二項述語の二重量化「∃x∈S ∀y∈T  P(x,y)」　　　：　トピック一覧

【ポイント】

・「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」　は、

　「集合Sから対象をうまく選んで変項xへ代入することによって、
　　　　　　どの対象を集合Tから選んで変項yへ代入しようとも、
　　　　　　　　　x-y間の関係・条件Pを成り立たせることができる」
　という主張。

・集合S,Tが特定の対象に固定されている場合、
　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」は真偽確定した命題。→詳細

・集合Sは特定の対象に固定、
　集合Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合
　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」はTのみを変項とする1項述語。→詳細

・集合Sは変項、
　集合Tは《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合
　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」はS,Tを変項とする2項述語。→詳細

【詳細】

・∃x∈S ∀y∈T ： 定義 / 意味  / 読み下し例
・∃x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味


【具体例】
　　・ 「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」/「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )」　
　　・ 「∃x∈S ∀y∈T ( yはxの師匠 )」/「∃y∈T ∀x∈S ( yはxの師匠 )」　
　　・ 「∃n∈S ∀x∈T ( n>x )」  / 「∃x∈T ∀n∈S ( n>x )」　 
　　・ ∃M∈R　∀x∈A ( x≦M ) / ∃m∈R　∀x∈A ( m≦x ) / ∃M＞０　∀x∈A　（ ｜x｜≦M ）   　　
・バリエーション：「∃x∈内包的に定義された集合 ∀y∈内包的に定義された集合 P(x,y) / ∃x∈外延的に定義された集合 ∀y∈外延的に定義された集合 P(x,y)　
　　　　　　　省略形「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y)」　　　　
　


※二項述語二重量化一覧/多重量化一覧　
※論理関連ページ：古典論理/論理記号一覧/述語・命題関数
※総目次

「∃x∈S ∀y∈T  P(x,y)」 の定義


要旨

　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」は、

　 P(x,y)の普遍量化を存在量化した

　　　「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」

　を表す。



※具体例
　　→ 「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」/「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )」　
　　→ 「∃x∈S ∀y∈T ( yはxの師匠 )」/「∃y∈T ∀x∈S ( yはxの師匠 )」　
　　→ 「∃n∈S ∀x∈T ( n>x )」  / 「∃x∈T ∀n∈S ( n>x )」　 
　　→ ∃M∈R　∀x∈A ( x≦M ) / ∃m∈R　∀x∈A ( m≦x )　　
　　　 ∃M＞０　∀x∈A　（ ｜x｜≦M ）   　　
 ※関連事項：　
　　・「∃x ∀y  P(x,y)」 の定義　
　　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の定義/「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の定義/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の定義　


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∃x∈R ∀y∈R xy=x ; 5.5(pp.176-186)
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(p.9): 「∃y∈R∀x∈R  (x<y) 」
　　　　　　　　　　1.2 例1(5) (p.10): 「∃y∈Z ∀x∈Z   (x＋y=x) 」　　
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あり:f(x,y)=0,n<p素数自然数、どの人の帽子にもある印がついている
　・中内『ろんりの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y)　
　・新井紀子『数学は言葉』∃x∈N ∀y∈N x≦y (p.９2);

　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。




詳細　〜　S,Tが特定の対象に固定されている場合　

　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった命題「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」の略記。


　　【step1:普遍量化】　　
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　変項xのみを含む一項述語　
　　　　　　∀y∈T P(x,y) 　「xは、すべての『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。


　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　変項xのみを含む一項述語　　
　　　　　　∀y∈T P(x,y) 　「xは、すべての『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xを存在量化子で束縛して存在量化。

　　得られた命題が

　　　∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) ) 　「少なくとも一つ以上の『集合Sに属す元』が存在し、すべての『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす。」

※具体例
　　→ ∃x∈『男子を全員あつめた集合』　∀y∈『女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 /  ∃y∈女性を全員あつめた集合 ∀x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )
　　→ ∃x∈YMO　∀y∈Perfume ( x loves y ) / ∃y∈YMO ∀x∈Perfume ( x loves y )　 　　




