【記号∀の説明】 ・論理記号∀の呼称 ・論理記号∀の使用法 ∀x P(x) / ∀x∈X P(x) ∀x P(x,y) / ∀x∈X P(x,y) ∀xi P(x1,…,xn) / ∀xi∈S P(x1,…,xn) ・論理記号∀の読み下し方 ・論理記号∀の推論規則 −論理記号∀の導入則 −論理記号∀の除去則 | 【用語別】 ・全称量化記号 ・全称記号 ・universal quantifier ・全称量化子 ・全称作用素 | ・対象領域 ・議論領域 ・変項の定義域 |
・全称量化 ・全称量化子による量化 ・普遍量化 ・束縛する ・束縛変数(束縛変項) ・自由変数(自由変項) |
【ポイント】 ・「∀x∈S P(x)」 は、 集合Sという範囲から対象を選んで、変項xに代入すると、 どの対象を集合Sから選んで、変項xに代入しても、 xは性質・条件Pを満たす という主張。 ・集合Sが特定の対象に固定されている場合、 「∀x∈S P(x)」は、変項を含まない確定した命題。 ・例: ・集合Sも変項で、様々な対象が代入される場合、 「∀x∈S P(x)」 は、変項Sのみの1項述語。 【詳細】 ・「∀x∈S P(x)」 の意味と読み下し方/読み下し例一覧/使用例/用語 |
「∀変項∈範囲 一項述語」の意味
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【類例】 ∃x∈S P(x) / ∀x P(x) /∀x∈S P(x,y)
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※「∀x∈S P(x)」と書くとき、Sを議論領域Ωにしても構わない。つまり、「∀x∈Ω P(x)」という表現もOK。 この「∀x∈Ω P(x)」という表現によって、議論領域Ωを読者に明示的に伝達することが可能[新井p.90;松井p.36]。 ※1項述語(1変数命題関数)P(x)そのものは確定した命題ではないが、これに「 ∀x∈《特定の集合S》」つけて(「普遍量化」)出来たものは、確定した命題。 古典論理においては、これは真偽を定められる。 [岡田章p.253] →集合Sが『内包的に定義された集合』のときの解釈 →集合Sが有限集合であるときの解釈 →主要テキストの読み下し例一覧 →具体的な使用例 |
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「∀+変項∈『内包的に定義された集合』+一項述語」の解釈・議論領域Ωにおいて 全称命題「 ∀x∈S P(x) 」 集合Sの任意のxは 、性質・条件Pを満たす は、 集合Sの内包がQであるとき、 つまり、 S={ x'∈Ω | Q(x') } であるとき、 「 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 」に言い換えてよい。 ・すなわち、 「 ∀x∈ { x'∈Ω | Q(x') } P(x) 」 は 、 「 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 」 へ 言い換えてよい。 →この場合に使われる略記法 ※なぜ? ・定義より、 「 ∀x∈ { x'∈Ω | Q(x') } P(x) 」は、 「 ∀x ( x∈ { x'∈Ω | Q(x') } ⇒P(x) ) 」 の省略表現。 ・ x∈ { 'x∈Ω | Q('x) } はQ(x)に言い換えてよい(∵)から、 「 ∀x ( x∈ { x'∈Ω | Q(x') } ⇒P(x) ) 」 は、 「 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 」 に言い換えてよい。 |
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さらなる省略形「∀ 条件式 一項述語」
