極限集合　：　トピック一覧　

　・上極限集合の定義/下極限集合の定義/上極限集合と下極限集合の包含関係　
　　　　　　　　上極限集合と下極限集合の補集合/集合列の収束と極限の定義
　・増大列の定義/減少列の定義/単調列の定義/単調列の極限は収束する/増大列の極限/減少列の極限
→参考文献・集合論目次・総目次

定義： 集合列{An}の上極限集合superior limit・最大極限集合



[文献]
　・黒崎『集合論演習』第５章I(1);II(1)(4)
　・伊藤『ルベーグ積分入門』p.7
　・志賀『集合への30講』第12講(p.75;183)
　・野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.3-4(p.74)
　・鈴木山田『数理統計学』p.6
　・盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25)
　・『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)

[関連事項]　数列の上極限/関数の上極限　　　
　集合列{An}の上極限集合superior limitないし最大極限集合　　　







lim sup
  An　ないし  lim  An　  
n→∞
 		n→∞
   　　とは、 　
  　  　 　
　  


∞ ∞
＝(
∞
)∩( ∞
)∩…

∩
 ∪
 Am
∪ Am ∪ Am

n=1 m=n
m=1
m=2

　　　　　　　　　　＝ (A1∪A2∪A3∪A4∪…)∩(A2∪A3∪A4∪…)∩(A3∪A4∪…)∩…　
　のことを指す。

（噛み砕いた説明）
1. 集合列{Am}＝{ A1,A2,A3,A4 ,…}から第n項以降を取り出して、
　　　集合列{Am|m≧n}＝{ An,An+1,An+2,… }をつくる。
2. 集合列{Am|m≧n}＝{ An,An+1,An+2,… }のunion(和集合)
　　　Un＝ An∪An+1∪An+2∪…
　をとる。
3.集合Unの集合列＝{U1,U2,U3,…,}
　　＝{ (A1∪A2∪A3∪…), (A2∪A3∪A4∪…), (A3∪A4∪A5∪…),…}
　をつくる。（この集合列は減少列となる。）
4.集合Unの集合列＝{U1,U2,U3,…,}の共通部分を、
　集合列{An}の上極限集合
　と呼び、


 lim sup
 An ないし
lim
An


n→∞
n→∞
　で表す

（上極限集合の意味）　[黒崎『集合論演習』５章II(1);野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1. 4(p.74);志賀『集合への30講』12講(p.75;183)]

集合列{An}の上極限集合は、無限に多くのAnに属す元をすべて集めた集合を意味する。
→なぜ？　
以下の命題１、命題２、命題３、命題４は同値になる。
 　命題1：ωが「集合列{An}の上極限集合」に属す
　つまり、　　　　



