6項述語の3重量化「∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3   P ( x1, x2, x3, x4, x5, x6 ) 」　


【ポイント】

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」 は、

　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

　　　その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S1に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　　変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という主張。
　　　
・S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合、
　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」は、
　x4, x5 , x6を変項とする3項述語。→詳細

　（例）
　　　・「 f(x)→A (x→x0) 」の定義　　　

【詳細】
・ ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)　：定義/意味/読み / ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 の定義に遡って
・バリエーション：∀x1∈内包的に定義された集合 ∃x2∈内包的に定義された集合 ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6 )　
　　　　　　　　省略形「∀S'1(x1) ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2) ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」　　

　※多重量化一覧　
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　※総目次

「∀x1∈X1 ∃x2∈X2 ∀x3∈X3   P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」　の定義



  要旨

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」は、

　 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )の普遍量化を存在量化して普遍量化した

　　　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ） 」

　を表す。


詳細　〜　S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合　　

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」 とは、

　下記手順でつくった3項述語・3変項命題関数　

　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ） 」

　の略記。

　　【step1:普遍量化】　　
　
　　六項述語P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 「x1, x2, x3, x4, x5,x6は関係・条件Pを満たす」
　　の変項x3を全称量化子で束縛して普遍量化し、




【文献−数学一般】
　　・
【関連事項】　
　　・

　


　　x1, x2, x4, x5, x6を変項とする5項述語・5変項命題関数　
　　「 ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」　どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 ,x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす　
　　をつくる。

　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　5項述語・5変項命題関数「 ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 ,x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす
　　の変項x２を存在量化子で束縛して存在量化し、

　　x1, x4, x5, x6を変項とする4項述語・4変項命題関数
　　「 ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) 」
　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 , x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　をつくる。

　　【step3:普遍量化】　　

　　step2で得られた
　　4項述語・4変項命題関数「 ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) 」
　　　　　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 , x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　の変項x1を全称量化子で束縛して普遍量化して得られる
　　　x4, x5 , x6を変項とする３項述語・3変項命題関数が、

　　　　 　「 ∀x1∈S1 （  ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ） 」
　　　　　　　　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　　　　　　　　　　「x2に代入すると、
　　　　　　　　　　　　『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4, x5 , x6 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する」
　（例）
　　　・「 f(x)→A (x→x0) 」の定義　　　
→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)　
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「　∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3   P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 　」 の意味　



　・　P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )は、
　　　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　　　変項x3の議論領域をX3,
　　　　　変項x4の議論領域をX4,
　　　　　変項x5の議論領域をX5,
　　　　　変項x6の議論領域をX6
　　とするn項述語・n変数命題関数

　・　S1は「X1の部分集合」
　・　S２は「X2の部分集合」
　・　S3は「X3の部分集合」
　・　S4は「X4の部分集合」
　・　S5は「X5の部分集合」
　・　S6は「X6の部分集合」

　とすると、　

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」は、　

　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

　　　その《S1に属す対象》に応じて、
　　　　　《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって


　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　　変項 x4, x5 , x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という意味の述語・命題関数。

・S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合、
　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」は、
　x4, x5 , x6 を変項とする三項述語・3変項命題関数。→詳細

　（例）
　　　・「 f(x)→A (x→x0) 」の定義　　　




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』(pp.)　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』(pp.-)
　・齋藤『日本語から記号論理へ』章§(pp.-74)
　・中内『ろんりの練習帳』(pp.)　
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　





→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)　
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読み下し例



調査中。

【英語】



【日本語type1】 　

(1)



【日本語type2】　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)　　
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∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 の定義に遡った「∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」の意味　


・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」

　すなわち
　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ） 」

　とは、





　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３ ( x3∈S3 ⇒ P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) )  ) 」の省略表現。　

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」　すなわち　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ） 」
　は、　
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ) 」
　の省略表現（∵）。

・「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ) 」は、
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  ) 」
　の省略表現（∵）。

・「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  ) 」は、
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３ ( x3∈S3 ⇒ P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) )  ) 」
　の省略表現（∵）。


→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)　　
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集合S１が内包的に定義された場合の「∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」の意味　


　集合S1の内包がS1'、　つまり、 S1＝{ x | S1'(x) }
　集合S2の内包がS2'、　つまり、 S2＝{ x | S2'(x) }
　との設定のもと、　

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　」

　すなわち

　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ） 」


　は、

　「 ∀x1 ( S1'(x) ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  ) 」


　「 ∀x1 ( S1'(x)  ⇒ ∃x2 ( S2'(x) かつ ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) )  ) 」

　に言い換えてよい。

　　

→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)　
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省略形

　　→省略形「 ∀S'1(x1) ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」　　
　　→省略形「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2)  ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」　