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∀x∈{ 'x∈Ω | Q('x) } P(x) 「Q(x)の真理集合に属す任意のxについて 、xは条件・性質Pを満たす」 上の例では、 ∀x∈{ 'x∈R | x'>0 } P(x) 「「x'>0」の真理集合に属す任意のxについて 、xは条件・性質Pを満たす」 の省略表現。 ・さらにいうと、 議論領域Ωにおいて、「∀ xを先頭にした条件式Q(x) P(x)」というかたち たとえば、 ∀ x>0 P(x) は、 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 上記の例では、 ∀x ( x>0 ⇒ P(x) ) に言い換えてよい。 なぜなら、 ・先述のとおり、 議論領域Ωにおいて 「∀ xを先頭にした条件式Q(x) P(x)」 は、 「∀x∈{ 'x∈Ω | Q('x) } P(x)」 の省略表現。 ・「 ∀x∈{ 'x∈Ω | Q('x) } P(x) 」 は「 ∀x ( Q(x)⇒P(x) ) 」に言い換えてよい(∵)。 ※1項述語(1変数命題関数)P(x)そのものは確定した命題ではないが、 この頭に「 ∀ x>0 」などをつけて、普遍量化したものは、確定した命題。 古典論理においては、これは真偽を定められる。 [岡田章p.253] ※「∀ + 変項を先頭にした条件式 + 1項述語」の後ろに、記号が続いていく場合、 「∀ + 変項を先頭にした条件式 + 1項述語」が支配している範囲(スコープ)を明示するために、 「∀ + 変項を先頭にした条件式 + 1項述語」の適用範囲に入っている述語を()で括る。 |
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「∀+変項∈『有限集合』+一項述語」の解釈
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【類例】 ∀変項∈有限集合 二項述語 ∃変項∈有限集合 一項述語 ∃変項∈有限集合 二項述語 |
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「 ∀x∈X P(x) 」 の読み下し例:一覧・「すべてのx∈Xについて、P(x)」[中内p.82] ・「X中の任意のxに対し P(x)(が成り立つ)」[松井p.36] ・"for all x in A, P(x) is true" [De LaFuente,p.8] ・「すべてのXはPである」[野矢p.217] |
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「 ∀変項∈範囲 一項述語 」 の具体例
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つまり、 「∀x ∈Perfume ChoreoByM (x)」 =「Perfumeに所属する任意のxについて、xの振り付けは、Mikikoによって考案される」 =「Perfumeの全メンバーの振り付けは、Mikikoによって考案される」 は、 「 ∀x ( x ∈Perfume ⇒ ChoreoByM (x)」 = 「任意のxについて、xがPerfumeに所属するならば、 xの振り付けは、Mikikoによって考案される」 = 「誰であれ、Perfumeに所属するならば、振り付けは、Mikikoによって考案される」 と同じこと。 【例】 ・キャッチコピー「日本の原発は安全です」を、述語論理で表すと・・・。 ・以下、 Safe (x)は、「xは安全です」という1項述語(1変数命題関数)を表すとする。 AKWは、「日本の原子力発電所Atomkraftwerkすべてをあつめた集合」を表すとする。 ・「日本の原発は安全です」は、 『日本の原発』のうち、特定の原発だけが安全だと主張したいのではなくて、 おそらくは、 「すべての『日本の原発』は安全です」と主張したがっているのだと解釈されるので、 1項述語「xは安全です」を、或る集合の範囲に限定して普遍量化した文 「『日本の原子力発電所をすべてあつめた集合』に属す任意のxについて、xは安全です」 に翻訳できる。 ここで、 「日本の原子力発電所Atomkraftwerkをすべてあつめた集合」をたとえば、AKWで表し、 1項述語「xは安全です」をたとえば、Safe (x)で表すとすると、 「∀x ∈AKW Safe (x)」 となる。 ・「日本の原発は安全です」の否定は? 「日本の原発は安全です」は、 「すべての『日本の原発』は安全です」「∀x ∈AKW Safe (x)」という主張だったから この否定「"すべての『日本の原発』は安全です"とは言えない」 ¬( ∀x ∈AKW Safe (x) ) は、 ∃x ∈AKW (¬Safe (x)) すなわち、 「『日本の原発』のなかには、少なくとも一つ以上、安全でない原発が存在する」 「『日本の原発』には、少なくとも一つ以上、危険な原発が存在する」 となる。 |
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