詳細　〜　Sは特定の対象に固定、Tは変項である場合　

・集合Sは特定の対象に固定、
　集合Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合

　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった一項述語「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」の略記。

　　【step1:普遍量化】　　
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　x,Tを変項とする2項述語　
　　　　　　∀y∈T P(x,y) 　「xは、すべての『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。


　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　x,Tを変項とする2項述語　　
　　　　　　∀y∈T P(x,y) 　「xは、すべての『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xを存在量化子で束縛して存在量化。

　　得られた一項述語が

　　　∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) ) 　「少なくとも一つ以上の『集合Sに属す元』が存在し、すべての『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす。」

※具体例： ∃M∈R　∀x∈A ( x≦M ) / ∃m∈R　∀x∈A ( m≦x ) / ∃M＞０　∀x∈A　（ ｜x｜≦M ）   　　

詳細　〜　S,Tが変項である場合　

・集合Sは変項、
　集合Tは《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合

　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」とは、

　下記手順でつくった2項述語「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」の略記。


　　【step1:普遍量化】　
　
　　二項述語P(x,y)
　　　　「x,yは関係・条件Pを満たす」
　　の変項yを全称量化子で束縛して普遍量化し、

　　x,Tを変項とする2項述語　
　　　　　　∀y∈T P(x,y) 　「xは、すべての『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　をつくる。


　　【step2:存在量化】　　

　　step1で得られた
　　x,Tを変項とする2項述語　
　　　　　　∀y∈T P(x,y) 　「xは、すべての『集合Tに属す元』にたいして関係・条件Pを満たす」
　　の変項xを存在量化子で束縛して存在量化。

　　得られたS,Tを変項とする2項述語が

　　　「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」 　「少なくとも一つ以上の『集合Sに属す元』が存在し、すべての『集合Tに属す元』にたいして、関係・条件Pを満たす。」

→∃x∈S ∀y∈T P(x,y)　
→二項述語二重量化一覧　
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→総目次 


「∃x∈S ∀y∈T  P(x,y)」 の意味　


　・　P(x,y)は、変項xの議論領域をX, 変項yの議論領域をYとする二項述語・2変数命題関数
　・　Sは「Xの部分集合」
　・　Tは「Yの部分集合」

という設定のもと、　

　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」　は、

　「《部分集合Sに属す対象》をうまく選んで変項xへ代入してあげることによって、

　　　いかなる《部分集合Tに属す対象》を変項yへ代入しようとも、
　　　　
　　　　　　x-y間の関係・条件P(x,y)を成り立たせることができる」

を意味する。

なお、

　・集合S,Tが特定の対象に固定されている場合、
　　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」は真偽確定した命題。→詳細

 　※関連事項：　
　　・「∃x ∀y  P(x,y)」 の意味　
　　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味/「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∃x∈R ∀y∈R xy=x; 5.5(pp.176-186)
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(p.9): 「∃y∈R∀x∈R  (x<y) 」
　　　　　　　　　　1.2 例1(5) (p.10): 「∃y∈Z ∀x∈Z   (x＋y=x) 」　　　　
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あり:f(x,y)=0,n<p素数自然数、どの人の帽子にもある印がついている
　・中内『ろんりの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y)　
　・新井紀子『数学は言葉』∃x∈N ∀y∈N x≦y (p.９2);

　


　・集合Sは特定の対象に固定、集合Tが《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合
　　　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」はTのみを変項とする1項述語。→詳細

　・集合Sは変項、集合Tは《xと無関連な変項》で、様々な対象が代入される場合
　　　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」はS,Tを変項とする2項述語。→詳細

※具体例
　　→ 「∃M∈R　∀x∈A ( x≦M )」 / 「∃m∈R　∀x∈A ( m≦x )」　　
　　→ 「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」/「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )」　
　　→ ∃x∈『男子を全員あつめた集合』　∀y∈『女子を全員あつめた集合』 ( x loves y )」 /  ∃y∈女性を全員あつめた集合 ∀x∈男性を全員あつめた集合 ( x loves y )
　　→ ∃x∈YMO　∀y∈Perfume ( x loves y ) / ∃y∈YMO ∀x∈Perfume ( x loves y )　 　　
　　→ 「∃x∈S ∀y∈T ( yはxの師匠 )」/「∃y∈T ∀x∈S ( yはxの師匠 )」　
　　→ 「∃n∈S ∀x∈T ( n>x )」  / 「∃x∈T ∀n∈S ( n>x )」　 


