→【はじめに読む定義】 →【厳密な定義−予備知識なしに】 →【論理にこだわって…】 【はじめに読む定義】・「有界な《実数の集合》」とは、 上に有界かつ下に有界な「実数の集合」 すなわち、 「この実数以上、あの実数以下に、属してる元は、すべておさまる」 と言える《実数の集合》のこと。 《この実数》を、その《実数の集合》の下界、 《あの実数》を、その《実数の集合》の上界と呼ぶ。 ・「有界でない《実数の集合》」とは、 「この実数以上、あの実数以下に、属してる元は、すべておさまる」 と言えない《実数の集合》のこと。 ・「有界でない《実数の集合》」は、 (1) 上に有界でないが、下に有界な「実数の集合」 (2) 下に有界でないが、上に有界な「実数の集合」 (3) 上にも下にも有界でない「実数の集合」 に分類される。 (1) 上に有界でないが、下に有界な「実数の集合」とは、 「属してる元は、すべて、この実数以上」とは言えるが、 「属してる元は、すべて、あの実数以下」とは言えない《実数の集合》。 (2) 下に有界でないが、上に有界な「実数の集合」とは、 「属してる元は、すべて、あの実数以下」とは言えるが、 「属してる元は、すべて、この実数以上」とは言えない《実数の集合》。 (3) 上にも下にも有界でない「実数の集合」とは、 「属してる元は、すべて、この実数以上」とは言えるが、 「属してる元は、すべて、あの実数以下」とは言えない《実数の集合》。 * このように、 上界・下界がともに存在する「実数の集合」（有界な「実数の集合」）もあれば、 上界は存在しないが、下界のみ存在する「実数の集合」（下に有界な「実数の集合」）、 下界は存在しないが、上界のみ存在する「実数の集合」（上に有界な「実数の集合」）、 |
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【厳密な定義】
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【論理にこだわって…】
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【設定】R: 実数体 ≦： 実数体の定義によって、 実数体R上に定められている順序関係（特に全順序となるよう定められている）。 もちろん、実数体Rと順序"≦"とを組み合わせた(R,≦)は、順序集合。 （実数体の定義によって、(R,≦)は、特に、全順序集合となるよう定められている） 変数 m : 実数を代入。 議論領域は、R。 変数 M : 実数を代入。 議論領域は、R。 変項A: 「実数の集合」すなわち「Rの部分集合」を代入。ただし、空集合は除く。 議論領域は、あらゆる『実数の集合』をあつめた集合」（Rのベキ集合）から空集合を除いた範囲 すなわち、  (R)−φ。 変数 x : 集合Aに属す実数を代入。議論領域は集合A 。 |
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【有界】・変項Aだけの1項述語・1変項命題関数 「Aは、(Rのなかで)有界bounded」 （Aの議論領域： (R)−φ Rのベキ集合から空集合を除いた範囲） は、 ∃m,M∈R ∀x∈A ( m≦x≦M ) …（＊） 〔読み下し例〕 実数の集合Aに対して、ある実数m,Mが存在して、 A,m,Mが「任意（すべて）の『Aに属す実数』xに対して m≦x≦M 」を、満たす。 で定義される。[笠原『微分積分学』1.1実数(p.5);] （＊）は、 変項 x,m,M を組み込んだ3項述語・3変項命題関数 「 m≦x≦M 」 の変項 x,m,M を、 ∃m,M∈R ∀x∈A で束縛したもの。 「 m≦x≦M 」の3変項 x,m,M は束縛されてしまったが、 ∃m,M∈R ∀x∈A のなかのAが変項であるから、 1項述語・1変項命題関数。 |
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(R)−φ Rのベキ集合から空集合を除いた範囲） |
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