」は、

 下記表現aないし表現bの略記。







【基礎事項】
 ・「∃ 条件式 n項述語
 ・「∃S'(x) ∀yT P(x,y)」 
  











【表現a 

 x1 { xX1 | S'1(x) }  x2S2 x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 

  どの《S'1(x)真理集合に属す対象》を変項 x1 に代入しても、

  その《S'1(x)真理集合に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
          少なくとも一個は存在するので、

  その《S'1(x)真理集合に属す対象》に応じて、
     相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項 x2 に代入することによって、

  「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
     変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす

  を成り立たせることができる



【表現b 

 x1 ( S'1(x) x2S2 ( xS3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ) 

  どの《議論領域X1に属す対象》を変項x1に代入しても、
  その《X1に属す対象》が条件S1'を満たすならば

  その《X1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
        少なくとも一個は存在するので、

  その《X1に属す対象》に応じて、
    相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

    「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
       変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす

  を成り立たせることができる



省略形「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2)  ∀x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」

【設定】

P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) は、
   変項x1の議論領域X1,
   変項x2の議論領域X2,
   変項x3の議論領域X3,
   変項x4の議論領域X4,
   変項x5の議論領域X5,
   変項x6の議論領域X6とするn項述語・n変数命題関数

S3は「X3部分集合

S'1(x1)は、x1についての条件(つまり、x1を変項とする一項述語)。
     ただし、x1を先頭に表されているとする。

S'2(x2)は、x2についての条件(つまり、x2を変項とする一項述語)。
     ただし、x2を先頭に表されているとする。


【本題】

 上記設定のもと、

 「 S'1(x1) S'2(x2) x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )






【基礎事項】
 ・「∃ 条件式 n項述語
 ・「∃S'(x) ∀yT P(x,y)」 

【使用例】
 ・f(x)A (xx0) 」の定義  







 は、

 下記表現aないし表現bのの略記。


【表現a 

 x1 { xX1 | S'1(x) }  x2 { xX2 | S'2(x) }  x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 

  どの《S'1(x)真理集合に属す対象》を変項 x1 に代入しても、

  その《S'1(x)真理集合に属す対象》に相応しい《S'2(x)真理集合に属す対象》が
          少なくとも一個は存在するので、

  その《S'1(x)真理集合に属す対象》に応じて、
     相応しい《S'2(x)真理集合に属す対象》をうまく選んで変項 x2 に代入することによって

  「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
     変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす

  を成り立たせることができる




【具体例】

  R変項x1,x2の議論領域とした際のx1>0 x2>0 x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 )  は、

  x1 { xR |  x>0 }  x2 { xX2 | x>0 }  x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 )   
    どの《x>0」真理集合に属す対象》を変項x1に代入しても、
    その《x>0」真理集合に属す対象》に応じて、《x>0」真理集合に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって
       「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす
    を成り立たせることができる

  の省略形。

  x>0」真理集合とは、(0,∞)のことだから、


  これは、 x1 (0,∞)  x2(0,∞) x3S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )   ともかける。



【表現b 

 x1 ( S'1(x) x2 ( S'2(x) かつ x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ) 

  どの《議論領域X1に属す対象》を変項x1に代入しても、
  その《X1に属す対象》が条件S1'を満たすならば

  その《X1に属す対象》に相応しい《X2に属す対象》が
        少なくとも一個は存在するので、

  その《X1に属す対象》に応じて、
    相応しい《X2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

    「変項 x2 は、条件S2'を満たす
    「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
       変項 x4, x5 , x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす

  を同時に成り立たせることができる





【具体例】

 R変項x1.x2の議論領域とした際の「x1>0 x2>0 x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」 は、

 x1 ( x1>0 x2 ( x>0 かつ x3S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) ) ) 

    どの実数を変項x1に代入しても、その実数条件 x1>0を満たすならば
    その実数に応じて、相応しい実数うまく選んで変項x2に代入することによって
      「変項 x2 は、条件 x>0 を満たす
      「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
       変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす
    を同時に成り立たせることができる



  の省略形。





x1S1x2S2x3S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 
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