→∃x∈S ∀y∈T P(x,y)　
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読み下し例
∃x∈S ∀y∈T P(x,y)　の読み下し例

※具体例

　・「∃M∈R　∀x∈A ( x≦M )」 　
　・「∃m∈R　∀x∈A ( m≦x )」
　・「∃x∈S ∀y∈T ( x loves y )」　
　・「∃x∈S ∀y∈T ( yはxの師匠 )」　
　・「∃n∈S ∀x∈T ( n>x )」 

【英語】

・There exists x∈S such that for all y∈T , P(x,y) .
　　　　[新井３.２(p.125)]

・There exists an element x in S such that for each y in T, the pair (x,y) has property P.  [De La Fuente,p.8]

【日本語type1】 　

(1)

・「ある『Sに属す対象』xが存在して、
　　　任意の『Tに属す対象』yに対しP(x,y)が成り立つ」
　　　　[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「ある『Sに属す対象』xが存在し、
　　　任意の『Tに属す対象』yについてP(x,y)が成り立つ」
　　　　[新井３.２(p.９2)∃x∈N ∀y∈N x≦y ]
　　　　[新井定義4.1関数の有界の定義(p.134)]

※関連事項：　
　　・「∃x ∀y  P(x,y)」 の読み　
　　・「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の読み/「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の読み/「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の読み　


【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　
　・新井紀子『数学は言葉』∃x∈N ∀y∈N x≦y (p.９2);4.1∀∃,∃∀の和訳・英訳(pp.123-5);
　・井関『集合と論理』1.2 (式2.4)(p.9): 「∃y∈R∀x∈R  (x<y) 」
　　　　　　　　　　1.2 例1(5) (p.10): 「∃y∈Z ∀x∈Z   (x＋y=x) 」　　
　・松井知己『だれでも証明がかける−眞理子先生の数学ブートキャンプ』2.6(p.38):∃x∈R ∀y∈R xy=x; 5.5(pp.176-186)
　・齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5異種の量化子による二重量化(pp.69-74)限定なしのみだが、議論領域設定例あり:f(x,y)=0,n<p素数自然数、どの人の帽子にもある印がついている
　・中内『ろんりの練習帳』2.6∀∃,∃∀(pp.103-5):注意2.6.2:xとyは恋人どおし;定理2.6.3∃y∀xp(x,y)⇒∀x∃yP(x,y)　
　・中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.143)
　●De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,1.2.a.Properties and Quantifiers(pp.8-9):二重量化。英語での読み下し例。

　



・「ある『Sに属す対象』xが存在して、どの『Tに属す対象』yに対しても、P(x,y)が成り立つ」　[新井３.２(p.125)]

・「まず最初に『Sに属す対象』xが存在する。そしてどんな『Tに属す対象』yをとっても、P(x,y)が成立する。」　[井関(式2.5)(p.9): 「∃y∈R ∀x∈R (x<y) 」]

・「ある『Sに属す対象』xがあって、すべての『Tに属す対象』yについてp(x,y)である」　[中内『ろんりの練習帳』例2.6.1(p.103)]

・「ある『Sに属す対象』xがあって、すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y)が成り立つ」[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

(2)

・「『Sに属す対象』を一つ凄く上手に選ぶと、実はどんな『Tに属す対象』yをもってきても、P(x,y)が成り立つ。」[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「ある『Sに属す対象』xを選ぶと、すべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(3)

・「まずはじめにある『Sに属す対象』xがとれて、つぎにどんな『Tに属す対象』yをとっても、つねにP(x,y)が成立する。」[井関1.2例1(5) (p.10): 「∃y∈Z ∀x∈Z  (x＋y=x) 」]