∞ ∞
＝(
∞
)∩( ∞
)∩…

ω∈ lim sup An 　＝
 ∩
 ∪
 Am
∪ Am ∪ Am



n→∞
n=1 m=n
m=1
m=2


　　　　　　　　　　　　　　　　＝ (A1∪A2∪A3∪A4∪…)∩(A2∪A3∪A4∪…)∩(A3∪A4∪…)∩…　



∞
＝（An∪An+1∪An+2∪An+3∪…）

命題2： 任意の自然数nに対して、ω∈ ∪
 Am
が満たされる。



m=n

　　　　つまり、
　　　　　　　ω∈(A1∪A2∪A3∪A4∪…)　　
　　　　かつ　ω∈(A2∪A3∪A4∪…)　
　　　　かつ　ω∈(A3∪A4∪…)　
　　　　　　　　　：　
　　　　　　　　　：　
　　　　　　　　　：
　　　　　　
　命題3： ∀n∈N　∃m∈N　 (m≧n　かつ ω∈Am)
　　　　　　どんな自然数nに対してでも、ちょうどよい自然数mが(少なくとも一つ)存在するので、
　　　　　　どんな自然数nに対してでも、この自然数mを選んで　
　　　　　　　　　「 m≧n　かつ　ω∈Am 」
　　　　　　を満たすことができる。
　　　つまり、
　　　　n=1に対してω∈Am1となるAm1(m1≧n=1)が (少なくとも一つ)存在し、かつ、
　　　　n=2に対してω∈Am2となるAm2 (m2≧n=2)が (少なくとも一つ)存在し、かつ、
　　　　n=3に対してω∈Am3となるAm3 (m3≧n=3)が (少なくとも一つ)存在し、かつ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　命題4：無限に多くのkに対してω∈Ak　
　　　　　つまり、ある自然数の無限個の増加列{ k1,k2,k3,…}(k1＜k2＜k3＜…)が存在して、
　　　　　　ω∈Ak1, ω∈Ak2, ω∈Ak3,…

　※命題1⇔命題2となるのはなぜ？　
　※命題2⇔命題3となるのはなぜ？
　※命題3⇒命題4となるのはなぜ？　
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定義：集合列{An}の下極限集合 inferior limit・最小極限集合

　[黒崎『集合論演習』第5章I(1);II(1)(4);伊藤『ルベーグ積分入門』p.7;志賀『集合への30講』第12講(p.75;183)
　　野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.3-4(p.74);鈴木山田『数理統計学』p.6;
　　盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25); 『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)。]
　　　cf.数列の下極限、関数の下極限、　
　　集合列{An}の下極限集合inferior limitないし最小極限集合　

 lim inf
 An ないし
lim
An


n→∞
n→∞
　　とは、

 ∞ ∞
＝(
∞
)∪( ∞
)∪…

∪ ∩ Am
∩ Am ∩ Am

n=1 m=n
m=1
m=2

　　　　　　　　　　＝ (A1∩A2∩A3∩A4∩…) ∪ (A2∩A3∩A4∩…) ∪ (A3∩A4∩…) ∪…
　　のことを指す。

（噛み砕いた説明）
1.集合列{Am}＝{A1,A2,A3,A4,…}から第n項以降を取り出して、
　　　集合列{Am|m≧n}＝{An,An+1,An+2,…}をつくる。
2.集合列{Am|m≧n}＝{An,An+1,An+2,…}のintersection(共通部分)
　　　Un＝An∩An+1∩An+2∩…
　をとる。
3.集合Unの集合列＝{U1, U2, U3,…}
　　　　　　　　　＝{ (A1∩A2∩A3∩…), (A2∩A3∩A4∩…), (A3∩A4∩A5∩…),…}
　をつくる。（この集合列は増加列となる。）
4.集合Unの集合列＝{U1, U2, U3,…}のunion(和集合)を、
　集合列{An}の下極限集合
　と呼び、

 lim inf
 An ないし
lim
An


n→∞
n→∞
　　で表す。

（下極限集合の意味）　[黒崎『集合論演習』５章II(1);野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1. 4(p. 74);
　　　　　　　　　　　　　　志賀『集合への30講』12講(p.75;183)]
集合列{An}の下極限集合は、
ほとんど全てのAnに含まれる元の全体からなる集合
(集合列{An}から有限個を除去してのちに、残った無限個すべてのAnに含まれる元の全体からなる集合)
を意味する。
→なぜ？　
以下の命題１、命題２、命題３、命題４は同値になる。
　命題1：ωが「集合列{An}の下極限集合」に属す
　つまり、



∞ ∞
＝(
∞
)∪( ∞
)∪…

ω∈ lim inf 
An 　＝
 ∪ ∩ Am
∩ Am ∩ Am



n→∞
n=1 m=n
m=1
m=2


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ (A1∩A2∩A3∩A4∩…)∪(A2∩A3∩A4∩…)∪(A3∩A4∩…)∪…　