省略形「∀S'1(x1) ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)」

【設定】

・P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) は、
　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　変項x3の議論領域をX3,
　　　変項x4の議論領域をX4,
　　　変項x5の議論領域をX5,
　　　変項x6の議論領域をX6とするn項述語・n変数命題関数

・S2は「X2の部分集合」

・S3は「X3の部分集合」

・S'1(x1)は、「x1についての条件」（つまり、x1を変項とする一項述語）。
　　　　　ただし、x1を先頭に表されているとする。

【本題】

　上記設定のもと、

　「 ∀S'1(x1) ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」は、

　下記表現aないし表現bの略記。


【基礎事項】
　・「∃ 条件式　n項述語」
　・「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y)」　
　　










【表現a】　

　∀x1∈ { x∈X1 | S'1(x) }  ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　

　　どの《S'1(x)の真理集合に属す対象》を変項 x1 に代入しても、

　　その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項 x2 に代入することによって、

　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　を成り立たせることができる


【表現b】　

　∀x1 ( S'1(x) ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) ) ) 

　　どの《議論領域X1に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　その《X1に属す対象》が条件S1'を満たすならば、

　　その《X1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　その《X1に属す対象》に応じて、
　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　　　変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　を成り立たせることができる


省略形「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2)  ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 」

【設定】

・P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) は、
　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　変項x3の議論領域をX3,
　　　変項x4の議論領域をX4,
　　　変項x5の議論領域をX5,
　　　変項x6の議論領域をX6とするn項述語・n変数命題関数

・S3は「X3の部分集合」

・S'1(x1)は、x1についての条件（つまり、x1を変項とする一項述語）。
　　　　　ただし、x1を先頭に表されているとする。

・S'2(x2)は、x2についての条件（つまり、x2を変項とする一項述語）。
　　　　　ただし、x2を先頭に表されているとする。


【本題】

　上記設定のもと、

　「 ∀S'1(x1) ∃S'2(x2) ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 ) 」




【基礎事項】
　・「∃ 条件式　n項述語」
　・「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y)」　

【使用例】
　・「 f(x)→A (x→x0) 」の定義　　






　は、

　下記表現aないし表現bのの略記。


【表現a】　

　∀x1∈ { x∈X1 | S'1(x) }  ∃x2∈ { x∈X2 | S'2(x) }  ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　

　　どの《S'1(x)の真理集合に属す対象》を変項 x1 に代入しても、

　　その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に相応しい《S'2(x)の真理集合に属す対象》が
　　　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　その《S'1(x)の真理集合に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S'2(x)の真理集合に属す対象》をうまく選んで変項 x2 に代入することによって

　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　変項 x4, x5, x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　を成り立たせることができる




【具体例】

　　Rを変項x1,x2の議論領域とした際の「∀x1>0 ∃x2>0 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」　は、

　　「∀x1∈ { x∈R |  x>0 }  ∃x2∈ { x∈X2 | x>0 }  ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 )  」　
　　　　どの《「x>0」の真理集合に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　　　その《「x>0」の真理集合に属す対象》に応じて、《「x>0」の真理集合に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって
　　　　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」
　　　　を成り立たせることができる

　　の省略形。

　　「x>0」の真理集合とは、(0,∞)のことだから、

　　これは、 「∀x1∈ (0,∞)  ∃x2∈(0,∞) ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4, x5 )  」　ともかける。



【表現b】　

　∀x1 ( S'1(x) ⇒ ∃x2 ( S'2(x) かつ ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ,x6 )　) ) 

　　どの《議論領域X1に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　その《X1に属す対象》が条件S1'を満たすならば、

　　その《X1に属す対象》に相応しい《X2に属す対象》が
　　　　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　その《X1に属す対象》に応じて、
　　　　相応しい《X2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「変項 x2 は、条件S2'を満たす」
　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　　　変項 x4, x5 , x6 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　を同時に成り立たせることができる




【具体例】

　Rを変項x1.x2の議論領域とした際の「∀x1>0 ∃x2>0 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 ) 」　は、

　∀x1 ( x1>0 ⇒ ∃x2 ( x２>0 かつ ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4, x5 )　) ) 

　　　　どの実数を変項x1に代入しても、その実数が条件 x1>0を満たすならば、
　　　　その実数に応じて、相応しい実数をうまく選んで変項x2に代入することによって
　　　　　　「変項 x2 は、条件 x２>0 を満たす」
　　　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　　　変項 x4, x5 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」
　　　　を同時に成り立たせることができる


　　の省略形。



→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4,x5,x6)　
→多重量化一覧　
→論理記号一覧/述語・命題関数
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