・「ある『Sに属す対象』xをとると、すべての『Tに属す対象』yに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(4)

・「ある『Sに属す対象』xについて、すべての『Tに属す対象』yについて、、P(x,y)である。」　　[中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.143) ]


【日本語type2】　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

・「"すべての『Tに属す対象』yについてP(x,y)である"を満たす『Sに属す対象』xがある。」　　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

・「『任意の《Tに属す対象》yについてP(x,y)』となる《Sに属す対象》xがある。」　　　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

　＊「任意の『Tに属す対象』yについて、P(x,y)となる『Sに属す対象』xがある」だと「∀y∈T ∃x∈S P(x,y) 」の意味になるので注意。　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]


「∃y∈T ∀x∈S P(x,y)」の読み下し例

※具体例：「∃y∈T ∀x∈S ( x loves y )」 /「∃y∈T ∀x∈S ( yはxの師匠 )」/「∃x∈T ∀n∈S ( n>x )」

【英語】

・There exists y∈T such that for all x∈S , P(x,y) . [新井３.２(p.125)]

【日本語type1】 　

(1)

・「ある『Tに属す対象』yが存在して、任意の『Sに属す対象』xに対しP(x,y)が成り立つ」[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「ある『Tに属す対象』yが存在し、任意の『Sに属す対象』xについてP(x,y)が成り立つ」[新井３.２(p.９2)∃x∈N ∀y∈N x≦y ][新井定義4.1関数の有界の定義(p.134)]

・「ある『Tに属す対象』yが存在して、どの『Sに属す対象』xに対しても、P(x,y)が成り立つ」[新井３.２(p.125)]

・「まず最初に『Tに属す対象』yが存在する。そしてどんな『Sに属す対象』xをとっても、P(x,y)が成立する。」 　[井関(式2.5)(p.9): 「∃y∈R ∀x∈R (x<y) 」]

・「ある『Tに属す対象』yがあって、すべての『Sに属す対象』xについてp(x,y)である」[中内『ろんりの練習帳』例2.6.1(p.103)]

・「ある『Tに属す対象』yがあって、すべての『Sに属す対象』xについてP(x,y)が成り立つ」　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

(2)

・「『Tに属す対象』yを一つ凄く上手に選ぶと、実はどんな『Sに属す対象』xをもってきても、P(x,y)が成り立つ。」[松井2.6(p.38):"∃x∈R ∀y∈R xy=x"]

・「ある『Tに属す対象』yを選ぶと、すべての『Sに属す対象』xに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(3)

・「まずはじめにある『Tに属す対象』yがとれて、つぎにどんな『Sに属す対象』をとっても、つねにP(x,y)が成立する。」　[井関1.2例1(5) (p.10): 「∃y∈Z ∀x∈Z  (x＋y=x) 」]

・「ある『Tに属す対象』yをとると、すべての『Sに属す対象』xに対して、P(x,y)が成り立つ。」　[齋藤『日本語から記号論理へ』2章§5(p.70)]

(4)

・「ある『Tに属す対象』yについて、すべての『Sに属す対象』xについて、、P(x,y)である。」　　[中谷『論理』6.3A多変数の命題関数の限定命題(p.143) ]



【日本語type2】　句読点の位置を変えると、意味が変わるので注意。

・「"すべての『Sに属す対象』xについてP(x,y)である"を満たす『Tに属す対象』yがある。」　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]


・「『任意の《Sに属す対象》xについてP(x,y)』となる『Tに属す対象』yがある。」　　　　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]

　＊「任意の『Sに属す対象』xについて、P(x,y)となる『Tに属す対象』yがある」だと「∀x∈S ∃y∈T P(x,y) 」の意味になるので注意。　[本橋4.3p.70 をカスタマイズ]




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∃x∈S ∀y∈Tの定義に遡った「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　



・「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」　すなわち　「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」
　とは、