∞
＝（An∩An+1∩An+2∩An+3∩…）

命題2： (∃n∈N) (∀m∈N) (m≧n ⇒ ω∈ ∩ Am
が満たされる。



m=n


　　　　　　m≧nを満たす全ての自然数mに対し、
∞

ω∈ ∩ Am


m=n
　　　　　　を成立させる自然数nが存在する。
　　　つまり、
　　　　ω∈(An∩An+1∩An+2∩An+3∩An+4∩…)　　　　
　　　　を成立させる自然数nが存在する。
　命題3：(∃n∈N)　(∀m∈N) (m≧n⇒ω∈Am)　　
　つまり、m≧nを満たす全ての自然数mに対し、
　　　　　　　ω∈Amを成立させる
　　　　　自然数nが存在する　　
　命題4：ω∈(集合列{An}から有限個を除去したのちに、残った無限個すべてのAn)　　
→命題1⇔命題2となるのはなぜ？　
　命題1「ω∈ { (A1∩A2∩A3∩A4∩…) ∪ (A2∩A3∩A4∩…) ∪ (A3∩A4∩…) ∪… }　」
　　⇔　ω∈(A1∩A2∩A3∩A4∩…)　or　ω∈(A2∩A3∩A4∩…)　or　ω∈(A3∩A4∩…)　or　…　
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵A∪B ={ x | x∈A or x∈B }
　　⇔　命題2「ω∈(An∩An+1∩A n+2∩A n+3∩A n+4∩…)　を成立させる自然数nが存在する。」　　
→命題2⇔命題3となるのはなぜ？　
　ω∈(An∩An+1∩A n+2∩A n+3∩A n+4∩…)　とは、　
　　ω∈Anかつω∈An+1かつω∈An+2かつω∈An+3かつω∈An+4かつ…　
　を意味するから（∵　A∩B = { x | x∈Aかつx∈B｝　）、　
　命題2「　ω∈(An∩An+1∩A n+2∩A n+3∩A n+4∩…)　を成立させる自然数nが存在」　
　⇔「ω∈Anかつω∈An+1かつω∈An+2かつω∈An+3かつω∈An+4かつ…を成立させる自然数nが存在」
　⇔命題3「m≧nを満たす全ての自然数mに対し、ω∈Amを成立させる自然数nが存在」　
→命題3⇒命題4となるのはなぜ？　
・命題3「m≧nを満たす全ての自然数mに対しω∈Amを成立させる
　　　　　自然数nが存在」
　⇒　集合列から、有限個(n−1個)の集合A1, A2, A3, A4,…A n−1を除去して残った全ての集合
　　　An、An+1、A n+2、A n+3、A n+4、…　の元にωはなっている。　　
　　つまり、ω∈(集合列{An}から有限個を除去したのちに、残った無限個すべてのAn)　　
・命題4「ω∈(集合列{An}から有限個を除去したのちに、残った無限個すべてのAn)」　　
　⇒　ω∈Amとならないmのなかで最大のものを(n−1)とおくと、
　　　　m≧nを満たす全ての自然数mに対しω∈Am　。
　　　よって、命題3「m≧nを満たす全ての自然数mに対しω∈Amを成立させる自然数nが存在」
　　　が示された。　　　　
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定理：上極限集合と下極限集合の包含関係

　　[黒崎『集合論演習』第５章I(2); 伊藤『ルベーグ積分入門』p.7;野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);
　　　盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);鈴木山田『数理統計学』p.6。]
　　　集合列{An}の上極限集合　⊃　集合列{An}の下極限集合　
　　　すなわち、


 lim sup  An
⊃
lim inf 　An


n→∞

n→∞



　　　または、
lim
 An  ⊃
lim
An 

n→∞
n→∞


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定理：上極限集合と下極限集合の補集合

　[黒崎『集合論演習』第５章II(2); 野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)]
(1)集合列{An}の上極限集合の補集合は、Anの補集合からなる集合列の下極限集合である。　


