定義　：　実数の集合が上に有界　bounded from above　・　実数の集合の上界　upper bound　

		【設定】 　R:　実数体　　 　≦：　実数体の定義によって、 　　　　実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 　　　　もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 　　　　（実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 　変数 M :　実数を代入。　議論領域は、R。　 　変項A: 「実数の集合」すなわち「Rの部分集合」を代入。ただし、空集合は除く。 　　　　　議論領域は、「あらゆる『実数の集合』をあつめた集合」（Rのベキ集合）から空集合を除いた範囲 　　　　　　　　　　　すなわち、 (R)−φ。 　　　 　変数 x :　集合Aに属す実数を代入。議論領域は集合 A 。

【上界】

(

変項は、 　　・「  x≦M 」のなかで、　∀x∈A  で束縛されずに残ったM、 　　・∀x∈A  のなかのA　 　の二つだから、 　2項述語・2変項命題関数となる。 【上に有界】 　変項Aだけの1項述語・1変項命題関数 　　「Aは、(Rのなかで)上に有界bounded from above」 　　　　　　Aの議論領域：　(R)−φ　 Rのベキ集合から空集合を除いた範囲 　 　は、 　　　∃M∈R　∀x∈A ( x≦M )　　　…（＊）　 　 　　　〔読み下し例〕 　　　　実数の集合Aに対して、ある実数Mが存在して、 　　　　A,Mが「任意（すべて）の『Aに属す実数』xに対して x≦M」を、満たす。 　（＊）は、 　変項 x,M を組み込んだ2項述語・2変項命題関数　「 x≦M 」の変項 x,M を、 　∃M∈R　∀x∈A  で束縛したもの。 　「  x≦M 」のなかの変項 x,M はどちらも束縛されてしまったが、 　∃M∈R　∀x∈A  のなかのAが変項であるから、 　1項述語・1変項命題関数。

【類概念・関連概念】 ※適用対象を一般化：順序集合の部分集合が「上に有界」であることの定義/順序集合の部分集合の上界の定義　 ※適用対象を具体化：上に有界な数列/数列の上界/上に有界な1変数関数　 　　　　　　　　　　自然数をすべてあつめた集合Nは「上に有界でない《実数の集合》」（アルキメデスの原理）　 ※概念を複雑化　　：上限sup/有界　　 ※双対概念：下界・下に有界　 実数体は、順序集合の特殊例（実数体の定義を見よ）。 左記の、実数体の部分集合に関する「上界」「上に有界」の定義は、 一般の順序集合(X,≦)における「上界」「上に有界」の定義を、 そのまま、(R,≦)に適用したもの。

【上界でない】