　「 ∃ x ( x∈S　かつ ∀y ( y∈T⇒P(x,y) ) ) 」の省略表現。　　


※なぜ？

　「∀y∈T P(x,y)」「 ∃x∈S Q(x) 」のそもそもの定義に立ち返ると、
　一目瞭然。

　・「∀y∈T P(x,y)」は「 ∀y ( y∈T⇒P(x,y) ) 」の省略表現であるから、

　　「 ∃x∈S ( ∀y∈T P(x,y) ) 」は、
　　　　「 ∃x∈S ( ∀y ( y∈T⇒P(x,y) ) ) 」の省略表現。

　・「 ∃x∈S Q(x) 」は、「 ∃ x ( x∈S　かつ　Q(x) ) 」の省略表現であるから、

　　「 ∃x∈S ( ∀y ( y∈T⇒P(x,y) ) ) 」は、

　　　「 ∃ x ( x∈S　かつ ∀y ( y∈T⇒P(x,y) ) ) 」の省略表現。
※関連事項：
　・∀x∈S,∀y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∃x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∃x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・∀x∈S,∃y∈Tの定義に遡った「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献】
　・新井紀子『数学は言葉』∃x∈N ∀y∈N x≦y (p.９2);

　






→∃x∈S ∀y∈T P(x,y)　
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集合S,Tが内包的に定義された場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　


　集合Sの内包がS'、　つまり、 S＝{ x | S'(x) } 、　
　集合Tの内包がT'、　つまり、 T＝{ y | T'(y) } 、
　との設定のもと、　

　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」　すなわち　「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」　は、

　「 ∃ x ( S'(x) かつ ∀y ( T'(y) ⇒P(x,y) ) ) 」　

　　　"性質・条件T'を満たすすべてのyについてxとの関係・条件Pが成り立つ"
　　　という条件を満たすxが、S'(x)を満たすxのなかに存在する
　　　　[本橋『新しい論理序説』4.5(p.74)]　　　　

　に言い換えてよい。


※なぜ？

　・「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」は、
　　　「 ∃ x ( x∈S　かつ ∀y ( y∈T⇒P(x,y) ) ) 」…(1)
　　の省略表現（∵）。　

　・この設定の下では、 S＝{ x | S'(x) } とされているので、　
　　　x∈Sは、x∈{ x | S'(x) }に言い換えてよい。
　　また、x∈{ x | S'(x) }　は、S'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、x∈Sは、S'(x)に言い換えてよい。…(2)

　・この設定の下では、T＝{ y | T'(y) } とされているので、　
　　　y∈Tは、y∈{ y | T'(y) } に言い換えてよい。
　　また、y∈{ y | T'(y) } は、T'(x)に言い換えてよい（∵）。
　　以上二点より、設定下、y∈Tは、T'(x)　に言い換えてよい。…(3)

　・(2)(3)により、
　　「 ∃ x ( x∈S　かつ ∀y ( y∈T⇒P(x,y) ) ) 」…(1)
　　は、
　　「 ∃ x ( S'(x) かつ ∀y ( T'(y) ⇒P(x,y) ) ) 」　
　　に言い換えてよい。

　　
 ※関連事項：
　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが内包的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　



【文献−数学一般】
　●本橋『新しい論理序説』4.5一般の∀∃文と∃∀文の読み方(pp.73-74)　

　



→∃x∈S ∀y∈T P(x,y)　
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集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」の意味　


・S＝有限集合 { s1 , s2 , … , sn }
　T＝有限集合 { t1 , t2 , … , tn }
　であるとき、　
　　
　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」
　は、

　「『 P(s1,t1) かつ P(s1,t2) かつ … かつ P(sn,tn) 』
　　　または　　
　　『 P(s2,t1) かつ P(s2,t2) かつ … かつ P(s2,tn) 』
　　　または　
　　　　：　
　　　または　
　　『 P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2) かつ … かつ P(sn,tn)』」

　に言い換えてよい。

・つまり、
　∃x∈{ s1, s2, …, sn } ∀y∈ { t1, t2, … , tn  } P(x,y)
　
　　⇔　（P(s1,t1) ∧ P(s1,t2) ∧ … ∧ P(sn,tn)）
　　　　　∨（P(s2,t1) ∧ P(s2,t2) ∧ … ∧ P(s2,tn)）∨…
　　　　　…∨（ P( sn ,t1) ∧ P( sn ,t2) ∧ … ∧ P(sn,tn)）
　