 ( lim sup  An
) c
  ＝ 
 lim inf  　An c　


n→∞

n→∞



　　　または、



 (
lim
 An 
) c  ＝ 
lim
An c　

n→∞

n→∞


(2)集合列{An}の下極限集合の補集合は、Anの補集合からなる集合列の上極限集合である。　


 ( lim inf   An
) c
  ＝
 lim sup  　An c　


n→∞

n→∞



　　　または、



 (
lim
 An 
) c  ＝ 

lim
An c　

n→∞

n→∞


証明　[黒崎『集合論演習』第５章I(2); 野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);]　　
　上極限集合・下極限集合の定義にたちかえった上で、ド・モルガン則を用いれば良い。　

　
→[トピック一覧：極限集合]
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定義：集合列{An}の収束・極限 limit

　[黒崎『集合論演習』第５章I(2); 伊藤『ルベーグ積分入門』p.7;野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.3(p. 74);
　盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);　『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)]
　集合列{An}の上極限集合=下極限集合　が成り立つとき、
　集合列{An}は収束するといい、　
　集合列{An}の上極限集合=下極限集合を
　集合列{An}の極限とよび、
lim
 An 


n→∞


であらわす。

→[トピック一覧：極限集合]
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定義：(単調)増大列・増加列 increasing sequence

[野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.2(p. 73);鈴木山田『数理統計学』p.6;
　盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]
　集合列{An}が
　　An⊂ An+1　(n=1,2,…)
　を、満たすとき、「増大列である」「増加列である」という。

　
→[トピック一覧：極限集合]
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定義：(単調)減少列decreasing sequence

[野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.2(p. 73);鈴木山田『数理統計学』p.6;盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]
　集合列{An}が
　　An⊃ An+1　(n=1,2,…)
　を、満たすとき、「減少列である」という。

→[トピック一覧：極限集合]
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定義：単調列monotone sequence

　　[野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.2(p. 73);鈴木山田『数理統計学』p.6;盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]
　集合列{An}が単調列であるとは、
　集合列{An}が増加列または減少列であることをいう。

→[トピック一覧：極限集合]
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定理：単調列の極限

　[黒崎『集合論演習』第５章II(3);野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);]
　集合列{An}が単調列であるならば、
　集合列{An}は収束する。
　なぜ？→増加列のとき・減少列のとき　


→[トピック一覧：極限集合]
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定理：増大列の極限

[鈴木山田『数理統計学』p.6; 盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]


 増大列では極限
  
lim
 An 
  が存在し、



n→∞






∞

lim An ＝
∪
 Ak

 n→∞
k=1

　　なぜなら、…
　　　　　　増大列の極限


 lim sup
 An　＝
lim
An


n→∞
n→∞


∞ ∞
＝(
∞
)∩( ∞
)∩…
＝ ∩
 ∪
 Am
∪ Am ∪ Am

n=1 m=n
m=1
m=2

　
＝(
∞
)∩( ∞
)∩…


∪ Am ∪ Am


m=1
m=1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∞
＝
 ∞
＝…＝ ∞
＝ ∞
＝…

　　　　∵An⊂ An+1(n=1,2,…)より、 ∪ Am ∪ Am ∪ Am ∪ Am


m=1
m=2
m=n
m=n+1


＝(
 ∞
)

∪ Am

m=1


lim inf
An　＝ lim An

n→∞
n→∞



∞ ∞

(
∞
)∪( ∞
)∪…

＝ ∪ ∩ Am
＝ ∩ Am ∩ Am 　


n=1 m=n

m=1
m=2


　　　　　　　　　　＝ A1∪A2∪A3∪A4∪…　∵An⊂An+1(n=1,2,…)より

 ＝(
 ∞
)

∪ An

n=1


したがって、増大列{An }では、
lim
 An   ＝
lim
An     が成り立ち、 lim
 An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞





∞

lim An ＝
∪
 Ak

 n→∞
k=1

　　[具体例]
　　集合列 ｛ (−∞,1], (−∞,2], … , (−∞,100] , … , (−∞, 1000], … ｝
　　すなわち、An ＝ (−∞, n ] , n∈Nとして、集合列 { An | n∈N } を考える。
　　　集合列{An}は、An⊂ An+1　( n=1,2,… )　を満たすので、「増大列」。
　　{An}の上極限集合を調べてみると、







