4項述語の3重量化「∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3   P ( x1, x2, x3, x4 ) 」　


【ポイント】

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4 )　」 は、

　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

　　　その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S1に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　　変項 x4 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という主張。
　　　
・S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合、
　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 )　」は、
　x4 を変項とする1項述語。→詳細 　
　　（例）　∀K∈R ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N ⇒ 《数列》の第n項 > K)  / ∀K∈R ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N ⇒ 《数列》の第n項 < K)  　　

【詳細】
・ ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P(x1,x2,x3,x4)　：定義/意味/読み/∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 の定義に遡って
 
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「∀x1∈X1 ∃x2∈X2 ∀x3∈X3   P ( x1, x2, x3, x4 ) 」　の定義



  要旨

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 )　」は、

　 P ( x1, x2, x3, x4 )の普遍量化を存在量化して普遍量化した

　　　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ） 」

　を表す。


詳細　〜　S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合　　

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 )　」 とは、

　下記手順でつくった1項述語・1変項命題関数　

　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ） 」

　の略記。

　　【step1:普遍量化】　　
　
　　P ( x1, x2, x3, x4 ) 「x1, x2, x3, x4は関係・条件Pを満たす」
　　の変項x3を全称量化子で束縛して普遍量化し、




【文献−数学一般】
　・齋藤『日本語から記号論理へ』
　・中内『ろんりの練習帳』　
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

【関連事項】　
　　・

　


　　　　　x1, x2, x4を変項とする3項述語・3変項命題関数　
　　　　　　　「 ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) 」　どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす　
　　　　　をつくる。

　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　3項述語・3変項命題関数「 ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) 」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす
　　の変項x２を存在量化子で束縛して存在量化し、

　　　　　x1, x4を変項とする2項述語・2変項命題関数
　　　　　　　「 ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) 」
　　　　　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　　　　をつくる。

　　【step3:普遍量化】　　

　　　step2で得られた2項述語・2変項命題関数
　　　　「 ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) 」
　　　　　　　　　　x2に代入すると、　　　
　　　　　　　　　　　『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する
　　　の変項x1を全称量化子で束縛して普遍量化して得られる
　　　　　x4, x5を変項とする1項述語・1変項命題関数が、

　　　　 　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ） 」
　　　　　　　　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、
　　　　　　　　　　　「x2に代入すると、
　　　　　　　　　　　　『どの《S3に属す対象》を変項x3に代入しても、変項 x1, x2, x4 は、x3とのあいだの関係・条件Pを満たす』　
　　　　　　　　　　　　を成立させる《S2に属す対象》が存在する」
　（例）
　　　・∀K∈R ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N ⇒ 《数列》の第n項 > K) 　
　　　・∀K∈R ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N ⇒ 《数列》の第n項 < K)  　　
→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4)　
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「　∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3   P ( x1, x2, x3, x4 ) 　」 の意味　



　・　P ( x1, x2, x3, x4 )は、
　　　　　変項x1の議論領域をX1,
　　　　　変項x2の議論領域をX2,
　　　　　変項x3の議論領域をX3,
　　　　　変項x4の議論領域をX4　
　　とするn項述語・n変数命題関数

　・　S1は「X1の部分集合」
　・　S２は「X2の部分集合」
　・　S3は「X3の部分集合」
　・　S4は「X4の部分集合」

　とすると、　

　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4 )　」は、　

　　どの《S1に属す対象》を変項x1に代入しても、

　　　その《S1に属す対象》に相応しい《S2に属す対象》が
　　　　　少なくとも一個は存在するので、

　　　その《S1に属す対象》に応じて、
　　　　　相応しい《S2に属す対象》をうまく選んで変項x2に代入することによって

　　　　「どの《S3に属す対象》を変項 x3 に代入しても、
　　　　　　変項 x4 は、x1, x2, x3とのあいだの関係・条件Pを満たす」

　　　を成り立たせることができる

　という意味の一項述語・1変項命題関数。

・S1もS2もS3も特定の対象に固定されている場合、
　「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 )　」は、
　x4 を変項とする２項述語。→詳細

　（例）
　　　・∀K∈R ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N ⇒ 《数列》の第n項 > K) 　
　　　・∀K∈R ∃N∈N ∀n∈N ( n≧N ⇒ 《数列》の第n項 < K)  　　




【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』(pp.)　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』(pp.-)
　・齋藤『日本語から記号論理へ』章§(pp.-74)
　・中内『ろんりの練習帳』(pp.)　
　・新井紀子『数学は言葉』例題4.3.1.1数列が極限値に収束するの定義:数列,極限値,ε,N,Mからなる5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.3.1.2関数の極限の定義:5項述語の三重量化(pp.136-137);例題4.4.4数列・級数に極限値が存在して収束する:四重量化(p.147);

　





→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4)　
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「　∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3   P ( x1, x2, x3, x4 ) 　」 の読み下し例



文献調査中



→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4)　
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∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3 の定義に遡った「∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4)」の意味　


・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4 )　」

　すなわち
　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ） 」

　とは、





　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３ ( x3∈S3 ⇒ P ( x1, x2, x3, x4 ) ) )  ) 」の省略表現。　

・「 ∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P ( x1, x2, x3, x4 )　」　すなわち　「 ∀x1∈S1 （ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ） 」
　は、　
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ) 」
　の省略表現（∵）。

・「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2∈S2 ( ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ) 」は、
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) )  ) 」
　の省略表現（∵）。

・「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３∈S3 P ( x1, x2, x3, x4 ) )  ) 」は、
　「 ∀x1 ( x1∈S1 ⇒ ∃x2 ( x2∈S2 かつ ∀x３ ( x3∈S3 ⇒ P ( x1, x2, x3, x4 ) ) ) ) 」
　の省略表現（∵）。


→∀x1∈S1 ∃x2∈S2 ∀x3∈S3  P(x1,x2,x3,x4)　
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