※なぜ？

　・この設定の下では、 T＝ { t1 , t2 , … , tn } とされているので、
　　
　　「∃x∈S ∀y∈T P(x,y)」すなわち「∃x∈S (∀y∈T  P(x,y) )」は、
　　
　　「∃x∈S ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつ … かつ P(x,tn) )」…(式1)　

　　　に言い換えてよい（∵）。　

　・この設定の下では、S＝ { s1 , s2 , … , sn } とされているので、
　　
　　(式1)「∃x∈S ( P(x,t1) かつ P(x,t2) かつ … かつ P(x,tn) )」

　　は、

　　『 P(s1,t1) かつ P(s1,t2) かつ … かつ P(sn,tn) 』
　　　または　　
　　『 P(s2,t1) かつ P(s2,t2) かつ … かつ P(s2,tn) 』
　　　または　
　　　　：　
　　　または　
　　『 P( sn ,t1) かつ P( sn ,t2) かつ … かつ P(sn,tn)』」…(式2)

　　に言い換えてよい（∵）。　
※関連事項：
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∀y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∃x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　　
　・集合S,Tが外延的に定義された有限集合である場合の「∀x∈S　∃y∈T P(x,y)」の意味　


【文献−数学一般】
　・中内『ろんりの練習帳』定理2.6.3の証明のなかを参照(pp.105):　

　


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省略形「∃ S(x) ∀y∈T P(x,y)」　

【設定】

　・P(x,y)は
　　変項xの議論領域をX ,
　　変項yの議論領域をY
　　とする2項述語・2変数命題関数　

【本題】

・「 ∃ S'(x) ∀y∈T　P(x,y)」

　　たとえば、
　　　Rを変項xの議論領域とした際の「∃ x>0 ∀y∈T P(x,y) 」

　は、

　下記表現aないし表現bのの省略表現。
※基礎

　・「∃ 条件式 1項述語」/「∃ 条件式 2項述語」/「∃ 条件式　n項述語」

※具体例：
　　・ ∃M＞０　∀x∈A　（ ｜x｜≦M ）

※類似例：
　　・省略形「∃S'(x) ∀y∈T P(x,y,z)」　　
　　　

　【表現a】　　∃ x∈ { x∈X | S'(x) }  ∀y∈T　P(x,y) 　　

　　　　　　　　　　　　　｜　この《S'(x)の真理集合に属す対象》を変項xに代入すると、
　　　　　　　　　　　　　｜　　「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y)を満たす」
　　　　　　　　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　　　　　と言える《S'(x)の真理集合に属す対象》が、最低一個は存在する、

　　　　　　　　上記の例では、　「∃ x∈ { x∈R |  x>0  }　∀y∈T　P(x,y)」　


　　　　　　　　　　　　　｜　この《「x>0」の真理集合に属す対象》を変項xに代入すると、
　　　　　　　　　　　　　｜　　「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y)を満たす」
　　　　　　　　　　　　　｜　が真になる

　　　　　　　　　　と言える《「x>0」の真理集合に属す対象》が、最低一個は存在する、


　【表現b】　　∃x ( S'(x) かつ ∀y∈T  P(x,y)  ) 　

　　　　　　　　少なくとも一つの対象が、xの議論領域Xのなかには存在し、
　　　　　　　　その対象は、xに代入されると、
　　　　　　　　　条件S'を成り立たせ、
　　　　　　　　　かつ　　
　　　　　　　　　「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y)を満たす」を成り立たせる。
　
　　　　　　　上記の例では、　「∃x ( x>0 かつ ∀y∈T  P(x,y)  ) 」 　　
　　　　　　　　　　　xに代入されると、
　　　　　　　　　　　　《x>0を満たし、かつ、「どの《Tに属す対象》を変項yに代入しても、変項zは、x,yとのあいだの関係・条件P(x,y)を満たす」と言える》対象が、
　　　　　　　　　　　　　xの議論領域Xのなかに少なくとも一つは存在する
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