∞ ∞
∞

∞


lim sup
 An　＝
lim
An  ＝　
 ∩ ∪
 Am ＝ ( ∪ Am )∩( ∪
 Am )∩…　


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


　　　　　ここで、

 ∞


∪ Am ＝(−∞,1]∪(−∞,2]∪…∪(−∞,100]∪…∪(−∞,1000]∪…∪(−∞,∞)＝R

m=1



∞


∪ Am ＝　　　　　(−∞,2]∪…∪(−∞,100]∪…∪(−∞,1000]∪…∪(−∞,∞)＝R

m=2

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∪ Am ＝　　　　　　　　　　　　(−∞,100]∪…∪(−∞,1000]∪…∪(−∞,∞)＝R

m=100

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∪ Am ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(−∞,1000]∪…∪(−∞,∞)＝R

m=1000

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：
　　　　　なので、


 lim sup
 An　＝
lim
An  ＝　
 R∩R∩…＝R　


n→∞
n→∞



　　{An}の下極限集合を調べてみると、






∞ ∞
∞

∞


lim inf
An　＝ lim An  ＝　
 ∪ ∩ Am ＝ ( ∩ Am )∪( ∩ Am )∪…　


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


　　　　ここで、

 ∞


∩ Am ＝(−∞,1]∩(−∞,2]∩…∩(−∞,100]∩…∩(−∞,1000]∩…＝(−∞,1]

m=1



∞


∩ Am ＝　　　　　(−∞,2]∩…∩(−∞,100]∩…∩(−∞,1000]∩…＝(−∞,2]

m=2

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∩ Am ＝　　　　　　　　　　　　(−∞,100]∩…∩(−∞,1000]∩…＝(−∞,100]

m=100

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∩ Am ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(−∞,1000]∩…＝(−∞,1000]

m=1000

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：
∞


lim
 ∩ Am ＝(−∞,∞)＝R　

m→∞
 m

　　　　なので、


 lim inf
An　＝ lim An  ＝　
 (−∞,1]∪(−∞,2]∪…∪(−∞,100]∪…∪(−∞,1000]∪…∪(−∞,∞) ＝　(−∞,∞) ＝ R　 　


n→∞
n→∞





したがって、確かに、
lim
 An   ＝
lim
An     が成り立ち、 lim
 An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞





∞

lim An ＝ 　(−∞,∞) ＝ R ＝ ∪
 Ak

 n→∞
k=1


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定理：減少列の極限

　　[鈴木山田『数理統計学』p.6; 盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]


 減少列では極限
  
lim
 An 
  が存在し、



n→∞






∞

lim An ＝
∩ Ak

 n→∞
k=1

　　なぜなら、…
　　減少列の極限

 lim sup
 An　＝
lim
An


n→∞
n→∞


∞ ∞
＝(
∞
)∩( ∞
)∩…
＝ ∩
 ∪
 Am
∪ Am ∪ Am

n=1 m=n
m=1
m=2


　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ A1 ∩ A2 ∩ …　

 ∞
＝Ak
∵An⊃An+1(n=1,2,…)より、 ∪ Am

m=k


＝
 ∞

∩ Ak

k=1


lim inf
An　＝ lim An

n→∞
n→∞



∞ ∞

(
∞
)∪( ∞
)∪…

＝ ∪ ∩ Am
＝ ∩ Am ∩ Am 　


n=1 m=n

m=1
m=2




(
∞
)∪( ∞
)∪…

＝ ∩ Am ∩ Am 　


m=1
m=1




∞
＝
 ∞
＝…

　　　　∵An⊃An+1(n=1,2,…)より、 ∩ Am ∩ Am


m=1
m=2


＝(
 ∞
)

∩ Ak

k=1


したがって、減少列{An }では、
lim
 An   ＝
lim
An     が成り立ち、 lim
 An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞





∞

lim An ＝
∩ Ak

 n→∞
k=1

　　[具体例]
　　集合列
　　　 (−∞, −1 ], (−∞, −2 ], (−∞, −3 ],…, (−∞, −100], …, (−∞, −1000], …
　　すなわち、An=(−∞, −n ] , n∈Nとして、集合列{ An | n∈N }を考える。
　　　集合列{An}は、An⊃An+1　( n=1,2,… )　を満たすので、「減少列」。

　　{An}の上極限集合を調べてみると、







∞ ∞
∞

∞


lim sup
 An　＝
lim
An  ＝　
 ∩ ∪
 Am ＝ ( ∪ Am )∩( ∪
 Am )∩…　


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


　　　　　ここで、

 ∞


∪ Am ＝(−∞,−1]∪(−∞,−2]∪…∪(−∞,−100]∪…∪(−∞,−1000]∪…∪(−∞,−∞)＝ (−∞,−1] ＝ A1  

m=1



∞


∪ Am ＝　　　　　　 (−∞,−2]∪…∪(−∞,−100]∪…∪(−∞,−1000]∪…∪(−∞,−∞)＝ (−∞,−2] ＝ A2 　

m=2

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∪ Am ＝　　　　　　　　　　　　　　　(−∞,−100]∪…∪(−∞,−1000]∪…∪(−∞,−∞)＝(−∞,−100]＝ A100

m=100

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∪ Am ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(−∞,−1000]∪…∪(−∞,−∞)＝(−∞,−1000]＝ A1000　

m=1000

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：
∞


lim
 ∪ Am ＝(−∞,−∞)＝φ　

m→∞
 m


　　　　　なので、


 lim sup
 An　＝
lim
An  ＝　
 A1∩A2∩…∩A100∩…∩A1000∩…＝(−∞,−1]∩(−∞,−2]∩…∩(−∞,−100]∩…∩(−∞,−1000]∩…＝φ　


n→∞
n→∞



　　{An}の下極限集合を調べてみると、






∞ ∞
∞

∞


lim inf
An　＝ lim An  ＝　
 ∪ ∩ Am ＝ ( ∩ Am )∪( ∩ Am )∪…　


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


　　　　ここで、

 ∞


∩ Am ＝(−∞,−1]∩(−∞,−2]∩…∩(−∞,−100]∩…∩(−∞,−1000]∩…∩(−∞,−∞)＝φ

m=1



∞


∩ Am ＝　　　　　(−∞,−2]∩…∩(−∞,−100]∩…∩(−∞,−1000]∩…∩(−∞,−∞)＝φ

m=2

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∩ Am ＝　　　　　　　　　　　 　(−∞,−100]∩…∩(−∞,−1000]∩…∩(−∞,−∞)＝φ

m=100

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：

 ∞


∩ Am ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(−∞,−1000]∩…∩(−∞,−∞)＝φ

m=1000

　　　　　　　　：
　　　　　　　　：
　　　　なので、

 lim inf
An　＝ lim An  ＝　
 φ∪φ∪…∪φ∪…∪φφ∪…∪φ＝φ           


n→∞
n→∞




したがって、確かに、
lim
 An   ＝
lim
An     が成り立ち、 lim
 An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞





∞

lim An ＝ 　(−∞,−∞) ＝ φ ＝
∩
Ak

 n→∞
k=1


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reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、225測度論C(p.627)。
鈴木武・山田作太郎『数理統計学―基礎から学ぶデータ解析(第2版)』内田老鶴圃、1998年、p.6。
野田一雄・宮岡悦良『数理統計学の基礎』共立出版、1992年、3.1.2-6(pp.73-74)。
黒崎達(いたる)『集合論演習』槙書店、1975年、第５章I(1)-(4);II(1)-(5)。
伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963年、p. 7。
志賀浩二『集合への30講』朝倉書店、1988年、第12講(p.75)、問の答(p.183)。
盛田健彦『数学レクチャーノート基礎編4:実解析と測度論の基礎』培風館、2004年。


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